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Glättungsfilter für 1-Bit DA-Wandlung

2021-05-27T07:38:53Z

172.26.34.91: /* Bestimmung der Grenzfrequenz und der Übertragungsfunktion */

''von Jonas K.''

{{Wettbewerb Header}}

Bei vielen Mikrocontrollern ist ja kein DA-Wandler integriert, man muss sich also helfen, indem man ein PWM-Signal glättet. Zur PWM-Erzeugung und auch zur Glättung gibt es bereits unzählige Artikel und Threads.
Ich hatte allerdings mehrmals folgende Anforderung an den Glättungsfilter:
* starke Glättung der PWM-Frequenz
* hohe Auflösung des Tastverhältnisses
* schnelle Reaktionszeit auf Änderung des Tastverhältnisses (da regelungstechnische Anwendung)
** mehrfache Pole und Pole möglichst nahe beieinander in der Übertragungsfunktion
* mobile Anwendung:
** wenig Platz und Gewicht
** wenig Energieverbrauch => eventuell passiver Filter

Die erste Idee ist natürlich - wegen der mehrfachen Pole - ein LC-Filter. Hier ergibt sich aber ein Problem mit der Induktivität.

Deswegen habe ich mir eine Vorgehensweise überlegt, einen doppelten, passiven und einen vierfachen, aktiven RC-Tiefpass so zu entwerfen, dass die Pole möglichst nahe beieinander liegen.

== Warum kein LC-Filter? ==

Ein recht deutliches Beispiel ist, dass der Mikrocontroller mit einer Taktfrequenz <math>f_{Takt} = 1MHz</math> läuft, die gewünschte Auflösung/die Anzahl der PWM-Schritte ist <math>N = 2^{10} = 1024</math> (10-bit Auflösung). Das ergibt eine Grundfrequenz des PWM Signals von <math>f_{PWM} = {f_{Takt} \over N }\approx 1 kHz</math>.
Um das PWM-Signal in der Grundschwingung stark zu dämpfen, muss man die Grenzfrequenz nach den späteren Ergebnissen bei 26,4 Hz wählen.

Mit der Grenzfrequenz <math>\omega_{g} = {1 \over \sqrt{L\cdot C}}</math> ergibt sich allerdings für die Induktivität beispielsweise <math>L = {1 \over (166)^2 \cdot 100\mu}=363mH</math>.
Solche Werte sind leicht und platzsparend nicht zu realisieren.

== Die erste, passive Schaltung zweiter Ordnung mit einstellbarer Dämpfung==

[[Datei:tiefpass2.png|400px|thumb]]

Die prinzipielle Schaltung eines RC-Tiefpasses zweiter Ordnung ist hier einmal dargestellt. So kann die Schaltung natürlich nur verwendet werden, wenn die Weitervarbeitung des Signals hochohmig erfolgt, z. B. durch einen Operationsverstärker oder einen FET.
Denn der Ausgangswiderstand ist durch <math>R_2</math> und <math>C_2</math> bestimmt. Später wird man zu dem Ergebnis kommen, dass <math>R_2</math> relativ groß ist und <math>C_2</math> relativ klein.
Der Ausgangswiderstand ist also recht hoch, tendenziell größer als <math>100k\Omega</math>.

Der Spannungsteiler <math>\varepsilon ={ R_x \over R_1 + R_x} = {U_{out, max} \over U_0 }</math> skaliert die Versorgungsspannung des Mikrocontrollers, z. B. 3,3V oder 5V, auf die gewünschte maximale Ausgangsspannung, z. B. 1V.
Natürlich kann man <math>R_x</math> auch weglassen, dann gilt in allen weiteren Formeln <math>R_x\rightarrow\infty</math> bzw. <math>\varepsilon = 1</math>.
Ich werde <math>R_x</math> erst dimensionieren, wenn der Rest der Schaltung dimensioniert ist.

=== Forderungen an das Ausgangssignal ===

[[Datei:quantisierung.png|120px|thumb]]

Jetzt muss man sich überlegen, wie stark die Welligkeit des Ausgangssignals nach dem Filter noch sein darf.
Damit sich die Bereiche der verschiedenen Taktungen klar trennen lassen, ist eine sinnvolle Forderung, dass nach dem Tiefpass für die Restwelligkeit bzw. die Restamplitude gilt:

<math>\Delta U_{max} = {U_0 \over 2 N} = {U_0 \over 2\cdot 2^m}</math>

Diese Forderung ist rechts graphisch veranschaulicht.

=== Der korrekte, mathematischere Weg für die nächsten Schritte ===

Wer in diversen mathematischen Grundlagen - wie Fourier-Reihe oder Laplace-Trafo - nicht so bewandert ist, der sollte ein Kapitel weiterspringen, in dem die nächsten Sachverhalte hoffentlich anschaulicher beschrieben ist.
Das Ergebnis ist in etwa dasselbe - zur späteren Verwendung empfiehlt sich natürlich, die genaueren Ergebnisse zu verwenden.

==== Analyse des PWM-Signals ====

Um die Forderung erfüllen zu können, muss man zuerst das PWM-Signal in eine Fourierreihe zerlegen. Man findet in entsprechenden Formelsammlungen für ein Signal mit einer Zeit <math>\tau_{ein}</math>, in der es die Amplitude <math>U_0</math> hat, und einer Periodendauer <math>T</math>:

<math>f(t)\sim U_0{\tau_{ein}\over T} + {2 U_0 \over \pi}\cdot [\sin \varphi \cos \omega_1 t + {\sin 2 \varphi \over 2} \cos \omega_2 t + {\sin 3 \varphi \over 3} \cos \omega_3 t + {\sin 4 \varphi \over 4} \cos \omega_4 t + ...]</math>

mit <math>\varphi = \pi {\tau_{ein} \over T}</math>

Wenn man nun den Fall betrachtet, dass die Amplitude der Schwingungen maximal ist - also das Tastverhältnis von 50% - vereinfacht sich die Formel folgendermaßen, da sich mit <math>\varphi = 0,5\pi </math> der Sinus vereinfacht:

<math>f(t)\sim 0,5 \cdot U_0 + {2 U_0 \over \pi}\cdot [\cos \omega_1 t - {1 \over 3} \cos \omega_3 t + {1 \over 5} \cos \omega_5 t - { 1 \over 7} \cos \omega_7 t + ...]</math>

Der Gleichanteil <math>U_{DC} = U_0{\tau_{ein}\over T} </math> wird ungedämpft durch den Tiefpass kommen. Die Grundfrequenz des Signals, <math>\omega_1</math>, soll sich bereits in dem Bereich des Filters befinden, in dem die Dämpfung mit <math>1 \over \omega^2</math> fällt.
Dementsprechend gilt in diesem Bereich für die Frequenz <math>\omega_k=k\cdot \omega_1</math>:

<math>D_1\omega_1^2=D_k \omega_k^2=k^2 D_k \omega_1^2</math>

<math>D_k={D_1 \over k^2}</math>

Die bisherigen Erkenntisse sind nun einmal in ein Tabelle zusammengefasst. In der untersten Zeile sind die Amplituden der PWM-Frequenz plus Oberwellen, gedämpft durch den Tiefpass, aufgeführt.

{| border="1" class="wikitable"
|+
|-
! f = || 0 || <math>f_1</math> || <math>f_3</math> || <math>f_k</math> || <math>f_{2k+1}</math>
|-
| <math>\left|U_k\right|</math> || <math>U_{DC}</math>|| <math>{2 U_0 \over \pi}</math> ||<math>{2 U_0 \over 3 \pi}</math> || <math>{2 U_0 \over k \pi}</math> || <math>{2 U_0 \over (2k+1) \pi}</math>
|-
| <math>D_k</math> || 1 || <math>D_1</math> || <math>D_3= D_1/9</math> || <math>D_1/k^2</math> || <math>D_1/(2k+1)^2</math>
|-
| <math>\left|U_k\right|\cdot D_k</math>|| <math>U_{DC}</math>|| <math>{2 D_1 U_0 \over \pi}</math>|| <math>{2 D_1 U_0 \over 27 \pi}</math>|| <math>{2 D_1 U_0 \over k^3 \pi}</math>|| <math>{2 D_1 U_0 \over (2k+1)^3 \pi}</math>
|}

Die gesamte Restamplitude liegt also in der Größenordnung von <math>\Delta U_{max} = \sum_{k=0}^\infty {2 D_1 U_0 \over (2k+1)^3\cdot T}</math>

==== Die gewünschte Grenzfrequenz ====

Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen für <math>\Delta U_{max}</math> ergibt sich für die Dämpfung <math>D_1</math> bei der Frequenz <math>\omega_1</math>:

<math>{U_0 \over 2 N} = \Delta U_{max} = \sum_{k=0}^\infty {2 D_1 U_0 \over (2k+1)^3 \pi}</math>

<math>{ D_1} = { \pi \over 4 N} \cdot { 1 \over \sum_{k=0}^\infty { 1 \over (2k+1)^3}}</math>

Nach [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+0+to+infinity+1%2F%282k%2B1%29%5E3 Wolfram Alpha]

<math>{ D_1} \approx { \pi \over 4 N} \cdot {1 \over 1,0518} \approx{ 0,75 \over N} </math>

<math>D_{g}\omega_{g}^2=1\cdot\omega_{g}^2=D_1 \omega_1^2</math>

<math>\omega_{g}=s_g=\sqrt{D_1 \omega_1^2}=\sqrt{{0,75 \over N }}\cdot \omega_{PWM}= {\pi f_{Takt}} \cdot \sqrt{{3 \over N^3 }}</math>

==== Die Übertragungsfunktion des doppelten RC-Tiefpasses====

Die Übertragungsfunktion muss bestimmt werden und mit der gewünschten - doppelter Pol bei <math>\omega_{g}</math> - gleichgesetzt werden. Diese gewünschte Übertragungsfunktion resultiert aus der Forderung nach der schnellstmöglichen Sprungantwort ohne Überschwinger.
D. h., sie stellt den aperiodischen Grenzfall dar.

<math>G(s)=\frac{\frac{1}{sC_{2}}}{R_{2}+\frac{1}{sC_{2}}}\frac{\frac{1}{sC_{1}+{1 \over R_x}+\frac{1}{R_{2}+\frac{1}{sC_{2}}}}}{R_{1}+\frac{1}{sC_{1}+{1 \over R_x}+\frac{1}{R_{2}+\frac{1}{sC_{2}}}}}=\frac{\varepsilon}{s^{2}\varepsilon R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}+s \varepsilon \left(R_{1}C_{1}+R_{1}C_{2}+R_{2}C_{2}\right)+1}\overset{!}{=}\frac{1}{\frac{s^{2}}{\omega_{g}^{2}}+\frac{2s}{\omega_{g}}+1}</math>

Aus dem Koeffizientenvergleich erhält man folgendes Gleichungssystem:

<math>\varepsilon R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}=\frac{1}{s_{g}^{2}}\,\Rightarrow\, R_{2}=\frac{1}{s_{g}^{2}\varepsilon R_{1}C_{1}C_{2}}</math>

<math>\varepsilon R_{1}C_{1}+\varepsilon R_{1}C_{2}+R_{2}C_{2}=\frac{2}{s_{g}}</math>

<math>0=\varepsilon R_{1}^{2}\left(C_{1}+C_{2}\right)-R_{1}\cdot\frac{2}{s_{g}}+\frac{1}{s_{g}^{2} \varepsilon C_{1}}</math>

<math>R_{1a,b}=\frac{\frac{2}{s_{g}}\pm\sqrt{\frac{4}{s_{g}^{2}}-4\frac{\varepsilon ( C_{1}+C_{2})}{\varepsilon C_{1}}\frac{1}{s_{g}^{2}}}}{2\varepsilon (C_{1}+C_{2})}=\frac{1\pm\sqrt{1-\frac{C_{1}+C_{2}}{C_{1}}}}{\varepsilon (C_{1}+C_{2})s_{g}}</math>

mit der Diskriminante <math>D=1-{C_1 + C_2 \over C_1}</math>

Da für reelle Lösungen (relle Widerstanswerte) <math>D \ge 0</math> gelten muss, muss der Bruch (von unten) gegen null gehen und damit <math>C_1 \gg C_2</math> sein.

Für die zwei Gleichungen und die vier Unbekannten <math>R_1</math>, <math>R_2</math>, <math>C_1</math> und <math>C_2</math> hat man jetzt zwei Freiheitsgrade, das heißt man kann z. B. die Kondensatoren frei wählen.

=== Der anschaulichere Weg ===

Man betrachte nur die Grundschwingung des Rechtecksignals bei der Taktung 0,5, da hier der Fourierkoeffizient der Grundschwingung am größten ist.
In den beiden gezeigten Bilder (einmal Taktung 0,2, einmal 0,5) hat die Grundschwingung bei 0,5 eine deutlich höhere Amplitude.

[[Datei:Fourier-Taktung05.png|500px]][[Datei:Fourier-Taktung02.png|500px]]

Das PWM-Signal wird dann angenähert durch einen Cosinus <math>u_{PWM}(t) = {2\over\pi}U_0 \cdot \cos\omega_{PWM}t</math>.
Die Oberwellen sind sowieso in der Amplitude geringer, und werden zusätzlich noch vom Filter stärker gedämpft.
Damit spielen sie nur eine so geringe Rolle, dass wir sie hier vernachlässigen wollen.

Die benötigte Dämpfung bei der PWM-Grundfrequenz ist dann <math>D_1={U_{out}\over U_{in}}= {{U_0\over 2N}\over {2\over \pi}}={\pi \over 4N}</math>.
Anschaulicher ist es wahrscheinlich, wenn man die Dämpfung in dB angibt.

<math>D_1\; in\ dB=20\log{\pi \over 4N} = 20 \log{\pi \over 4 } - 20 \log{2^m}\approx -2,1 dB - m \cdot 6 dB</math>

Für große n braucht man der der PWM-Grundfrequenz also näherungsweise 6 dB Dämpfung pro Bit. Ein Tiefpass vierter Ordnung fällt ab der Grenzfrequenz ja mit 80 dB pro Dekade, das heißt also für die Grenzfrequenz des Filters:

<math>f_g={s_g \over 2 \pi}=f_{PWM} \cdot 10^{-{6\cdot m\over80}}</math>

Beziehungsweise in anderer Betrachtungsweise: Ein Tiefpass n.-ter Ordnung fällt im Sperrbereich mit <math>D\sim {1 \over \omega^n}</math>. Bis zur Grenzfrequenz gilt näherungsweise (im Durchlassbereich), dass das Signal ohne Dämpfung durchkommt.

