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Forum: Offtopic Hauptachsentransformation


Autor: Stefan Helmert (Firma: dm2sh) (stefan_helmert)
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Hallo,

ich werde in Mathe bald eine Prüfung schreiben. Mich interessiert 
deshalb, warum bei der Hauptachsnetransformation manchmal Eigenvektoren 
rauskommen, die nicht orthogonal sind und was das bedeutet. Muss man 
diese unbedingt orthogonalisieren? Was ist wenn alles 3 Eigenvektoren 
(in R³) nicht zueinander orthogonal sind, welchen nimmt man dann als 
Ausgangspunkt zum Orthogonalisieren?

Autor: Ronny (Gast)
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ist bei mir schon länger her, aber in so nem Fall nimmst du glaub ich 
die Hauptvektoren 1. oder eventuell auch 2. Ordnung.
Soweit ich weiss war das Problem, dass 2 Eigenvektoren in einer Ebene 
liegen könnten und somit nur einen 2-dimensionalen Raum aufspannen. Um 
dann trotzdem zu R³ zu kommen, nimmt man die HV´s.
othogonal heisst übrigens: zu einander senkrecht.

Korrigiert mich wenn ich mich täusche. Falls du noch mehr Infos brauchst 
schau ich nochmal in meinen Unterlagen

Autor: Ronny (Gast)
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hab jetzt doch nochmal nachgesehen. Ich weiss nicht genau wie du es 
gelernt hast, aber ich denke ich war zu kompliziert dran.
Du willst bei der Transformation eine Orthonormalbasis haben. 
Orthonormal hatte ich ja schon mit paarweise zu einander senkrecht 
erklärt. Dazu kommt noch dass die Vektoren die Einheitslänge 1 haben 
sollten.
Die meisten Eigenvektoren erfüllen diese Eigenschaften noch nicht.

Autor: Stefan Helmert (Firma: dm2sh) (stefan_helmert)
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>Die meisten Eigenvektoren erfüllen diese Eigenschaften noch nicht.
aber was ist der Grund dafür?

Autor: Ronny (Gast)
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meine Erklärung wird schwammig sein, weil ich es dir selber nicht genau 
sagen kann.
Eigenvektoren sind einerseits ein mathematisches Konstrukt, nach der 
Regel f(v) = y*v.
Es handelt sich also um Vektoren, wenn man auf die die Funktion f 
anwendet ein Vielfaches desselben Vektors herauskommt.
Physikalisch gedeutet kriegt man damit die Hauptachsen. Zum Beispiel die 
Hauptträgheitsachsen eines Körpers oder auch die Hauptachsen einer 
Hyperfläche.
Diese Hauptflächen müssen nicht notwendigerweise orthogonal sein, sprich 
das Berechnen der Eigenvektoren führt auf immer auf die Hauptachsen. Hat 
ein Körper keine orthgonalen Achsen, kommen auch keine orthogonalen 
Eigenvektoren raus.
Man braucht allerdings zum rechnen eine orthogonale Basis.

Das ist meine eigene Erklärung, kann dir nicht garantieren dass sie 
stimmt,weil das Thema Eigenvektoren sehr abstrakt ist

Autor: daniel (Gast)
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sind nicht alle Dreh-Hauptachsen orthogonal?
Ok eine Kugel hätte unendlich viele Achsen um
die sie ohne Deviationsmomente rotieren würde.
Ein Würfel nicht mehr, der hat 3.

Ausserdem je nach dem was man mit der Matrix
kodiert, so muss man Eigenvektoren dann interpretieren.
zB state space matrix, bei der dx_i's von x_i's
abhängen, hier würde ein Eigenvektor einen
Systemzustand Xq bedeuten, bei dem dx_i's
quasi skalierten Xq Werten entsprechen, sodass
die Anschliessende Summe zwar die Länge von
Xq ändert, aber nicht seine Richtung.
Daher fördert man zur Stabilität negative Eigenwerte.

grüsse, daniel

Autor: 6637 (Gast)
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Ein Wuerfel hat mehr als 3 Achsen, tut mir leid. Die 3  durch die 
Flaechenzentren sind klar. Es sind aber auch noch die Achsen durch die 
Koerperdiagonalen. Macht sechs Achsen.

Eigenvektoren sind viel weniger abstarkt als angenommen. Bei einer 
Transformation kommt wieder dasselbe oder etwas aehnlich wie der 
Ausgangszustand raus.

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