Verteilung des Produktes zweier normalverteilter Zufallsvariablen

[TOM (Gast)]

Kann mir jemand sagen, wie man die Verteilung des Produktes zweier 
normalverteilter Zufallsvariablen berechnet?
Da Ergebnis nicht mehr normalverteilt ist, suche ich eine Näherung für 
die resultierende Varianz.

Danke

[Ekschperde (Gast)]

Da würd ich mal instinktiv auf die Wurzel tippen.
Und die sollte auch noch normalverteilt sein.

[TOM (Gast)]

Kannst du deine Antwort noch etwas ausführen.

A = N(ma,sa)     ma=mean A    sa=standard deviation A
B = N(mb,sb)     ma=mean B    sa=standard deviation B

Ich suche die Verteilung von A*B und eine Näherung für Var(A*B)

[Michael G. (linuxgeek)]

Ich schau spaeter mal in meinen Unterlagen nach. Var(A*B) ist ziemlich 
uebel... das findet man in der "normalen" Literatur aus diesen Gruenden 
wohl eher selten.

[Christian A. (christian_axtmann)]

Hi,

Var(AB) = sa^2*sb^2 + ma^2*sb^2 + mb^2*sa^2

E(AB) = ma * mb (klar)

bin grad in der Klausurvorbereitung auf genau das Fach... Du rein 
zufällig auch?

Gruß Christian

[Michael G. (linuxgeek)]

Christian Axtmann wrote:
> Hi,
>
> Var(AB) = sa^2*sb^2 + ma^2*sb^2 + mb^2*sa^2

Was soll das sein? Benutze mal [math]. Und was soll hier m, a, b und s 
sein?

[Christian A. (christian_axtmann)]

> Und was soll hier m, a, b und s sein?

Schau einfach mal ein paar Beiträge weiter drüber. TOM hat für die zwei 
Zufallsvariablen A und B vorgegeben:

> A = N(ma,sa)     ma=mean A    sa=standard deviation A
> B = N(mb,sb)     ma=mean B    sa=standard deviation B

Also Erwartungswerte ma und mb und Varianzen sa und sb (Eigentlich das 
griechische Mü und Sigma).

Und die Varianz von A*B (=AB, klar) ist wie oben geschrieben. So schlimm 
sieht das zwar nicht aus finde ich, trotzdem nochmal mit math: (Hoffe es 
klappt)

$$Var(A*B) = sa^2*sb^2 + ma^2*sb^2 + mb^2*sa^2$$

Und nochmal in griechisch:

$$ma = \mu_A$$

$$mb = \mu_B$$

$$sa = \sigma_A$$

$$sb = \sigma_B$$

$$Var(A*B) = \sigma_A^2*\sigma_B^2 + \mu_A^2*\sigma_B^2 + \mu_B^2*\sigma_A^2$$

[Christian A. (christian_axtmann)]

Muss mich gleich noch korrigieren:

sa und sb sind nicht die Varianzen, sondern die Standard-Abweichungen. 
Wobei die Angabe von TOM mich etwas zum stutzen bringt. Normalerweise 
sind Normalverteilte ZV mit

$$N(\mu;\sigma^2)$$

 verteilt (Betonung auf dem Quadrat)

[TOM (Gast)]

Vielen Dank

Nee, bin nicht in der Klausurvorbereitung.
Ich möchte einen Kalman-Filter als Parameterschätzer für ein Modell 
einsetzen, das linear in den Parametern ist. Leider funktioniert das 
ganze nicht mehr, wenn die gemessenen Modelleingangssignale verrauscht 
sind. Im speziellen Fall des reinen Parameterschätzers (Random Walk, 
A=Einheitsmatrix) stehen die Modelleingangsgrößen in der Ausgangsmatrix. 
Die Ausgangsmatrix ist aber ja normal konstant. Sind die Daten aber 
verrauscht, so bekomme ich hier Probleme und die Schätzung ist 
biasbehaftet.

Wenn natürlich jemand hierzu direkt einen Hinweis hat, wäre ich sehr 
dankbar.

[TOM (Gast)]

@Christian:
Das Quadrat hab ich vergessen, natürlich wir hier die Varianz angegeben.

[Jorge (Gast)]

Wenn du es parametrisch wissen willst kannst du doch einfach die 
Normalverteilung in die Normalverteilung einsetzen wie bei ganz normalen 
Funktionen, nur unter der Vorrausetzung, dass die Elemente stochastisch 
unabhängig sind. Wenn sie korreliert sind dann kommts eben darauf an.