Demenstprechend gilt wegen der indirekten Proportionalität im Sperrbereich: <math>1 \cdot \omega_{g}^2=const.=D_1 \omega_{PWM}^2</math>

<math> \omega_{g}= \omega_{PWM}\sqrt{D_1}=2\pi {f_{Takt}\over N}\sqrt{\pi \over 4 N}=\pi {f_{Takt}}\sqrt{\pi \over N^3}</math>

Das ist natürlich recht ähnlich zum "genau gerechneten Ergebniss": <math> \omega_{g}=\pi {f_{Takt}}\sqrt{3 \over N^3}</math>

Jetzt muss man noch die beiden hintereinandergeschalteten RC-Tiefpässe dimensionieren.
Dabei soll gelten (zweimal diesselbe Grenzfrequenz):

<math> {1\over\omega_{g}}=\tau_g=(R_1||R_x)C_1=R_2C_2</math>

Damit der zweite Tiefpass den ersten nicht belastet, soll <math>R_2 \gg R_1||R_x</math> und damit <math>C_1 \gg C_2</math> gelten.

Man erhält nach freier Wahl der Kondensatoren die Formeln:

<math>R_{1}||R_x={R_1R_x\over R_1+R_x}=\varepsilon R_1 \rightarrow \varepsilon R_1 C_1 = \frac{1}{s_g}</math>

<math>R_{1}=\frac{1}{\varepsilon C_{1}s_{g}}</math>

<math>R_{2}={1\over s_g C_2}=\frac{1}{s_{g}^{2}\varepsilon R_{1}C_{1}C_{2}}</math>

Diese Formeln sind nahezu identisch mit den korrekten Ergebnissen, die als nächstes verwendet werden sollen.

=== Einfache Anwendung der bisherigen Ergebnisse ===

Als bekannte Größen werden benötigt:

<math>f_{Takt}</math>: Die Frequenz, mit der der Mikrocontroller läuft

<math>N</math>: Die Auflösung der PWM bzw. die Größe des entsprechenden Zählers

<math>\varepsilon</math>: Falls ein kleinerer Ausgangspegel gewünscht ist, gilt <math>\varepsilon = {U_{out, max} \over U_0 }</math>, ansonsten <math>\varepsilon =1</math>

Damit kann man sich die Grenzfrequenz <math>s_g = \pi f_{Takt}\sqrt{3\over N^3}</math> berechnen.

Wählt man noch nach persönlichen Vorlieben zwei Kondensatoren, die im Wert möglichst weit/ein paar Zehnerpotenzen auseinanderliegen, weil <math>C_1 \gg C_2</math> gelten soll, so kann man sich die beiden Widerstände berechnen.
Dabei kann man natürlich auch ein bisschen mit den Kondensatorwerten spielen, um eventuell auf bessere Widerstandswerte zu kommen.

Für die Widerstände gilt dann nach der exakten Berechnung:

<math>R_{1}=\frac{1}{\varepsilon(C_{1}+C_{2})s_{g}}</math>

<math>R_{2}=\frac{1}{s_{g}^{2}\varepsilon R_{1}C_{1}C_{2}} = {C_1 + C_2 \over s_g C_1 C_2}</math>

Den gewünschten Ausgangspegel kann man noch über den Widerstand <math>R_x</math> einstellen. Falls keine Dämpfung gewünscht ist, also <math>\varepsilon=1</math>, kann man einfach <math>R_x</math> weglassen.

<math>R_x = {\varepsilon\over1-\varepsilon}R_1 </math>

=== Vergleich der so gewonnenen Ergebnisse mit dem idealen Frequenzgang und Betrachten des Ausgangssignals ===

Beispielhaft wähle ich für das PWM-Signal <math>f_{Takt}=1MHz</math>, <math>\varepsilon=1</math> und <math>N=1024</math>, d. h. <math>s_g \approx 166 {1 \over s}</math>. Für die Kondensatoren soll gelten <math>C_1 = 100n</math> und <math>C_2 = 1n</math>.
Dann erhält man für die Widerstände <math>R_{1}=60k</math> und <math>R_{2}=6M</math>.

Als zweites Beispiel habe ich die Kondensatorwerte <math>C_{1x} = 100n</math> und <math>C_{2x} = 10n</math> gewählt, die die Bedingung <math>C_1 \gg C_2</math> nicht so gut erfüllt.
Hier erhält man für die Widerstände <math>R_{1x}=55k</math> und <math>R_{2x}=660k</math>.

Das m-File für die folgenden Berechnungen ist am Ende des Artikels verfügbar. Außerdem ist dort auch ein LT-Spice-File verfügbar, das u. a. diesen Tiefpass enthält.

Ich habe in Matlab die drei Bode-Diagramm geplottet. Das "ideale" und das mit den guten Kondensatorwerten liegen so nahe übereinander, dass man keinen Unterschied sieht.
Das Diagramm mit den schlechten Kondensatorwerten fällt etwas früher etwas flacher ab.

<pre>%% Plot der Bode-Diagramme für "idealen" Tiefpass und entsprechend entworfenen "realen"
% Auflösungsschritte
N=1024;
% PWM-Frequenz = 1 MHz / 1024
fPWM=977;
% geforderte Dämpfung
D1=0.75/N;
% geforderte Grenzfrequenz
s_g=2*pi*fPWM*sqrt(D1);

% Wahl der Kondensatorwerte und Berechnen der Widerstandswerte
% weit entfernte Werte
C1=100e-9;
C2=1e-9;
R1=1/((C1+C2)*s_g);
R2=1/(s_g^2*R1*C1*C2);
% nahe Werte
C1x=100e-9;
C2x=10e-9;
R1x=1/((C1x+C2x)*s_g);
R2x=1/(s_g^2*R1x*C1x*C2x);

% Festlegen der drei Übertragungsfunktionen
z=1;

n_ideal=[1/s_g^2 2/s_g 1];
G_ideal=tf(z,n_ideal);

n_meins=[R1*R2*C1*C2 R1*C1+R1*C2+R2*C2 1];
G_meins=tf(z,n_meins);

n_schlecht=[R1x*R2x*C1x*C2x R1x*C1x+R1x*C2x+R2x*C2x 1];
G_schlecht=tf(z,n_schlecht);

% Plot der drei Bode-Diagramme
figure(12);
bode(G_ideal,'g',G_meins,'b',G_schlecht, 'r');
legend('ideal','real, gut', 'real, schlecht');</pre>

[[Datei:Bode-Vergleich-tiefpässe.png|1000px]]

Interessant ist auch noch, ob bei entsprechendem Eingangssignal die Dämpfung groß genug ist, so dass sich die verschiedenen Auflösungsbereiche nicht überlappen. Dabei soll als Eingangssignal ein PWM-Signal mit einem Tastverhältnis von 0,5 betrachtet werden und der Grundfrequenz <math>f_{PWM} = {f_{Takt} \over N } = 977 Hz</math>.

<pre>%% Plot des Einschingverhaltens des Filters zum Betrachten der Restwelligkeit
% Zeitauflösung
Delta=9.77e-6/64;
% Gesamtzeit
Zeit=9.77/64;
% Zeitvektor
t=0:Delta:Zeit;

% Die beiden Impulsantworten
[h]=impulse(G_meins,t);
[h_schlecht]=impulse(G_schlecht,t);

% Erzeugen des Eingangssignals
Th=1/(fPWM*2)/Delta;
T=Th;
flag=0;
x=zeros(1,length(t));

for i=1:1:(1/Delta * Zeit + 1)
if(flag==0)
x(i)=1;
if(i>T)
T=T+Th;
flag=1;
end

else
x(i)=0;
if(i>T)
T=T+Th;
flag=0;
end
end

end

% Berechnen des Ausgangssignals durch Faltung und Anpassen der Länge
y=conv(x,h);
y_schlecht=conv(x,h_schlecht);
y=y(1:length(t))*Delta;
y_schlecht=y_schlecht(1:length(t))*Delta;

% Plot der beiden Kurven
figure(13);
plot(t,y,t,y_schlecht)
legend('gute Näherung', 'schlechte Näherung')
xlabel('t in Sekunden')
ylabel('U in Volt')</pre>

[[Datei:step-Vergleich-tiefpässe-out.png|1000px]]

[[Datei:step-Vergleich-tiefpässe-in.png|1000px]]

Man erkennt deutlich, dass die Schwankungen eine Amplitude von ca. 0,00045 haben, was ja recht genau der Forderung von <math>{ U_0 \over 2N}={1 \over 2048 }\approx 0,000488</math> entspricht.
Die "schlechtere" Variante hat dabei im letztendlichen Signal keinen schlechteren Verlauf, aber benötigt eine längere Zeit, um den Gleichanteil zu erreichen.

== Aktiver Tiefpass vierter Ordnung mit einstellbarer Verstärkung und Dämpfung==

Der soeben besprochene Tiefpass erfüllt fast alle genannten Anforderungen. Die Geschwindigkeitsfrage ist nicht gut gelöst (im Beispiel ist <math>\omega_g = 166 {1\over s}</math>). Für schnellere Anwendungen ist ein Tiefpass höherer Ordnung hilfreich, weil die Grenzfrequenz dann nach oben verschoben werden kann.
Wenn man die Tendenz der Widerstandswerte des letzten Beispieles betrachtet(KOhms, MOhms), wäre für 3. Ordnung dementsprechend entweder ein noch kleinerer Widerstand (Ohms) oder ein noch größerer (GOhms) nötig.
Das eine wäre eine zu hohe Belastung für den Mikrocontroller, das andere ist problematisch wegen der Weiterverarbeitung.

Man könnte also beispielsweise hinter die letzte Schaltung noch einen aktiven Tiefpass schalten, der
# einen genügend hochohmigen Eingang hat, um das letzte Signal weiterzuverarbeiten und
# einen niederohmigen Ausgang hat, wodurch die Weitervarbeitung nach dem Tiefpass keinerlei Schwierigkeit mehr darstellt.

Nachteilig ist der erhöhte Stromverbrauch gegenüber der ersten, rein passiven Lösung, von Vorteil ist nicht nur die bessere Geschwindigkeit, sondern es ist auch eine Verstärkung gegenüber der Versorgung des Mikrocontrollers möglich.

=== Die zweite Schaltung mit aktivem Teil ===

[[Datei:aktiver-tiefpass-4o.png|800px]]

Der erste Teil, von <math>U_{PWM}</math> auf <math>U_{2}</math>, ist im Prinzip ja bereits berechnet. Der zweite Teil, <math>U_{a}</math> zu <math>U_{2}</math>, ist noch zu dimensionieren.
Dabei kann man bei dieser Schaltung eine Verstärkung <math>V_{0}=1+{R_A \over R_B}</math> einstellen. Die Verstärkung darf dabei nicht größer als 3 sein, sonst wird der Filter instabil!

Je nach Anforderung kann man eine Verstärkung über <math>V_{0}</math> oder eine Dämpfung über <math>\varepsilon</math> einstellen. Dabei gibt es jetzt 3 Fälle:
# <math>V_{0}= 1</math> und <math>\varepsilon=1:\;\ \;\;R_{x}</math>, <math>R_{B}</math> als Leerlauf und <math>R_{A}</math> Kurzschluss
# <math>V_{0}= 1</math> und <math>\varepsilon<1:\;\ \;\;R_x = {\varepsilon\over1-\varepsilon}R_1 </math>, <math>R_{B}</math> als Leerlauf und <math>R_{A}</math> Kurzschluss
# <math>V_{0}> 1</math> und <math>\varepsilon=1:\;\ \;\;R_x</math> als Leerlauf, mit <math>V_0 = 1 + {R_A \over R_{B}}</math> <math>R_{A}</math> und <math>R_{B}</math> im festen Verhältnis wählbar

=== Die Übertragungsfunktion ===

Der erste Teil der Schaltung hat wie oben besprochen folgende Übertragungsfunktion:

<math>G_1(s)=\frac{\varepsilon}{s^{2}\varepsilon R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}+s \varepsilon \left(R_{1}C_{1}+R_{1}C_{2}+R_{2}C_{2}\right)+1}</math>

Der zweite Teil der Schaltung, ein sogenannter Sallen-Key Tiefpass zweiter Ordnung, hat folgende Übertragungsfunktion:

<math>G_2(s)={V_0 \over s^2 R_3C_3R_4C_4 + s[R_3C_3(1-V_0)+R_3C_4+R_4C_4]+1}</math>

Damit man die Gesamtübertragungsfunktion einfach bestimmen kann, muss der Ausgangswiderstand des ersten Teils deutlich kleiner sein als der Eingangswiderstand des zweiten Teils.
Denn dann kann die Übertragungsfunktion wie folgt bestimmt werden:

<math>G(s)=G_1(s)\cdot G_2(s)</math>

Deswegen werde ich die Widerstände für DC und bei der Frequenz <math>f_{PWM}</math> bestimmen.

<math>Z_{out, DC}=R_2 + R_x || R_1</math>

<math>Z_{in, DC}\rightarrow\infty</math>

Für den Gleichanteil ist also die Bedingung <math>Z_{in, DC} \gg Z_{out, DC}</math> erfüllt.

Für die Werte bei der PWM-Frequenz werde ich annehmen, dass der Impedanzwert der Kondensatoren bereits sehr klein geworden ist und somit kleiner als die verwendeten Widerstandswerte.

<math>Z_{out, AC}={1\over j \omega_{PWM} C_2}||(R_2 + ...)\lesssim{1\over j \omega_{PWM} C_2}</math>

<math>Z_{in, AC}=R_3+...\gtrsim R_3</math>

Durch die Bedingung <math>Z_{in} \gg Z_{out}</math> gilt dann:

<math>Z_{in, AC} \gtrsim R_3 \gg {1\over j \omega_{PWM} C_2} \gtrsim Z_{out, AC}</math>

Dementsprechend als einziges weiter zu beachten:

<math>R_3 \gg {1\over \left| j \omega_{PWM} C_2 \right|}</math>

Somit kann man guten Gewissens die Übertragungsfunktionen multiplizieren.

=== Aperiodischer Grenzfall beim Tiefpass 4. Ordnung ===

Durch Ausprobieren mit Matlab habe ich - nicht streng bewiesen sondern nur als Simulationsergebnis - herausgefunden, dass bei der folgenden Übertragungsfunktion <math>G(s)=G_1(s)\cdot G_2(s)</math> der aperiodische Grenzfall für <math>d\approx 0,8</math> erreicht ist.

<math>G(s)=G_1(s)\cdot G_2(s)={1\over {s^2 \over s_g^2 }+ {2s\over s_g}+1 }{1\over {s^2 \over s_g^2} + {2ds\over s_g}+1}</math>

Das m-File mit der Simulation ist unter Downloads zu finden, die Ergebnisse sind in den nächsten beiden Bildern veranschaulicht.

