Frage zum Beweis: Pmax bei R_i = R_L

[Peter (Gast)]

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

"Für eine Spannungsquelle mit Ri = 20 Ohm und U0 = 12V ist eine Funktion 
P_L = f(R_L) zu bilden, welche die Leistung am Lastwiderstand bestimmt. 
Berechnen Sie dann den Widerstand R_L, sodass die Leistung an R_L 
maximal wird."

Das habe ich geschafft:

$$P_L = f(R_L) = \left(\frac{U_0}{R_i + R_L}\right)^2 * R_L$$

Jetzt ist für die Funktion das Maximum zu finden, dazu habe ich erstmal 
die Werte eingesetzt und vereinfacht:

$$P_L = f(R_L) = \frac{144R_L}{(R_L + 20)^2}$$

Die erste Ableitung lautet dann:

$$P_L' = f'(R_L) = \frac{144}{(R_L + 20)^2} - \frac{288R_L}{(R_L + 20)^3}$$

Das ergibt aufgelöst ein Maximum bei R_L = 20 Ohm, was mir auch 
einleuchtet.

Jetzt meine Frage: Gibt es einen einfacheren Weg? Das Oberthema ist 
Analysis, aber gibt es vielleicht eine einfachere Ausgangsfunktion, 
damit keine kubische Funktion als Ableitung entsteht?

Gruß

Peter

[Schoaschi (Gast)]

Hi

Wo ist denn das Problem?! Die Kubische Formel ist dir relativ egal, denn 
du musst ja nur alles auf den gleichen Nenner bringen.. dann bringst du 
den Nenner auf die linke Seite und dort wird sie mit 0 Multipliziert... 
und dann musst du nur ein Polynom 1. Ordnung lösen ;-).

[Lanhazza (Gast)]

Ich hab das mal schnell zusammengekritzelt :)

[Peter (Gast)]

Vielen lieben Dank euch beiden, mit dem Hinweis, dass ich nur den Zähler 
benötige, war es dann recht einfach zu lösen.. Manchmal sieht man den 
Wald vor lauter Bäumen nicht.. ;-)