<pre>%% Ausprobieren der Dämpfung d bei einem Tiefpass 4. Ordnung,
% bei dem ein Teil ein Tiefpass zweiter Ordnung ist mit der
% Übertragungsfunktion G0 und beim zweiten Teil
% d = 0,6(überschwingen)...1(langsam) variiert

% Beispielhafte Grenzfrequenz, beliebig änderbar
sg=1;

% Übertragungsfunktion der ersten Schaltung - idealisiert natürlich
G0=tf(1,[1/sg^2 2/sg 1]);

% Einstellen verschiedener Werte für d, dabei ist das Ergebnis
% rausgekommen, dass ab d>=0,8 keine Überschinger mehr auftreten.

d=0.6;
G1=G0*tf(1,[1/sg^2 2*d/sg 1]);

d=0.7;
G2=G0*tf(1,[1/sg^2 2*d/sg 1]);

d=.75;
G2a=G0*tf(1,[1/sg^2 2*d/sg 1]);

d=0.8;
G3=G0*tf(1,[1/sg^2 2*d/sg 1]);

d=0.85;
G3a=G0*tf(1,[1/sg^2 2*d/sg 1]);

d=0.9;
G4=G0*tf(1,[1/sg^2 2*d/sg 1]);

d=1;
G5=G0*tf(1,[1/sg^2 2*d/sg 1]);

% Plot der Sprungantwort
figure(1);
step(G2a,G3,G3a);
legend('0.75','0,8','0,85')

%% Alternativer Plot mit mehr verschiedenen Dämpfungswerten
% figure(1);
% step(G1,G2,G2a,G3,G3a,G4,G5);
% legend('0,6','0,7','0.75','0,8','0,85','0,9', '1')
%
% figure(2);
% bode(G1,G2,G2a,G3,G3a,G4,G5);
% legend('0,6','0,7','0.75','0,8','0,85','0,9', '1')</pre>

[[Datei:aktiver-tiefpass-4o-Daempfung-d-0,8-out.png|1000px]]

[[Datei:aktiver-tiefpass-4o-Daempfung-d-0,8-in.png|1000px]]

=== Bestimmung der Grenzfrequenz und der Übertragungsfunktion ===

Das Vorgehen erfolgt fast analog zu obiger Berechnung, die einzige Änderung ist die Dämpfung <math>D_k = D_1 / k^4</math> wegen der höheren Ordnung.

<math>{U_0\over 2N}=\Delta U_{max}={ \sum_{k=0}^\infty {2 D_1 U_0 \over (2k+1)^5 \pi} }</math>

<math>D_1={\pi\over 4N}{1\over \sum_{k=0}^\infty {1 \over (2k+1)^5 } }\approx {\pi\over 1,0045\cdot 4N}\approx {0,79 \over N}</math>

<math>D_{g}\omega_{g}^4=\omega_{g}^4=D_1 \omega_1^4</math>

<math>\omega_{g}=s_g=\sqrt[4]{D_1 \omega_1^4}=\sqrt[4]{{0,79 \over N }\cdot \omega_{PWM}^4} = \omega_{PWM}\cdot\sqrt[4]{{0,79 \over N }}= \pi f_{Takt}\sqrt[4]{12,64 \over N^5}</math>

Gleichsetzen der Übertragungsfunktionen:

<math>G_2(s)= {V_0 \over s^2 R_3C_3R_4C_4 + s[R_3C_3(1-V_0)+R_3C_4+R_4C_4]+1} \overset{!}{=}\frac{1}{\frac{s^{2}}{\omega_{g}^{2}}+0,8\cdot\frac{2s}{\omega_{g}}+1}</math>

Aus Koeffizientenvergleich erhält man folgende Gleichungen:

<math> R_{3}R_{4}C_{3}C_{4}=\frac{1}{s_{g}^{2}}\,\Rightarrow\, R_{4}=\frac{1}{s_{g}^{2} R_{3}C_{3}C_{4}}</math>

<math>R_{3}C_{3}\cdot(1-V_0)+ R_{3}C_{4}+R_{4}C_{4}=\frac{1,6}{s_{g}}</math>

<math>0= R_{3}^{2}\left(C_{3}\cdot(1-V_0)+C_{4}\right)-R_{3}\cdot\frac{1,6}{s_{g}}+\frac{1}{s_{g}^{2} C_{3}}</math>

<math>R_{3a,b}=\frac{\frac{1,6}{s_{g}}\pm\sqrt{\frac{4\cdot0,64}{s_{g}^{2}}-{4\over s_g^2}\frac{( C_{3}\cdot(1-V_0)+C_{4})}{ C_{3}}}}{2 (C_{3}(1-V_0)+C_{4})}=\frac{1\pm\sqrt{0,64-\frac{C_{3}(1-V_0)+C_{4}}{C_{3}}}}{ (C_{3}(1-V_0)+C_{4})s_{g}}</math>

mit der Diskriminante <math>D=0,64-{C_3\cdot(1-V_0) + C_4 \over C_3}</math>

Für die doppelte Lösung mit <math>D = 0</math> gilt: <math>C_3\cdot(V_0+d^2-1)=C_3\cdot(V_0-0,36)= C_4</math> und damit <math>C_3(1-V_0)+ C_4=0,64C_3</math>

Jetzt kann man beispielsweise <math>C_3</math> wählen und erhält dann <math> C_4=C_3\cdot(V_0-0,36)</math>, <math>R_3={1\over s_g d C_3}</math> und <math>R_4={1\over s_g^2R_3C_3C_4}</math>

Aufpassen muss man natürlich, dass man die Bedingung <math>R_3 \gg {1\over \left| j \omega_{PWM} C_2 \right|}</math> einhält. Diese Bedingung kann mit der Formel für R_3 auch umgeschrieben werden zu:

<math>{1 \over s_g C_3} \gg {1\over \omega_{PWM} C_2 }</math>

<math>{C_3} \ll {\omega_{PWM} C_2\over s_g }</math>

<math>C_3 \lesssim { \omega_{PWM} C_2 \over 10 s_g } = { C_2 \over 5} \sqrt[4]{N \over 12,64 }</math>

=== Zusammenfassung zur Anwendung der Ergebnisse ===

Als bekannte Größen werden benötigt:

<math>f_{Takt}</math>: Die Frequenz, mit der der Mikrocontroller läuft

<math>N</math>: Die Auflösung der PWM bzw. die Größe des entsprechenden Zählers

<math>\varepsilon</math> oder <math>V_0</math>: Falls ein kleinerer Ausgangspegel gewünscht ist, gilt <math>\varepsilon = {U_{out, max} \over U_0 }</math> und <math>V_0=1</math>, bei gleichem Pegel <math>\varepsilon =1</math> und <math>V_0=1</math> und bei höherem Pegel <math>\varepsilon =1</math> und <math>1<V_0<3</math>

Damit kann man sich die Grenzfrequenz <math>s_g = \pi f_{Takt}\sqrt[4]{12,64\over N^5}</math> berechnen.

Jetzt wählt man zwei Kondensatoren <math>C_1</math> und <math>C_2</math>, die im Wert möglichst weit/ein paar Zehnerpotenzen auseinanderliegen, weil <math>C_1 \gg C_2</math> gelten soll.
Jetzt kann man natürlich auch ein bisschen mit den Kondensatorwerten spielen, um auf bessere Widerstandswerte zu kommen.

Für die Widerstände gilt dann:

<math>R_{1}=\frac{1}{\varepsilon(C_{1}+C_{2})s_{g}}</math>

<math>R_{2}=\frac{1}{s_{g}^{2}\varepsilon R_{1}C_{1}C_{2}}</math>

Und für die weiteren Kondensatoren:

<math>{C_3} \lesssim {{ C_2\over 5} \sqrt[4]{N\over 12,64} }</math>

<math>{C_4} =C_3\cdot(V_0-0,36)</math>

Und für die weiteren Widerstände:

<math>R_{3}=\frac{1}{0,8\cdot C_{3} s_{g}}</math>

<math>R_{4}=\frac{1}{s_{g}^{2}R_{3}C_{3}C_{4}}</math>

Den gewünschten Ausgangspegel kann man noch über den Widerständ <math>R_x</math>, <math>R_A</math> und <math>R_B</math> einstellen. Falls keine Dämpfung gewünscht ist, also <math>\varepsilon=1</math>, kann man einfach <math>R_x</math> weglassen.
Falls keine Verstärkung gewünscht ist, also <math>V_0=1</math>, kann man <math>R_A</math> durch einen Kurzschluss und <math>R_B</math> durch einen Leerlauf ersetzen. Ansonsten gilt:

<math>R_x = {\varepsilon\over1-\varepsilon}R_1 </math>

<math>V_0 = 1 + \frac{R_A}{R_B}</math>

=== Ein weiteres Beispiel: Ausprobieren der Schaltung mit LTSpice ===

Ich werde wieder das vorherige Beispiel aufgreifen: <math>f_{Takt}=1MHz</math>, <math>\varepsilon=1</math>, <math>V_0=1</math> und <math>N=1024</math>, d. h. <math>s_g \approx 1022 {1 \over s}</math>.
Für die Kondensatoren soll gelten <math>C_1 = 100n</math> und <math>C_2 = 2,2n</math>.
Dann erhält man für die Widerstände <math>R_{1}=9,57k</math> und <math>R_{2}=455k</math>.

Für <math>{C_3}</math> erhält man <math>{C_3} \lesssim {{ 2,2n\over 5} \sqrt[4]{1024\over 12,64} }=1,32n</math>.

<math>{C_3} = 1n</math>

<math>{C_4} = 0,64n</math>

<math>{R_3}= \frac{1}{1n \cdot 0,8\cdot 1022}=1223k</math>

<math>{R_4}= \frac{1}{1n \cdot 0,64n 1022^2\cdot 1223k}=1223k</math>

Die deutliche Verbesserung bezüglich der Geschwindigkeit sieht man im folgenden Bild - das Simulationsergebnis der Transientenanalyse mit LT-Spice.
Die Zeit, bis sich der Endwert eingestellt hat, hat sich von über 40 ms auf ca. 10 ms verbessert.

Das Schematic zur Simulation steht unten als Download bereit.

[[Datei:transientenanalyse-tiefpässe.png|1000px]]

=== Realisierung der berechneten Werte ===

==== Betrachtung der Kondensatorwerte ====

Die ersten drei Kondensatoren sind ja frei wählbar. Hier dürfte sich also kein Problem ergeben.

Beim Kondensator <math>{C_4} = C_3 \cdot (V_0 - 0,36)</math> verhält es sich schon anders. <math>V_0</math> ist ja fest.
Deswegen ist es sinnvoll, den Paramter <math>d = 0,8</math> etwas größer zu wählen. Damit verzichtet man zwar auf etwas Geschwindigkeit, dafür erhält allerdings man einen Kondensatorwert für <math>C_4</math>, den man auch kaufen kann.

<math>{C_4} \ge C_3 \cdot (V_0 - d)</math> mit <math>d \ge 0,8</math>

<math>d = \sqrt{{C_4 \over C_3} +1 - V_0 }</math>

Für der Spezialfall <math>V_0=1</math> ergibt sich <math>{C_4} \approx C_3 \cdot 0,68</math> (2 Schritte darunter in der E12- bzw. 4 Schritte in der E24-Reihe) und damit für <math>d = 0,825</math>.

==== Betrachtung der Widerstandswerte ====

Mit dem neuen Werte für <math>d</math> müssen die Widerstände <math>R_3</math> und <math>R_4</math> neu berechnet werden.

Alle Widerstandswerte können entweder durch eine Parallelschaltung - berechnet z. B. mittels [http://www.heise.de/download/widerstand-ist-zwecklos-pointless-resistance-1161494.html Programm] - oder durch den nächsten bzw. nächstgrößeren Widerstandswert realisiert werden.
Der höhere Widerstandswert bedeutet einen höhere Zeitkonstante und damit einen niedrigere Grenzfrequenz. Damit wird man zwar etwas langsamer, ist aber bezüglich der Dämpfung des Ausgangssignals auf der sicheren Seite.

Zum Vergleichen der Schaltungen sind auch beispielhafte Realisierungen im LT-SPice-Schematic eingetragen. Die Ergebnisse werden nicht besonders stark verfälscht.

== Downloads ==

* [https://dl.dropbox.com/s/r6pucf2nuck16nn/rctp2o.m?dl=1 m-File zur Simulation der ersten Schaltung]
* [https://dl.dropbox.com/s/1uahc4telp5pew5/Daempfung___aperiodischer_Grenzfall___Ueberschwinger.m?dl=1 m-File zur Einstellung des Parameters d]
* [https://dl.dropbox.com/s/qhl0jwprh2hzyoq/Tiefpässe.asc?dl=1 LT-Spice Simulations-Schematic für beide Schaltungen]

[[Kategorie:Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Wettbewerb]]

Transformatoren und Spulen

2021-05-25T01:19:39Z

172.26.34.91: /* Weblinks */

== Vorwort ==

Dieser Text ist eine Übersetzung des englischen [http://ludens.cl/Electron/Magnet.html Originals]. Es wurde nur dahin erweitert bzw. verändert, dass für alle Formelzeichen die in Deutschland gängigen Buchstaben verwendet wurden. Weiterhin sind alle Formeln bei der ersten Erklärung doppelt geschrieben. Einmal mit Formelzeichen und einmal mit den dazugehörigen Einheiten, welche dann in eckigen Klammern [ ] dargestellt werden.
Dieser Artikel existiert auch als leicht überarbeitetes PDF zum Herunterladen und Drucken: [[Datei:Transformatoren_und_Spulen.pdf]].

== Einleitung ==

Es gibt viele Elektroniker, sowohl Hobbybastler als auch Profis, welche mit dem Elektromagnetismus auf Kriegsfuß stehen. Immer, wenn sie eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Spule_%28Elektrotechnik%29 Spule] oder einen [http://de.wikipedia.org/wiki/Transformator Transformator] entwerfen müssen, tut sich ein Abgrund der Verzweiflung vor diesen Leuten auf. Das Schlimmste ist, dass diese armen Opfer meist nicht schuld sind, da die Autoren von Sachbüchern scheinbar eine Verschwörung geschmiedet haben, um diese Dinge möglichst kompliziert zu erklären, so dass sie niemand wirklich verstehen kann. Oder die Autoren haben es selber nicht richtig verstanden?

Gut – das Internet rettet uns. Ich werde die Grundlagen in einfachen, verständlichen Worten erklären. Hier findest du die meisten Informationen, welche benötigt werden, um elektromagnetische Teile zu entwickeln.

==Die Einheiten==

Ich habe eine Bitte. Wer auf dieser Seite landet, soll bitte alle alten und absurden Einheiten, mit denen die Sachbücher vollgestopft sind, vergessen. Am meisten zu nennen Zoll (Inch), Gauß und Oersted. Entferne diese Worte vollständig aus deinem Vokabular. Die haben dort keinen Platz. Sie sind grundlegende Schuldige bei der Verwirrung der Menschen, welche magnetische Entwicklungen machen wollen, sie machen sie irre. Nachdem wir sie nun losgeworden sind, können wir anfangen.

Die erste Einheit, die wir nutzen werden, ist das Weber, geschrieben als Wb. Das ist die offizielle Einheit des magnetischen Flusses <math>\Phi</math>. Wenn man eine Leiterschleife nimmt und 1 V für 1 s anlegt, wird der Fluß in der Schleife sich um 1 Wb geändert haben. Man beachte, dass das immer so ist, egal wie groß oder geformt die Schleife ist und egal, was sich in ihr befindet. Offiziell ist die Definition des Weber so
::<math>\Phi = U \cdot t</math>

::<math>[\Phi] = \text{Wb} = \text{V} \cdot \text{s}</math>

Aber ich bevorzuge die Gleichung in etwas praktischerer Form, bei der die Windungszahl N einer Spule berücksichtigt wird. Das ist eine unserer grundlegenden Wahrheiten.

:<math>(1)\quad \Phi = \frac{U \cdot t}{N}</math>

d.h. die Änderung des magnetischen Flusses (in Weber) ist die Spannung (in Volt) multipliziert mit der Zeit (in Sekunden) geteilt durch die Windungszahl. Das ist eine der mächtigsten und nützlichsten Formeln die wir haben.

Wenn wir ein gewisses Maß an magnetischem Fluß durch eine bestimme Fläche pressen, dann können wir von Flußdichte sprechen. Die Einheit ist Tesla, geschrieben als T, das Formelzeichen ist B. Die Definition ist einfach und offensichtlich.

:<math>(2)\quad B = \frac{\Phi}{A}</math>

::<math>\left[\text{B}\right] = \text{T} = \frac{\text{Wb}}{\text{m}^2}</math>

Man beachte, daß die Sprache von Quadratmetern im Bereich der Elektronik etwas praxisfern klingt, da die meisten Bauteile eher Querschnitte im Bereich von Quadratzentimetern haben. Aber bitte glaub mir daß es praktischer ist, diese "unpraktischen" Dinge zu akzeptieren als ein Dutzend verschiedene Umrechnungsfaktoren zu benutzen! Die Grundeinheiten haben den großen Vorteil, daß absolut keine Umrechnung nötig ist.

Die Grundeigenschaft einer jeden Spule ist [http://de.wikipedia.org/wiki/Induktivit%C3%A4t Induktivität], Formelzeichen L. Sie ist gemessen in Henry, geschrieben als H, definiert durch:

:<math>(3)\quad L = \frac{\Phi}{I}</math>

::<math>[\text{L}] = \frac{\text{Wb}}{\text{A}} = \frac{\text{V} \cdot \text{s}}{\text{A}} = \text{H}</math>

oder in Worten: Ein Henry ist die Induktivität, welche den Strom um 1 Ampere steigen läßt, wenn man für eine Sekunde ein Volt anlegt. Diese Gleichung ist für unser Zwecke auch sehr nützlich. Jetzt können wir anfangen zu spielen. Wir können Gleichung (1) und (3) verbinden und erhalten das Folgende

::<math>L = \frac{\Phi \cdot N}{I}</math>
::<math>[\text{L}] = \frac{\text{Wb}}{\text{A}}</math>

Solche mathematischen Umwandlungen stimmen immer und geben uns die Möglichkeit, unbekannte Größen zu bestimmen.

=== Tabelle aller verwendeten Formelzeichen ===

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Parameter || Formelzeichen || Einheit || Einheit Kurzform
|-
| magnetischer Fluß || <math>\!\,\Phi</math> || Weber || Wb
|-
| magnetische Flußdichte || B || Tesla || T
|-
| Induktivität || L || Henry || H
|-
| Spannung || U || Volt || V
|-
| Strom || I || Ampere || A
|-
| Fläche || A || Quadratmeter || m²
|-
| Zeit || t || Sekunde || s
|-
| Energie || E || Joule || J
|-
| Windungszahl || N || keine || 1
|-
| Frequenz || f || Hertz || Hz
|-
| Länge || l || Meter || m
|-
| Widerstand || R || Ohm || Ω
|-
| spezifischer Widerstand || ρ || Ohm mal Quadratmillimeter pro Meter||<math>\frac{\Omega \cdot \text{mm}^2}{\text{m}}</math>
|-
| Relative Permeabilität || µr || keine || 1
|}

Achtung! Nicht das Formelzeichen der Fläche mit der Einheit des Stroms verwechseln!

Aber jetzt geht's an praktische Dinge.

== Entwicklung von Netztrafos ==

Während fast jeder Elektroniker weiß, daß das Spannungsverhältnis eines Transformators von dem Windungsverhältnis abhängt, taucht die Frage bei vielen Anfängern auf

"Wieviele Windungen pro Volt brauche ich?"

Es ist sehr einfach. Man hat einen Eisenkern, den will man bewickeln. Als erstes mißt man den Querschnitt des Eisens, durch den der magnetische Fluß geht. Sagen wir, der Mittelschenkel eines Transformators ist 2 cm breit und der ganze Stapel der laminierten Bleche ist gut zusammengepreßt auf 3 cm. Das bringt uns 6 cm² bzw. 6 ⋅ 10-4 m² Querschnitt. Nun müssen wir entscheiden, wieviel Flußdichte wir in unserem Eisen haben wollen. Bei niedrigen Frequenzen wie bei 50 Hz Netztrafos ist der begrenzende Faktor die Sättigung des Kerns. Sehr bescheidene Transformatoren sättigen bei 1 T, aber typische Werte liegen bei 1,2 oder 1,3 T, und ein gutes kornorientiertes Material geht vielleicht bis 1,6 oder sogar 1,7 T. Wenn man wirklich nicht weiß, welches Material man hat, sollte man besser bei 1 T auf der sicheren Seite bleiben. Für dieses Beispiel nehmen wir an, daß das Eisen für 1,2 T gut genug ist.

Durch Anwendung von Formel (2) erhält man den maximal zulässigen Fluß von 0,72 mWb. Doch bevor es weitergeht, warte für einen Moment und denk nach! Eisen kann in beide Richtungen magnetisiert werden. Die Gesamtänderung des magnetischen Flusses, vom maximal negativem zum maximal positiven, kann 1,4 mWb betragen. Weiter mit Formel (1) und der Berechnung der Windungen. Nehmen wir an wir reden von Chile oder einem anderen Land mit 220 V und 50 Hz.

::<math>1,44~\text{mWb}=\frac{220~\text{V} \cdot 10~\text{ms}}{N}</math>
::<math>N=\frac{220~\text{V} \cdot 10~\text{ms}}{1,44~\text{mWb}}=1528</math>

Das ist die Windungszahl der 220 V Primärwicklung.
Einfach, oder? In Wirklichkeit ist das oben Gesagte zu einfach um wahr zu sein. Es gibt einen anderen Faktor, den ich übersprungen habe. Das Obige wäre wahr, wenn die Netzspannung 220 V Rechteck wäre. In Wahrheit ist es aber ein Sinus mit 220 V Effektivwert, während der Mittelwert etwas anders ist. Und der magnetische Flußaufbau hängt vom Mittelwert ab, '''nicht''' vom Effektivwert! Also müssen wir einen kleinen Korrekturfaktor einführen, welcher durch Mathematik aus der Sinusfunktion abgeleitet werden kann. Anstatt mit der exakten Mathematik hier zu nerven empfehle ich mein Kochbuchrezept. 11 % zu unserem Vorteil.<ref>Kurze Herleitung: Das Verhältnis Spitzenwert/RMS-Wert einer Sinusgröße ist sqrt(2), das Gleichrichtwertsverhältnis ~1,57, ergo 1,41*1,11 = 1,57</ref> Also reichen hier 1376 Windungen. Wo kommen die 10 ms her, mag man fragen? Denk noch mal. Die Änderung vom maximal negativen zum maximal positiven Fluß passiert in einer Halbwelle. Und bei 50 Hz sind das 10 ms. Wir können das alles in eine einfache, universelle Formel packen, gültig für die Berechnung der Windungen für alle Transformatoren und Spulen mit Sinusspannung.

:<math>(4)\quad N = \frac{U_{RMS}}{4,44 \cdot A \cdot f \cdot B}</math>
::<math>[\text{Windungen}] = \frac{[V]}{4,44 \cdot [m^2] \cdot [Hz] \cdot [T]}</math>

Die 4,44 ist kein Umrechnungsfaktor, sondern ergibt sich aus 2 * 2 * 1,11. Eine "2" ist für die Tatsache, daß der magnetische Umschwung doppelt so groß wie der einseitige ist (damit kann man die einfache Sättigungsgrenze einsetzen), die andere "2" entsteht durch die zwei Halbwellen der Sinusschwingung und die 1,11 ist der Umrechnungsfaktor von Effektivwert auf Mittelwert der Sinusspannung.
:(<math> N = \tfrac{\hat{Uind}}{d\Phi/dt} </math> für Sinus: <math>= \tfrac {\hat{Uind}} { j \omega \cdot \Phi } = \tfrac {\hat{Uind}} {2 \cdot \pi \cdot f \cdot B \cdot A} = \tfrac { \sqrt{2} \cdot Uind_{rms} } {2 \cdot \pi \cdot f \cdot B \cdot A} </math> also <math>4,44 \approx \tfrac {2 \cdot \pi } { \sqrt{2}} </math>)

=== Leistung ===

Eine andere Frage ist meistens, wieviel Leistung ein Trafo bestimmter Größe übertragen kann. Laßt uns das analysieren.

Der magnetische Fluß im Kern hängt ab von der Spannung, welche an die Windungen angelegt wird, der Frequenz, aber '''nicht''' dem Strom, welcher der Transformator liefert! Oh, na gut, ein wenig Abhängigkeit gibt es da schon durch Effekte der realen Welt. Wenn man mehr Strom zieht, fällt durch den Widerstand der Wicklung etwas Spannung ab, wodurch die effektiv an der Wicklung wirksame Spannung reduziert wird und dadurch der magnetische Fluß proportional reduziert wird. Aber der entscheidende Punkt ist, daß der Kern des Trafos '''nicht''' die Ausgangsleistung beeinflußt. Diese Grenze kommt von den Wicklungen und hat zwei Seiten. Eine ist der Spannungsabfall, welche proportional zum Ausgangsstrom ist und an einem Punkt so groß sein wird, daß die Spannung für die Last nicht mehr ausreicht. Die andere ist Erwärmung. Mit steigender Last steigt die Verlustleistung in den Wicklungen quadratisch, und wenn man genügend Leistung lange genug entnimmt werden sie abbrennen.

All das Gesagte macht klar, daß die Leistung eines Transformators abhängt von dem magnetischen Kernquerschnitt (weil mehr Querschnitt weniger Windungen benötigt, damit dickerer Draht verwendet werden kann) und von der Größe des Wickelfensters, das ist der Querschnitt wo sich die Wicklungen befinden. Aber es gibt keine lineare Formel für den Zusammenhang dieser beiden Dinge zur Leistung. Wenn ein Transformator größer wird, wird der Pfad zur Wärmeableitung länger und somit wird das Anwachsen der Leistung geringer als das Produkt der beiden Querschnittsflächen.

Bei all dem Durcheinander werde ich keine Abschätzungen abgeben, dafür aber die reale Berechnung empfehlen. Für einen gegebenen Eisenkern, berechne die benötigten Windungen, beachte den verfügbaren Platz dafür, berechne die Drahtstärke und über den spezifischen Widerstand von Kupfer von 0,0178 Ω ⋅ mm² / m den Gesamtwiderstand der Wicklung. Jetzt kann es helfen zu wissen, daß für kleine Transformatoren ein maximaler Verlust von 10 % (5 % pro Wicklung) normalerweise akzeptiert wird. Das sollte es ermöglichen, die Leistung zu berechnen, welche sicher aus dem Trafo entnommen werden kann, wenn man genug Wissen für diese Rechnung hat. Man braucht nicht mehr Mathematik als man in der Schule gelernt hat, etwa in der 5. Klasse.

Hey, ich höre euch schreien. Ok, ok, um die Sache klarer zu machen werde ich ein Beispiel vorrechnen. Nehmen wir den Kern von oben an, mit 6 cm² Querschnitt und 10 cm² verfügbar für die Wicklungen und daß eine Windung im Mittel 20 cm lang ist. Wir verteilen den Wickelraum gleichmäßig auf Primär- und Sekundärseite. Und wir nehmen an, daß nur 40 % des Wickelfensters wirklich für Kupfer genutzt werden, der Rest ist Isolation, Luft und verlorener Zwischenraum. Das ist in etwa eine realistische Annahme und beschert uns 2 cm² für das Kupfer pro Wicklung. Mit 1376 Windungen hat die Primärwicklung einen Drahtquerschnitt von 0,14 mm², die Gesamtlänge ist 275 m. Der Widerstand berechnet sich aus

::<math>R = \frac{\rho \cdot l}{A} = \frac{0,0178 \frac{\Omega \cdot mm^2}{m} \cdot 275m}{0,14mm^2}=35 \Omega</math>

Wir erlauben 5 % Verlust in jeder Wicklung. Bei 220 V sind das 11 V. Nun einfach das ohmsche Gesetz anwenden und der maximal Primärstrom ist 0,32 A, multipliziert mit 220 V ergibt das ein maximale Eingangsleistung von 70 VA für diesen Trafo.

Cool, he? ;-)

Man beachte, daß der Magnetisierungsstrom hier nicht berücksichtigt wird. Du sagst vielleicht, daß selbst wenn es nur 10 oder 20 % des Maximalstroms sind, er doch berücksichtigt werden muß. Wenn du das sagst, liegst du falsch. Der Magnetisierungsstrom ist 90° phasenverschoben zum transformierten Laststrom und dadurch, selbst wenn es 20 % des Laststrom sind, die Spitze der vektoriellen Summe der beiden sehr nahe beim Laststrom allein liegt. Es lohnt sich nicht den kleinen Unterschied zu beachten.

== Transformatoren für Schaltnetzteile ==

Das vorherige Kapitel kann nahezu vollständig auf Transformatoren höherer Frequenz in Schaltnetzteilen angewendet werden. Es gibt nur ein paar praktische Unterschiede, welche ich jetzt nennen werde.

Bei Frequenzen über ein paar hundert Hertz ist die Sättigung nicht mehr der begrenzende Faktor bei Auswahl der maximalen Flußdichte. Der Grund liegt darin, daß die Verluste des magnetischen Materials so hoch werden, daß die Flußdichte verringert werden muß, um ein akzeptables Maß an Verlusten zu erreichen. Man braucht wirklich das Datenblatt des Herstellers, um die akzeptable Flußdichte zu ermitteln. Um eine grobe Vorstellung zu erhalten, sollte man bedenken, daß fast immer Ferritmaterial benutzt wird. Ferrit sättigt bei 0,3 bis 0,4 T; das ist die absolute Grenze. Für ein typisches Leistungsferrit muß man die Flußdichte bei 25 kHz unterhalb 150 mT halten, und über 100 kHz unter 50 mT. Aber viel hängt auch von der Kerngröße ab. Ein größerer Kern muß dabei mit geringerer Flußdichte arbeiten, um eine Überhitzung zu vermeiden.

Normalerweise arbeiten Schaltnetzteile mit Rechtecksignalen, d.h. man muß die 11 % zur "Sinuskorrektur" aus der Formel (4) entfernen. Und dann nutzen viele Schaltnetzteile den magnetischen Kern nur einseitig, sprich er wird nur in eine Richtung magnetisiert, was wiederum einen Faktor zwei aus der Formel entfernt. Für den Rest ist die Rechnung die gleiche wie für Netztafos.

Sei nicht überrascht wenn man mit sehr wenigen Windungen endet. Faktisch ist es ziemlich normal, nur 10 oder 20 Windungen an einer 300 V Primärwicklung eines großen Schaltnetzteils zu haben.

== HF-Breitbandübertrager==

Vielleicht hast du diese Ferrittrafos schon am Ausgang von Transistor HF-Verstärkern gesehen. Sie sehen aus wie zwei Ferritröhren nebeneinander, mit zwei Kupferröhren hineingesteckt, welche die Primärwicklung mit einer Windung ergeben. Durch diese Kupferröhren sind einige Windungen isolierter Draht gezogen, welche die Sekundärwicklung bilden. Laßt uns so einen Trafo als Beispiel nutzen.

Unser hypothetischer Fall ist ein 100-W-Push-Pull-Verstärker für 1,8-30 MHz, gespeist von 13,8 V, wie sie zu Millionen täglich von Funkamateuren und allen möglichen kommerziellen Diensten genutzt werden. Jeder Transistor kann seine Seite der Primärwicklung ziemlich nah an Masse heranziehen, aber nicht ganz, wegen der Sättigungsspannung. HF-Transistoren sättigen typisch bei 1 V, so daß es vernünftig ist anzunehmen, daß der Transistor um 12,8 V schalten kann, was 25,6 V Spitzenspannung für die Primärwicklung bedeutet, oder ca. 18 V RMS. Auf der anderen Seite soll die Sekundärwicklung die HF-Leistung an 50 Ω liefern, und 100 W an 50 Ω sind 70,7 V. Deshalb brauchen wir ein Spannungs(Windungs)verhältnis von ca. 3,9. Mit einer Primärwicklung mit nur einer Windung können wir nur ganzzahlige Verhältnisse realisieren, deshalb entscheiden wir uns für vier Sekundärwindungen. Der Effekt ist, daß bei 100 W die Transistoren bei 17,7 V RMS laufen, oder 25 V Spitze. D.h. sie schwingen über 12,5 V der Stromversorgung und lassen dabei 1,3 V übrig für sie Sättigung. So weit so gut.

Bei 1,8 MHz, unsere niedrigste Frequenz, kann ein typischer Ferrit sicher bis 12 mT belastet werden. Wir haben einen schönen, reinen Sinus, also nutzen wir Gleichung (4).

::<math>1 Windung = \frac{17,7V}{4,44 \cdot A \cdot 1,8MHz \cdot 12mT}</math>

umgestellt nach der Fläche

::<math>A = \frac{17,7V}{4,44 \cdot 1 Windung \cdot 1,8MHz \cdot 12mT} = 1,8 \cdot 10^{-4}m^2</math>

Wir brauchen ein Kernquerschnitt von 1,8 cm². Ein kleinerer Kern würde bei voller Leistung nach einiger Zeit überhitzen, während ein größerer etwas teuerer wäre, aber den Vorteil der spektralen Reinheit mit sich bringt, denn geringere Flußdichte heißt weniger Verzerrung. Aber für die Übung bleiben wir bei 1,8 cm².

Wir müssen noch etwas arbeiten. Wir könnten einen langen, dünnen Ferrit nutzen oder einen kurzen dicken. Und wir können unter verschiedenen Ferrittypen wählen. Um die Auswahl einzuschränken, schauen wir uns die Induktivitätsforderung an. Der Ansatz ist, daß der Transformator eine Induktivität haben sollte, die hoch genug ist, um wenig Einfluß zu haben, wenn man ihn parallel zur Last schaltet. Pi mal Daumen sollte der induktive Widerstand zehnmal höher sein als die Last. Man kann sich aussuchen, ob man das für die Sekundärspule mit vier Windungen und 50 Ω oder die Primärspule mit einer Windung und 3,1 Ω berechnen will, das Ergebnis ist gleich. Ich wähle die Primärseite. Der induktive Widerstand berechnet sich aus

::<math>X_L=2 \pi \cdot f \cdot L</math>

Das heißt für uns

::<math> L=\frac{X_L}{2 \pi \cdot f}=\frac{31 \Omega}{2 \pi \cdot 1,8 MHz}=2,7 \mu H</math>

Wir brauchen also 2,7 µH, um Pi mal Daumen die Anforderung des zehnfachen induktiven Widerstands zu erfüllen. Jetzt muß man sich die Datenblätter der Kerne anschauen und den passenden raussuchen. Für diese Beispiel werde ich den Katalog von Amidon nutzen.

Versuchen wir den ziemlich verbreiteten Typ FT-50-43. Dieser Ringkern hat 0,133 cm² Querschnitt. Zwei Stapel zu je sieben Stück würden unsere Anforderung bezüglich Flußdichte erfüllen. Der [http://de.wikipedia.org/wiki/AL-Wert#Bestimmung_der_Induktivit.C3.A4t_mittels_AL-Wert AL-Wert] ist 0,52 µH/N², d.h. 14 Kerne mit einer Wicklung ergeben 7,3 µH, ein Mehrfaches unseres benötigten Wertes. Weil aber Breitbandverstärker zu Schwingungen bei niedrigen Frequenzen tendieren, weil dort die Transistoren die größte Verstärkung haben, ist es keine gute Idee mehr Leistung bei niedrigen Frequenzen anzubieten als notwendig. Versuchen wir einen anderen Typ.

Das Material 43 hat eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Permeabilit%C3%A4t_%28Magnetismus%29 Permeabilität] von 850. Ein Kern mit den gleichen Abmessungen aber mit einer Permeabilität von nur 330 wäre nett. Aber Amidon macht keine Kerne dieser Größe in einer Permeabilität auch nur annähernd zu dem. Hey, man kann nicht immer umsonst Achterbahn fahren. Die nächstniedrigere Permeabilität, welche von Amidon verfügbar und für unser Projekt brauchbar ist, ist 125, das ist zu wenig. Also bleiben wir beim 43er Material uns sehen was wir machen können.
Es gibt den FT-82-43 aus dem gleichen Material. Er ist viel dicker, hat 0,25 cm² Querschnitt und einen AL-Wert ziemlich ähnlich zu unserem anderen Kern, 0,55 µH/N². Zwei Stapel mit je vier Stück ergeben mehr als genug Querschnitt mit 4,4 µH. Das ist eine brauchbare Lösung und bringt uns mehr Platz für die Wicklungen.

Bei höheren Frequenzen ist die Flußdichte geringer und bleibt damit unterhalb der Grenze des Materials. Das Verhältnis zwischen induktivem Widerstand und Lastwiderstand verbessert sich mit steigender Frequenz, aber bei den höchsten Frequenzen könnten parasitäre Kapazitäten starken Einfluß gewinnen, so daß man sie bei der Entwicklung berücksichtigen sollte.

== Energiespeicherung in Magnetkernen ==

Weiß du wieviel Energie eine Spule speichert? Das ist definiert durch die gleiche, alte Formel, die oft in der klassischen Physik auftaucht.

:<math>(5)\quad E = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2</math>
::<math> [J] = \frac{1}{2} \cdot [H] \cdot [A]^2</math>

Die Einheit der Energie ist Joule (J). Die Induktivität L in Henry (H) sowie der Strom I durch die Spule in Ampere (A). Im Falle eines Transformators muß dieser Strom netto berechnet werden, nachdem man die (transformierten) Primär- und Sekundärströme abgezogen hat unter Berücksichtigung des Windungsverhältnisses. Kurz, das ist der Magnetisierungsstrom.

In den meisten Anwendungen als Transformator ist dieser Strom nicht wirklich gewünscht, aber ein unvermeidbarer Nebeneffekt. Aber es gibt Anwendungen, welche diese Energiespeicherung gut nutzen. Ein sehr wichtiges Beispiel ist der Sperrwandler. Im Prinzip speichert dieser Wandler die Energie von der Primärseite und entlädt sie in die Sekundärseite, oft mit einer Spannung, welche '''nicht''' dem Windungsverhältnis entspricht! Weil Primär- und Sekundärstrom nicht zur gleichen Zeit fließen, ist es nicht mehr gültig, daß die Spannungen im gleichen Verhältnis wie die Windungszahlen stehen.

Nehmen wir an, wir entwickeln ein Schaltnetzteil auf dieser Basis. Wir wollen 13,8 V Ausgangsspannung, während die Eingangsspannung 110 oder 220 V ist. Der logische Ansatz in diesem Fall ist die Nutzung eines Gleichrichters, welcher als Brücke für 220 V oder als Verdoppler für 110 V geschaltet werden kann. Am Ende haben wir 300 VDC in beiden Fällen, der Rest des Schaltnetzteils ist identisch unabhängig von der Netzspannung. Nehmen wir weiter an, wir haben einen Ferritkern mit 2 cm² Querschnitt, 12 cm magnetische Pfadlänge mit einer Anfangspermeabilität von 2000 und 350 mT Sättingungsflußdichte. Der Wandler soll bei 100 kHz laufen. Für die Entwicklung brauchen wir noch ein paar Informationen. Den AL-Wert, welcher das Verhältnis zwischen Anzahl der Windungen und Induktivität beschreibt. Wenn er nicht im Datenblatt angegeben ist, kann man ihn aus den physikalischen Abmessungen und Ferriteigenschaften berechnen. Oder man wickelt eine Meßspule und mißt den Wert nach, aber es ist ganz sicher einfacher, ihn aus dem Katalog zu bekommen. Nehmen wir an unser Kern hat 6 µH/N², d.h. eine Windung ergibt 6 µH, zehn Windungen ergeben 600 µH und so weiter. Diese angenommenen Werte sind typisch für praktische Fälle.

Um die Spannungsbelastung des Transistors der Primärseite zu verringern, wählen wir 30 % der Zykluszeit für die Aufladung des Transformators und 60 % für die Entladung. Das erlaubt die Entladung mit der halben Eingangsspannung, d.h. der Schalttransistor sieht nur 450 V statt 600 V. Das reduziert auch die Stromspitze des sekundären Gleichrichters, während dadurch aber die Stromstärke der Primärseite sowie Spannungsfestigkeit der Sekundärseite erhöht werden, was hier aber kein Problem ist. Die verbleibenden 10 % der Schaltzeit sind reserviert für Schaltzeit des Transistors, Totzeitsteuerung des Steuer-ICs etc. Bei 100 kHz ist die Ladezeit 3 µs, die Entladezeit 6 µs. Ein Blick ins Datenblatt sagt uns, daß bei 100 kHz und einseitiger Magnetisierung die Flußdichte auf 100 mT begrenzt werden sollte. Durch Anwendung von Formel (1) und (2) können wir schnell ausrechnen.

::<math> B = \frac{U \cdot t}{N \cdot A}</math>

::<math> N = \frac{U \cdot t}{B \cdot A} = \frac{300V \cdot 3\mu s}{0,1T \cdot 2 \cdot 10^{-4}m^2}=45</math>

45 Windungen laden diesen Kern auf 0,1 T in 3 µs, wenn man 300 V anlegt. Schön und einfach. Auf der Sekundärseite brauchen wir 13,8 V, plus ca. 1 V für die Gleichrichterdiode, macht in Summe ca. 15 V. Wir können die gleiche Formel einsetzen, nur mit anderen Werten für Spannung und Zeit.

::<math> N = \frac{U \cdot t}{B \cdot A} = \frac{15V \cdot 6\mu s}{0,1T \cdot 2 \cdot 10^{-4}m^2}=4,5</math>

Gefällt dir das? Das Windungsverhältnis ist 10:1, während das Spannungsverhältnis 20:1 ist, weil das Zeitverhältnis 1:2 ist!

Entscheide frei, ob du lieber vier oder fünf Windungen haben willst, das bewirkt nur eine geringfügige Änderung der Lade- und Entladezeiten.

Nun, wieviel Leistung kann dieses Netzteil liefern? Nein, rechne jetzt nicht wie bei einem Netztrafo! Wir haben hier zwei Grenzen. Eine ist die begrenzte Wärmeerzeugung im Transformator, aber es gibt auch eine funktionale Grenze, welche viel wichtiger ist. Unser Schaltnetzteil arbeitet mit Energiespeicherung und bei jedem Zyklus wird nur eine kleine Menge an Energie gespeichert, wodurch die am Ausgang verfügbare Leistung streng begrenzt ist.

Durch unseren oben angenommenen AL-Wert hat unsere Primärwicklung mit 45 Windungen eine Induktivität von 12 mH. Über die Definition der Induktivität können wir den Spitzenstrom am Ende des Ladezyklus ausrechnen.

::<math> I = \frac{U \cdot t}{L} = \frac{300V \cdot 3 \mu s}{12mH}= 75mA</math>

Nur 75 mA! Sieht nicht viel aus. Berechnen wir die gespeicherte Energie.

::<math>E = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2= \frac{1}{2} \cdot 12mH \cdot (75mA)^2=34\mu J</math>

Man kann das auch über einen anderen Ansatz berechnen. Da der Strom linear von Null bis 75 mA ansteigt, ergibt das im Mittel 37,5 mA. Bei 300 V und 3 µs sind das

::<math>E = U \cdot I \cdot t = 300V \cdot 37,5mA \cdot 3\mu s =34\mu J</math>

Schön wenn die Dinge übereinstimmen...? ;-)

Wenn man bedenkt, daß man bei 100 kHz 100.000 dieser kleinen Brocken von Energie pro Sekunde hat und Leistung schlicht Energie pro Zeit ist, dann kommen wir auf traurige 3,4 W für unser glorreiches Netzteil. Sieht nach einer ziemlich schlechten Nutzung für einen Kern dieser Größe aus, nicht wahr? Dieser Kern ist mit "250 W typisch" durch den Hersteller gekennzeichnet.

Wir müssen herausfinden, wie wir mehr Energie in dem Kern speichern können. Wenn wir die Induktivität erhöhen, wird der Strom kleiner, aber der Strom geht quadratisch in die Energie ein. Keine gute Idee. Es ist besser, die Induktivität zu verringern, denn dadurch steigt der Strom. Da die gespeicherte Energie linear von der Induktivität, aber quadratisch vom Strom abhängt, ist es offensichtlich, daß die gespeicherte Energie proportional steigt.

Wie machen wir das? Wir können nicht einfach die Windungszahl verringern. Das bringt uns in Widerspruch mit Gleichung (1), erhöht die Flußdichte mehr als der Ferrit verträgt. Erkennst du das Problem? Wir müssen die Induktivität verringern, ohne die Windungszahl zu verringern, um die Flußdichte zu erhalten.

Es gibt ein einfaches Werkzeug um das zu erreichen. Luft! Man muß nur den Magnetfluß über einen Luftspalt laufen lassen, indem man die beiden Kernhälften geringfügig auseinander zieht. Der Effekt dieses Luftspalts ist die Verringerung der effektiven Permeabilität des Kerns und damit die Reduzierung des AL-Werts, ohne Einfluß auf andere Parameter. Schauen wir was passiert wenn wir einen Luftspalt von insgesamt 1 mm einfügen, was durch das Entfernen der Kernhälften um 0,5 mm erreicht wird.

Der magnetische Fluß läuft nun 120 mm durch Ferrit mit einer Permeabilität von 2000 und 1 mm durch Luft mit einer Permeabilität von eins. 2000 mm Ferrit haben den gleichen magnetischen Widerstand wie 1 mm Luft. D.h. unser Kern hat nun nur noch eine effektive Permeabilität von 120 anstatt der 2000! Das heißt auch, unser AL-Wert ist nun 0,36 µH/N² und unsere Primärwicklung mit 45 Windungen hat nun nur noch 720 µH. Das wiederum heißt, daß sie in 3 µs auf 1,25 A aufgeladen wird und 0,56 mJ pro Zyklus speichert, woraus 56 W Ausgangsleistung entstehen. Das sieht deutlich besser aus als unsere mageren 3,4 W ohne Luftspalt. Und all das bei der gleichen Flußdichte im Kern.

Hast du jemals gedacht, daß eine 1 mm dicke Luftschicht so schrecklich wichtig sein kann?

Die nächste Frage wäre, ob es eine Grenze für den Luftspalt gibt. Sicher, es gibt zwei Grenzen. Eine ist einfach, wenn man die gespeicherte und übertragene Energie erhöht, erhöht sich auch der Verlust in der Wicklung. An einem Punkt erreicht man die Grenze der thermischen Verluste im Kupfer, genauso wie im Netztransformator. Die Größe des Luftspalts ist meist ein Kompromiß des Entwicklers. Aber es gibt ein anderes Problem. Mit fallender effektiver Permeabilität fällt auch die Kopplung zwischen den Wicklungen. Der Transformator entwickelt ein starkes Streufeld und zeigt starke ungekoppelte Induktivität, welche zur Zerstörung des Leistungstransistors und der Diode führen kann und in den meisten Fällen einen [[Snubber]] notwendig macht. Der Entwickler muß manchmal mit weniger Luftspalt auskommen als was die Wicklungen thermisch verkraften könnten. In jedem Fall kann das Koppelproblem durch richtige Konstruktion des Transformators minimiert werden. Die Primär- und Sekundärwicklung kann gemischt sein, eine bifilare Wicklung ist manchmal möglich. Und es ist oft eine gute Idee, eine dicke Kupferfolie um den kompletten Transformator zu wickeln, welche eine Kurzschlußwindung darstellt. Diese bewirkt, daß der Fluß außerhalb zu Null wird, was bedeutet, daß der Fluß durch den Spulenaufbau gleich dem um die Spule (Seitenschenkel des Kerns) ist und damit die Kopplung verbessert.

In vielen Fällen ist es besser, ein Material mit weniger Permeabilität zu verwenden, wie z. B. Eisenpulver. Der Transformator wäre nahezu identisch, wenn wir ihn mit einem Material mit einer Permeabilität von 120 ohne Luftspalt bauen würden. Er hätte eine bessere Kopplung und weniger Streufeld. Andererseits ist der große Vorteil des Luftspalts, daß der Entwickler genau festlegen kann, wieviel effektive Permeabilität er will, ohne einen neuen Kern bestellen zu müssen.

== Drosseln ==

Eines der schlimmsten Dinge, die ich je in einem elektrischen Sachbuch sah, daß man verschiedene Formeln für das Gleichstrom- und Wechselstromverhalten von Spulen angegeben hat. Das ist kompletter Unsinn! Es gibt keinen grundlegenden Unterschied zwischen Gleich- und Wechselstrom. Zu jedem Zeitpunkt des Wechselstroms fließt ein "Gleichstrom", und in Gleichstromanwendungen fließt auch ein Wechselstrom, wenigsten beim Ein- und Ausschalten. Deshalb können und sollten wir die gleichen Entwicklungsansätze für Drosseln nutzen.

Schauen wir uns das in der Praxis an. Eine verbreitete Aufgabe ist die Entwicklung einer Drossel mit einer bestimmten Induktivität, welche einen bestimmten Strom aushält ohne in die Sättigung zu gehen. Beachte, daß für Gleichstromanwendungen die Grenze immer durch die Flußdichte gesetzt wird. Erinnerst du dich daran, was ich weiter oben geschrieben habe? Bei hohen Frequenzen ist die Grenze durch die Kernverluste bestimmt, und bei niedrigen durch die Sättigung. Und Gleichstrom ist einfach eine sehr, sehr niedrige Frequenz. ;-)

Nehmen wir an, wir brauchen eine Drossel mit 100 µH, die wenigstens 10 A aushält, bevor sie in die Sättigung geht. Nehmen wir an, wir nutzen einen Ringkern aus Eisenpulver dafür mit einem Querschnitt von 1cm² und einer Pfadlänge von 10 cm. Die Permeabilität ist 75 und die Sättigung beginnt bei 0,5 T, Der AL-Wert ist 80 nH/N². Allein aus dem AL-Wert können wir leicht ausrechnen, daß wir 35 Windungen brauchen. Nun, wie können wir den Fluß ausrechnen? Letztendlich wird keine Spannung an die Wicklung angelegt! Denk noch mal nach! Es '''muß''' eine Spannung angelegt worden sein, um den Strom fließen lassen zu können. Wenn wir 1 V anlegen, würde es bei 100 µH eine Millisekunde dauern, ehe 10 A erreicht werden, wie man aus Gleichung (3) leicht errechnen kann. Zusammen mit Hilfe von Gleichung (2) können wir die Flußdichte direkt berechnen

::<math>B = \frac{L \cdot I}{A \cdot N}= \frac{100 \mu H \cdot 10A}{1 \cdot 10^{-4}m^2 \cdot 35}=0,28T</math>

welche in einer Flußdichte von 0,28 T endet in unserem Kern mit 1 cm² Querschnitt. Bingo! Diese Drossel könnte fast das Doppelte an Strom leiten, bevor sie in die Sättigung geht. Ein kostenbewußter Entwickler würde die selbe Übung mit dem nächstkleineren Kern durchführen, welcher gerade groß genug ist, um die Drossel mit 100 µH bei 10 A zu erreichen.

== Kernauswahl ==

Es gibt unzählige Formen und Größen von magnetischen Kernen, und alle sind mit verschiedenen Materialien verfügbar. Es ist eine gute Idee, wenn man wenigstens prinzipiell weiß, was es gibt.

===Materialien===

Das älteste Material für Transformatoren ist '''Eisen''', bekannt als [http://de.wikipedia.org/wiki/Dynamoblech Dynamoblech]. Es ist in dünnen Blechen verfügbar, welche voneinander isoliert werden müssen, um die Wirbelströme gering zu halten. Nur in reinen Gleichstromanwendungen kann man massives Eisen oder unisolierte Bleche nehmen. Transformatoreisen verträgt mindestens 1 T, bevor es in die Sättigung geht, während 1,2 T für die meisten Typen ok ist, 1,5 T für einige und 1,7 T sind mit den Besten möglich. Die Permeabilität dieses Materials ist ca. 2000 bis 5000. Die Eisenlegierungen mit höherer Sättigungsgrenze haben die geringeren Werte. Die Verluste sind so hoch, daß sie für Frequenzen kurz über 100 Hz der begrenzende Faktor sind, anstatt die Sättigung.

'''Eisenstaub''' wird auch genutzt, gemischt mit Epoxidharz und in Magnetkerne geformt. Die Permeabilität hängt vom Eisengehalt der Mischung ab. Da selbst eine kleine Menge Harz deutlich weniger Permeabilität als das Eisen hat, ist die effektive Permeabilität ziemlich niedrig, zwischen 2...100 sind typisch. Für höhere Permeabilitäten wird die Korngröße und Form des Eisen sehr wichtig, da man sehr enge Kornpackungen erzielen kann.
Sättigung setzt eher als bei massivem Eisen ein, weil der Fluß tendenziell aus den Eisenpartikeln gedrängt wird; 0,5 T ist ein typischer Wert. Auf jeden Fall ist die Sättigung sehr "weich", es gibt keinen gut definierten Punkt an dem die Sättigung einsetzt. Die Verluste sind niedrig, so daß die Typen mit geringer Permeabilität bis in den HF-Bereich verwendet werden können. Diese Pulverkerne gibt es auch mit anderen Legierungen, wie z. B. Permalloy, in einigen Fällen mit attraktiven Eigenschaften.

'''Ferrite''' sind die vielseitigsten aller verfügbaren Materialien. Während sie bei niedrigeren Werten sättigen, typisch 0,3 T, gibt es sie in einer riesigen Breite von Permeabilitäten. Es ist nicht schwer Ferrite mit einer Permeabilität von 20 oder 25.000 zu finden! Der unerfahrene Anwender kann den Unterschied von außen nicht erkennen. Selbst wenn zwei Ferritkerne identisch aussehen, kann der eine 1000fach verschieden zum anderen sein. Also sollte man sicherstellen, daß man '''weiß''', welches Material man hat, bevor man mit der Rechnung anfängt.

In jedem Fall gibt es zwei große Kategorien von Ferriten. Leistungsferrite, genutzt in Schaltnetzteilen etc., sie haben eine Permeabilität von etwa 2000 und geringe Verluste zwischen 20...100 kHz. HF-Ferrite mit Permeabilitäten zwischen 100...1000 und geringen Verlusten machen sie brauchbar bis 30 MHz. Aber es gibt viele Ferrittypen, die bei weit höheren Frequenzen noch arbeiten und weniger Permeabilität haben. Die Permeabilitäten über 2000 sind reserviert für spezielle Kerne wie Breitbandübertrager, Transductoren und Rauschfilter.

=== Formen ===

Bei den Formen will ich nur einige nennen.

*Ringkerne: Sie sind einfach, billig und leicht zu nutzen, haben geringe Dispersion (wenig Streufeld), gute Selbstabschirmung, können aber keinen Luftspalt enthalten, und 10.000 Windungen auf einen Ringkern wickeln ist nichts was ich gern tun würde.
*Für Speicherdrosseln gibt es Ringkerne mit "verteiltem" Luftspalt. Sie bestehen aus Eisenpulver mit Bindemittel, der Luftspalt verteilt sich über den gesamten Ring
*E-Kerne: Sehr zweckmäßig für die meisten Anwendungen, aber die scharfen Ecken sorgen für mehr Streuverluste
*U-Kerne: Etwas billiger und leicht ineffizienter als E-Kerne (wegen der größeren Pfadlänge)
*Schalenkerne: Vereint die Zweckmäßigkeit des E-Kerns mit der guten Schirmung des Ringkerns (er ist sogar besser), aber teurer. Manche haben einen einstellbaren Luftspalt.
*Stäbe: Nutzbar für Drosseln. Sie haben wirklich große Luftspalte! ;-) Aus genau diesem Grund sind sie unbrauchbar für Transformatoren, die Kopplung wäre zu schlecht.
*E-I-Laminate: Das ist so ziemlich die einzige Form, in der man Transformatoreisen kaufen kann.

Ich empfehle, man bestellt sich einige Kataloge der Hersteller von magnetischen Materialien und kann so mehr über die anderen 994 Formen lernen ... Ich empfehle Amidon, Ferroxcube, Ferrinox (Thomson Composants), SiFerrit (Siemens), TDK, Philips, um einige zu nennen. Ich habe meist mit Amidon, Ferrinox und Mülleimerkernen gearbeitet. Die besten Leistungsdaten scheinen von einigen japanischen Ferriten zu kommen.

Diese kleine Abhandlung des Elektromagnetismus kann natürlich nicht als vollständig betrachtet werden, aber ich bevorzuge es, mich auf die wichtigsten Dinge für den Entwickler bzw. Hobbybastler zu konzentrieren. Ich habe alle Dinge übersprungen, welche in meinen Augen weniger wichtig sind für die praktische Anwendung. Ich habe auch viele praktische Hinweise übersprungen, welche zwar nützlich wären, aber diesen Artikel zu sehr in ein Kochbuch verwandelt hätten. Wer Fragen hat soll nicht zögern. Meine Adresse ist auf der ersten [http://ludens.cl/index.html Seite]. Wenn genug Fragen auftauchen, werde ich ein F.A.Q. anfügen.

<references />

== Siehe auch ==

*[[Spule]]
*[[Platinen-Induktivität]]
*[[MC34063]]
*[[Spartransformator]]
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/181036 Forumsbeitrag]: Kurzschlußwindung bei Ringkernmontage vermeiden
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/172992?goto=2586118#2586118 Forumsbeitrag]: galvanisch getrennter DC/DC 5V/17mA mit Ethernettrafo
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/172992?goto=2586118#2600216 Forumsbeitrag]: galvanisch getrennter DC/DC 8V/170mA mit Ethernettrafo
* [http://www.mikrocontroller.net/topic/217495#2169621 Forumsbeitrag]: 115V Stelltrafo in Sättigung bei 230V Betrieb
* [http://www.mikrocontroller.net/topic/271562#new Forumsbeitrag]: Reparatur eines Transformators
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/324798#3539661 Forumsbeitrag]: Zünden eines Lichtbogen mittels Gleichstrom
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/296020#new Forumsbeitrag]: Planarspulenbaukasten

== Weblinks ==

* [http://www.amidon.de/ Amidon], Hersteller von Kernen aller Art
* [http://www.ferroxcube.com/ Ferroxcube], Hersteller von Kernen aller Art
* [http://www.micrometals.com/ Micrometals], Hersteller von Kernen aller Art
* [http://www.epcos.de Epcos], ehemals Siemens, Hersteller von Kernen aller Art
* [http://www.ferrite.de ferrite.de], Händler für Kerne aller Art
* [http://www.tridelta-weichferrite.de/ TRIDELTA Weichferrite]
* [http://www.spulen.com/ MM Spulen für Elektronik] - Der Shop rund um die Spule - Drähte, Litzen, Ferrite, Spulen aller Art
* Sehr gute Erklärung der [[media:verlustarme_trafos.pdf | Wirkungsweise eines Trafos (PDF)]], [http://www.emeko.de/ Homepage] des Autors
* [http://www.wolfgang-wippermann.de/koppelfa.htm Koppelfaktor messen], mit Beispielen von realen Spulenanordnungen auf dem Amateurfunkbereich
* [http://www.dos4ever.com/flyback/flyback.html Flyback Converter for dummies], engl. Gute Seite über Sperrwandler und Drosselspulen für Nixieröhren mit einfacher Messung des Sättigungsstroms
* [http://www.we-online.de/web/en/passive_components_custom_magnetics/toolbox_pbcm/Product_Training_1.php Produkttraining] zu verschiedenen Induktivitäten von Würth Elektronik
* [http://www.joretronik.de/Web_NT_Buch/Kap1/Kapitel1.html Weitere Informationen zu 50-Hz-Trafos und Drosseln]
* [http://www.waasner.de Waasner] Trafoblechhersteller
* [http://www.tkes.com/web2010/tkeswebcms.nsf/www/de_index.html ThyssenKrupp Electrical Steel] Trafoblechhersteller
* [http://www.stiefelmayer.de/laser.html Stiefelmayer] Trafoblechkonfektionierer
* [http://www.kienle-spiess.de Kienle-Spiess] Trafoblechkonfektionierer
* [https://jelonnek-trafo.com Jellonek Trafo] Spulen und Trafos zu fairen Preisen, auch nach Kundenwunsch
[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Spannungsversorgung und Energiequellen]]

Transformatoren und Spulen

2021-05-25T01:18:46Z

172.26.34.91: /* Weblinks */

== Vorwort ==

Dieser Text ist eine Übersetzung des englischen [http://ludens.cl/Electron/Magnet.html Originals]. Es wurde nur dahin erweitert bzw. verändert, dass für alle Formelzeichen die in Deutschland gängigen Buchstaben verwendet wurden. Weiterhin sind alle Formeln bei der ersten Erklärung doppelt geschrieben. Einmal mit Formelzeichen und einmal mit den dazugehörigen Einheiten, welche dann in eckigen Klammern [ ] dargestellt werden.
Dieser Artikel existiert auch als leicht überarbeitetes PDF zum Herunterladen und Drucken: [[Datei:Transformatoren_und_Spulen.pdf]].

== Einleitung ==

Es gibt viele Elektroniker, sowohl Hobbybastler als auch Profis, welche mit dem Elektromagnetismus auf Kriegsfuß stehen. Immer, wenn sie eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Spule_%28Elektrotechnik%29 Spule] oder einen [http://de.wikipedia.org/wiki/Transformator Transformator] entwerfen müssen, tut sich ein Abgrund der Verzweiflung vor diesen Leuten auf. Das Schlimmste ist, dass diese armen Opfer meist nicht schuld sind, da die Autoren von Sachbüchern scheinbar eine Verschwörung geschmiedet haben, um diese Dinge möglichst kompliziert zu erklären, so dass sie niemand wirklich verstehen kann. Oder die Autoren haben es selber nicht richtig verstanden?

Gut – das Internet rettet uns. Ich werde die Grundlagen in einfachen, verständlichen Worten erklären. Hier findest du die meisten Informationen, welche benötigt werden, um elektromagnetische Teile zu entwickeln.

==Die Einheiten==

Ich habe eine Bitte. Wer auf dieser Seite landet, soll bitte alle alten und absurden Einheiten, mit denen die Sachbücher vollgestopft sind, vergessen. Am meisten zu nennen Zoll (Inch), Gauß und Oersted. Entferne diese Worte vollständig aus deinem Vokabular. Die haben dort keinen Platz. Sie sind grundlegende Schuldige bei der Verwirrung der Menschen, welche magnetische Entwicklungen machen wollen, sie machen sie irre. Nachdem wir sie nun losgeworden sind, können wir anfangen.

Die erste Einheit, die wir nutzen werden, ist das Weber, geschrieben als Wb. Das ist die offizielle Einheit des magnetischen Flusses <math>\Phi</math>. Wenn man eine Leiterschleife nimmt und 1 V für 1 s anlegt, wird der Fluß in der Schleife sich um 1 Wb geändert haben. Man beachte, dass das immer so ist, egal wie groß oder geformt die Schleife ist und egal, was sich in ihr befindet. Offiziell ist die Definition des Weber so
::<math>\Phi = U \cdot t</math>

::<math>[\Phi] = \text{Wb} = \text{V} \cdot \text{s}</math>

Aber ich bevorzuge die Gleichung in etwas praktischerer Form, bei der die Windungszahl N einer Spule berücksichtigt wird. Das ist eine unserer grundlegenden Wahrheiten.

:<math>(1)\quad \Phi = \frac{U \cdot t}{N}</math>

d.h. die Änderung des magnetischen Flusses (in Weber) ist die Spannung (in Volt) multipliziert mit der Zeit (in Sekunden) geteilt durch die Windungszahl. Das ist eine der mächtigsten und nützlichsten Formeln die wir haben.

Wenn wir ein gewisses Maß an magnetischem Fluß durch eine bestimme Fläche pressen, dann können wir von Flußdichte sprechen. Die Einheit ist Tesla, geschrieben als T, das Formelzeichen ist B. Die Definition ist einfach und offensichtlich.

:<math>(2)\quad B = \frac{\Phi}{A}</math>

::<math>\left[\text{B}\right] = \text{T} = \frac{\text{Wb}}{\text{m}^2}</math>

Man beachte, daß die Sprache von Quadratmetern im Bereich der Elektronik etwas praxisfern klingt, da die meisten Bauteile eher Querschnitte im Bereich von Quadratzentimetern haben. Aber bitte glaub mir daß es praktischer ist, diese "unpraktischen" Dinge zu akzeptieren als ein Dutzend verschiedene Umrechnungsfaktoren zu benutzen! Die Grundeinheiten haben den großen Vorteil, daß absolut keine Umrechnung nötig ist.

Die Grundeigenschaft einer jeden Spule ist [http://de.wikipedia.org/wiki/Induktivit%C3%A4t Induktivität], Formelzeichen L. Sie ist gemessen in Henry, geschrieben als H, definiert durch:

:<math>(3)\quad L = \frac{\Phi}{I}</math>

::<math>[\text{L}] = \frac{\text{Wb}}{\text{A}} = \frac{\text{V} \cdot \text{s}}{\text{A}} = \text{H}</math>

oder in Worten: Ein Henry ist die Induktivität, welche den Strom um 1 Ampere steigen läßt, wenn man für eine Sekunde ein Volt anlegt. Diese Gleichung ist für unser Zwecke auch sehr nützlich. Jetzt können wir anfangen zu spielen. Wir können Gleichung (1) und (3) verbinden und erhalten das Folgende

::<math>L = \frac{\Phi \cdot N}{I}</math>
::<math>[\text{L}] = \frac{\text{Wb}}{\text{A}}</math>

Solche mathematischen Umwandlungen stimmen immer und geben uns die Möglichkeit, unbekannte Größen zu bestimmen.

=== Tabelle aller verwendeten Formelzeichen ===

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Parameter || Formelzeichen || Einheit || Einheit Kurzform
|-
| magnetischer Fluß || <math>\!\,\Phi</math> || Weber || Wb
|-
| magnetische Flußdichte || B || Tesla || T
|-
| Induktivität || L || Henry || H
|-
| Spannung || U || Volt || V
|-
| Strom || I || Ampere || A
|-
| Fläche || A || Quadratmeter || m²
|-
| Zeit || t || Sekunde || s
|-
| Energie || E || Joule || J
|-
| Windungszahl || N || keine || 1
|-
| Frequenz || f || Hertz || Hz
|-
| Länge || l || Meter || m
|-
| Widerstand || R || Ohm || Ω
|-
| spezifischer Widerstand || ρ || Ohm mal Quadratmillimeter pro Meter||<math>\frac{\Omega \cdot \text{mm}^2}{\text{m}}</math>
|-
| Relative Permeabilität || µr || keine || 1
|}

Achtung! Nicht das Formelzeichen der Fläche mit der Einheit des Stroms verwechseln!

Aber jetzt geht's an praktische Dinge.

== Entwicklung von Netztrafos ==

Während fast jeder Elektroniker weiß, daß das Spannungsverhältnis eines Transformators von dem Windungsverhältnis abhängt, taucht die Frage bei vielen Anfängern auf

"Wieviele Windungen pro Volt brauche ich?"

Es ist sehr einfach. Man hat einen Eisenkern, den will man bewickeln. Als erstes mißt man den Querschnitt des Eisens, durch den der magnetische Fluß geht. Sagen wir, der Mittelschenkel eines Transformators ist 2 cm breit und der ganze Stapel der laminierten Bleche ist gut zusammengepreßt auf 3 cm. Das bringt uns 6 cm² bzw. 6 ⋅ 10-4 m² Querschnitt. Nun müssen wir entscheiden, wieviel Flußdichte wir in unserem Eisen haben wollen. Bei niedrigen Frequenzen wie bei 50 Hz Netztrafos ist der begrenzende Faktor die Sättigung des Kerns. Sehr bescheidene Transformatoren sättigen bei 1 T, aber typische Werte liegen bei 1,2 oder 1,3 T, und ein gutes kornorientiertes Material geht vielleicht bis 1,6 oder sogar 1,7 T. Wenn man wirklich nicht weiß, welches Material man hat, sollte man besser bei 1 T auf der sicheren Seite bleiben. Für dieses Beispiel nehmen wir an, daß das Eisen für 1,2 T gut genug ist.

Durch Anwendung von Formel (2) erhält man den maximal zulässigen Fluß von 0,72 mWb. Doch bevor es weitergeht, warte für einen Moment und denk nach! Eisen kann in beide Richtungen magnetisiert werden. Die Gesamtänderung des magnetischen Flusses, vom maximal negativem zum maximal positiven, kann 1,4 mWb betragen. Weiter mit Formel (1) und der Berechnung der Windungen. Nehmen wir an wir reden von Chile oder einem anderen Land mit 220 V und 50 Hz.

::<math>1,44~\text{mWb}=\frac{220~\text{V} \cdot 10~\text{ms}}{N}</math>
::<math>N=\frac{220~\text{V} \cdot 10~\text{ms}}{1,44~\text{mWb}}=1528</math>

Das ist die Windungszahl der 220 V Primärwicklung.
Einfach, oder? In Wirklichkeit ist das oben Gesagte zu einfach um wahr zu sein. Es gibt einen anderen Faktor, den ich übersprungen habe. Das Obige wäre wahr, wenn die Netzspannung 220 V Rechteck wäre. In Wahrheit ist es aber ein Sinus mit 220 V Effektivwert, während der Mittelwert etwas anders ist. Und der magnetische Flußaufbau hängt vom Mittelwert ab, '''nicht''' vom Effektivwert! Also müssen wir einen kleinen Korrekturfaktor einführen, welcher durch Mathematik aus der Sinusfunktion abgeleitet werden kann. Anstatt mit der exakten Mathematik hier zu nerven empfehle ich mein Kochbuchrezept. 11 % zu unserem Vorteil.<ref>Kurze Herleitung: Das Verhältnis Spitzenwert/RMS-Wert einer Sinusgröße ist sqrt(2), das Gleichrichtwertsverhältnis ~1,57, ergo 1,41*1,11 = 1,57</ref> Also reichen hier 1376 Windungen. Wo kommen die 10 ms her, mag man fragen? Denk noch mal. Die Änderung vom maximal negativen zum maximal positiven Fluß passiert in einer Halbwelle. Und bei 50 Hz sind das 10 ms. Wir können das alles in eine einfache, universelle Formel packen, gültig für die Berechnung der Windungen für alle Transformatoren und Spulen mit Sinusspannung.

:<math>(4)\quad N = \frac{U_{RMS}}{4,44 \cdot A \cdot f \cdot B}</math>
::<math>[\text{Windungen}] = \frac{[V]}{4,44 \cdot [m^2] \cdot [Hz] \cdot [T]}</math>

Die 4,44 ist kein Umrechnungsfaktor, sondern ergibt sich aus 2 * 2 * 1,11. Eine "2" ist für die Tatsache, daß der magnetische Umschwung doppelt so groß wie der einseitige ist (damit kann man die einfache Sättigungsgrenze einsetzen), die andere "2" entsteht durch die zwei Halbwellen der Sinusschwingung und die 1,11 ist der Umrechnungsfaktor von Effektivwert auf Mittelwert der Sinusspannung.
:(<math> N = \tfrac{\hat{Uind}}{d\Phi/dt} </math> für Sinus: <math>= \tfrac {\hat{Uind}} { j \omega \cdot \Phi } = \tfrac {\hat{Uind}} {2 \cdot \pi \cdot f \cdot B \cdot A} = \tfrac { \sqrt{2} \cdot Uind_{rms} } {2 \cdot \pi \cdot f \cdot B \cdot A} </math> also <math>4,44 \approx \tfrac {2 \cdot \pi } { \sqrt{2}} </math>)

=== Leistung ===

Eine andere Frage ist meistens, wieviel Leistung ein Trafo bestimmter Größe übertragen kann. Laßt uns das analysieren.

Der magnetische Fluß im Kern hängt ab von der Spannung, welche an die Windungen angelegt wird, der Frequenz, aber '''nicht''' dem Strom, welcher der Transformator liefert! Oh, na gut, ein wenig Abhängigkeit gibt es da schon durch Effekte der realen Welt. Wenn man mehr Strom zieht, fällt durch den Widerstand der Wicklung etwas Spannung ab, wodurch die effektiv an der Wicklung wirksame Spannung reduziert wird und dadurch der magnetische Fluß proportional reduziert wird. Aber der entscheidende Punkt ist, daß der Kern des Trafos '''nicht''' die Ausgangsleistung beeinflußt. Diese Grenze kommt von den Wicklungen und hat zwei Seiten. Eine ist der Spannungsabfall, welche proportional zum Ausgangsstrom ist und an einem Punkt so groß sein wird, daß die Spannung für die Last nicht mehr ausreicht. Die andere ist Erwärmung. Mit steigender Last steigt die Verlustleistung in den Wicklungen quadratisch, und wenn man genügend Leistung lange genug entnimmt werden sie abbrennen.

All das Gesagte macht klar, daß die Leistung eines Transformators abhängt von dem magnetischen Kernquerschnitt (weil mehr Querschnitt weniger Windungen benötigt, damit dickerer Draht verwendet werden kann) und von der Größe des Wickelfensters, das ist der Querschnitt wo sich die Wicklungen befinden. Aber es gibt keine lineare Formel für den Zusammenhang dieser beiden Dinge zur Leistung. Wenn ein Transformator größer wird, wird der Pfad zur Wärmeableitung länger und somit wird das Anwachsen der Leistung geringer als das Produkt der beiden Querschnittsflächen.

Bei all dem Durcheinander werde ich keine Abschätzungen abgeben, dafür aber die reale Berechnung empfehlen. Für einen gegebenen Eisenkern, berechne die benötigten Windungen, beachte den verfügbaren Platz dafür, berechne die Drahtstärke und über den spezifischen Widerstand von Kupfer von 0,0178 Ω ⋅ mm² / m den Gesamtwiderstand der Wicklung. Jetzt kann es helfen zu wissen, daß für kleine Transformatoren ein maximaler Verlust von 10 % (5 % pro Wicklung) normalerweise akzeptiert wird. Das sollte es ermöglichen, die Leistung zu berechnen, welche sicher aus dem Trafo entnommen werden kann, wenn man genug Wissen für diese Rechnung hat. Man braucht nicht mehr Mathematik als man in der Schule gelernt hat, etwa in der 5. Klasse.

Hey, ich höre euch schreien. Ok, ok, um die Sache klarer zu machen werde ich ein Beispiel vorrechnen. Nehmen wir den Kern von oben an, mit 6 cm² Querschnitt und 10 cm² verfügbar für die Wicklungen und daß eine Windung im Mittel 20 cm lang ist. Wir verteilen den Wickelraum gleichmäßig auf Primär- und Sekundärseite. Und wir nehmen an, daß nur 40 % des Wickelfensters wirklich für Kupfer genutzt werden, der Rest ist Isolation, Luft und verlorener Zwischenraum. Das ist in etwa eine realistische Annahme und beschert uns 2 cm² für das Kupfer pro Wicklung. Mit 1376 Windungen hat die Primärwicklung einen Drahtquerschnitt von 0,14 mm², die Gesamtlänge ist 275 m. Der Widerstand berechnet sich aus

::<math>R = \frac{\rho \cdot l}{A} = \frac{0,0178 \frac{\Omega \cdot mm^2}{m} \cdot 275m}{0,14mm^2}=35 \Omega</math>

Wir erlauben 5 % Verlust in jeder Wicklung. Bei 220 V sind das 11 V. Nun einfach das ohmsche Gesetz anwenden und der maximal Primärstrom ist 0,32 A, multipliziert mit 220 V ergibt das ein maximale Eingangsleistung von 70 VA für diesen Trafo.

Cool, he? ;-)

Man beachte, daß der Magnetisierungsstrom hier nicht berücksichtigt wird. Du sagst vielleicht, daß selbst wenn es nur 10 oder 20 % des Maximalstroms sind, er doch berücksichtigt werden muß. Wenn du das sagst, liegst du falsch. Der Magnetisierungsstrom ist 90° phasenverschoben zum transformierten Laststrom und dadurch, selbst wenn es 20 % des Laststrom sind, die Spitze der vektoriellen Summe der beiden sehr nahe beim Laststrom allein liegt. Es lohnt sich nicht den kleinen Unterschied zu beachten.

== Transformatoren für Schaltnetzteile ==

Das vorherige Kapitel kann nahezu vollständig auf Transformatoren höherer Frequenz in Schaltnetzteilen angewendet werden. Es gibt nur ein paar praktische Unterschiede, welche ich jetzt nennen werde.

Bei Frequenzen über ein paar hundert Hertz ist die Sättigung nicht mehr der begrenzende Faktor bei Auswahl der maximalen Flußdichte. Der Grund liegt darin, daß die Verluste des magnetischen Materials so hoch werden, daß die Flußdichte verringert werden muß, um ein akzeptables Maß an Verlusten zu erreichen. Man braucht wirklich das Datenblatt des Herstellers, um die akzeptable Flußdichte zu ermitteln. Um eine grobe Vorstellung zu erhalten, sollte man bedenken, daß fast immer Ferritmaterial benutzt wird. Ferrit sättigt bei 0,3 bis 0,4 T; das ist die absolute Grenze. Für ein typisches Leistungsferrit muß man die Flußdichte bei 25 kHz unterhalb 150 mT halten, und über 100 kHz unter 50 mT. Aber viel hängt auch von der Kerngröße ab. Ein größerer Kern muß dabei mit geringerer Flußdichte arbeiten, um eine Überhitzung zu vermeiden.

Normalerweise arbeiten Schaltnetzteile mit Rechtecksignalen, d.h. man muß die 11 % zur "Sinuskorrektur" aus der Formel (4) entfernen. Und dann nutzen viele Schaltnetzteile den magnetischen Kern nur einseitig, sprich er wird nur in eine Richtung magnetisiert, was wiederum einen Faktor zwei aus der Formel entfernt. Für den Rest ist die Rechnung die gleiche wie für Netztafos.

Sei nicht überrascht wenn man mit sehr wenigen Windungen endet. Faktisch ist es ziemlich normal, nur 10 oder 20 Windungen an einer 300 V Primärwicklung eines großen Schaltnetzteils zu haben.

== HF-Breitbandübertrager==

Vielleicht hast du diese Ferrittrafos schon am Ausgang von Transistor HF-Verstärkern gesehen. Sie sehen aus wie zwei Ferritröhren nebeneinander, mit zwei Kupferröhren hineingesteckt, welche die Primärwicklung mit einer Windung ergeben. Durch diese Kupferröhren sind einige Windungen isolierter Draht gezogen, welche die Sekundärwicklung bilden. Laßt uns so einen Trafo als Beispiel nutzen.

Unser hypothetischer Fall ist ein 100-W-Push-Pull-Verstärker für 1,8-30 MHz, gespeist von 13,8 V, wie sie zu Millionen täglich von Funkamateuren und allen möglichen kommerziellen Diensten genutzt werden. Jeder Transistor kann seine Seite der Primärwicklung ziemlich nah an Masse heranziehen, aber nicht ganz, wegen der Sättigungsspannung. HF-Transistoren sättigen typisch bei 1 V, so daß es vernünftig ist anzunehmen, daß der Transistor um 12,8 V schalten kann, was 25,6 V Spitzenspannung für die Primärwicklung bedeutet, oder ca. 18 V RMS. Auf der anderen Seite soll die Sekundärwicklung die HF-Leistung an 50 Ω liefern, und 100 W an 50 Ω sind 70,7 V. Deshalb brauchen wir ein Spannungs(Windungs)verhältnis von ca. 3,9. Mit einer Primärwicklung mit nur einer Windung können wir nur ganzzahlige Verhältnisse realisieren, deshalb entscheiden wir uns für vier Sekundärwindungen. Der Effekt ist, daß bei 100 W die Transistoren bei 17,7 V RMS laufen, oder 25 V Spitze. D.h. sie schwingen über 12,5 V der Stromversorgung und lassen dabei 1,3 V übrig für sie Sättigung. So weit so gut.

Bei 1,8 MHz, unsere niedrigste Frequenz, kann ein typischer Ferrit sicher bis 12 mT belastet werden. Wir haben einen schönen, reinen Sinus, also nutzen wir Gleichung (4).

::<math>1 Windung = \frac{17,7V}{4,44 \cdot A \cdot 1,8MHz \cdot 12mT}</math>

umgestellt nach der Fläche

::<math>A = \frac{17,7V}{4,44 \cdot 1 Windung \cdot 1,8MHz \cdot 12mT} = 1,8 \cdot 10^{-4}m^2</math>

Wir brauchen ein Kernquerschnitt von 1,8 cm². Ein kleinerer Kern würde bei voller Leistung nach einiger Zeit überhitzen, während ein größerer etwas teuerer wäre, aber den Vorteil der spektralen Reinheit mit sich bringt, denn geringere Flußdichte heißt weniger Verzerrung. Aber für die Übung bleiben wir bei 1,8 cm².

Wir müssen noch etwas arbeiten. Wir könnten einen langen, dünnen Ferrit nutzen oder einen kurzen dicken. Und wir können unter verschiedenen Ferrittypen wählen. Um die Auswahl einzuschränken, schauen wir uns die Induktivitätsforderung an. Der Ansatz ist, daß der Transformator eine Induktivität haben sollte, die hoch genug ist, um wenig Einfluß zu haben, wenn man ihn parallel zur Last schaltet. Pi mal Daumen sollte der induktive Widerstand zehnmal höher sein als die Last. Man kann sich aussuchen, ob man das für die Sekundärspule mit vier Windungen und 50 Ω oder die Primärspule mit einer Windung und 3,1 Ω berechnen will, das Ergebnis ist gleich. Ich wähle die Primärseite. Der induktive Widerstand berechnet sich aus

::<math>X_L=2 \pi \cdot f \cdot L</math>

Das heißt für uns

::<math> L=\frac{X_L}{2 \pi \cdot f}=\frac{31 \Omega}{2 \pi \cdot 1,8 MHz}=2,7 \mu H</math>

Wir brauchen also 2,7 µH, um Pi mal Daumen die Anforderung des zehnfachen induktiven Widerstands zu erfüllen. Jetzt muß man sich die Datenblätter der Kerne anschauen und den passenden raussuchen. Für diese Beispiel werde ich den Katalog von Amidon nutzen.

Versuchen wir den ziemlich verbreiteten Typ FT-50-43. Dieser Ringkern hat 0,133 cm² Querschnitt. Zwei Stapel zu je sieben Stück würden unsere Anforderung bezüglich Flußdichte erfüllen. Der [http://de.wikipedia.org/wiki/AL-Wert#Bestimmung_der_Induktivit.C3.A4t_mittels_AL-Wert AL-Wert] ist 0,52 µH/N², d.h. 14 Kerne mit einer Wicklung ergeben 7,3 µH, ein Mehrfaches unseres benötigten Wertes. Weil aber Breitbandverstärker zu Schwingungen bei niedrigen Frequenzen tendieren, weil dort die Transistoren die größte Verstärkung haben, ist es keine gute Idee mehr Leistung bei niedrigen Frequenzen anzubieten als notwendig. Versuchen wir einen anderen Typ.

Das Material 43 hat eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Permeabilit%C3%A4t_%28Magnetismus%29 Permeabilität] von 850. Ein Kern mit den gleichen Abmessungen aber mit einer Permeabilität von nur 330 wäre nett. Aber Amidon macht keine Kerne dieser Größe in einer Permeabilität auch nur annähernd zu dem. Hey, man kann nicht immer umsonst Achterbahn fahren. Die nächstniedrigere Permeabilität, welche von Amidon verfügbar und für unser Projekt brauchbar ist, ist 125, das ist zu wenig. Also bleiben wir beim 43er Material uns sehen was wir machen können.
Es gibt den FT-82-43 aus dem gleichen Material. Er ist viel dicker, hat 0,25 cm² Querschnitt und einen AL-Wert ziemlich ähnlich zu unserem anderen Kern, 0,55 µH/N². Zwei Stapel mit je vier Stück ergeben mehr als genug Querschnitt mit 4,4 µH. Das ist eine brauchbare Lösung und bringt uns mehr Platz für die Wicklungen.

Bei höheren Frequenzen ist die Flußdichte geringer und bleibt damit unterhalb der Grenze des Materials. Das Verhältnis zwischen induktivem Widerstand und Lastwiderstand verbessert sich mit steigender Frequenz, aber bei den höchsten Frequenzen könnten parasitäre Kapazitäten starken Einfluß gewinnen, so daß man sie bei der Entwicklung berücksichtigen sollte.

== Energiespeicherung in Magnetkernen ==

Weiß du wieviel Energie eine Spule speichert? Das ist definiert durch die gleiche, alte Formel, die oft in der klassischen Physik auftaucht.

:<math>(5)\quad E = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2</math>
::<math> [J] = \frac{1}{2} \cdot [H] \cdot [A]^2</math>

Die Einheit der Energie ist Joule (J). Die Induktivität L in Henry (H) sowie der Strom I durch die Spule in Ampere (A). Im Falle eines Transformators muß dieser Strom netto berechnet werden, nachdem man die (transformierten) Primär- und Sekundärströme abgezogen hat unter Berücksichtigung des Windungsverhältnisses. Kurz, das ist der Magnetisierungsstrom.

In den meisten Anwendungen als Transformator ist dieser Strom nicht wirklich gewünscht, aber ein unvermeidbarer Nebeneffekt. Aber es gibt Anwendungen, welche diese Energiespeicherung gut nutzen. Ein sehr wichtiges Beispiel ist der Sperrwandler. Im Prinzip speichert dieser Wandler die Energie von der Primärseite und entlädt sie in die Sekundärseite, oft mit einer Spannung, welche '''nicht''' dem Windungsverhältnis entspricht! Weil Primär- und Sekundärstrom nicht zur gleichen Zeit fließen, ist es nicht mehr gültig, daß die Spannungen im gleichen Verhältnis wie die Windungszahlen stehen.

Nehmen wir an, wir entwickeln ein Schaltnetzteil auf dieser Basis. Wir wollen 13,8 V Ausgangsspannung, während die Eingangsspannung 110 oder 220 V ist. Der logische Ansatz in diesem Fall ist die Nutzung eines Gleichrichters, welcher als Brücke für 220 V oder als Verdoppler für 110 V geschaltet werden kann. Am Ende haben wir 300 VDC in beiden Fällen, der Rest des Schaltnetzteils ist identisch unabhängig von der Netzspannung. Nehmen wir weiter an, wir haben einen Ferritkern mit 2 cm² Querschnitt, 12 cm magnetische Pfadlänge mit einer Anfangspermeabilität von 2000 und 350 mT Sättingungsflußdichte. Der Wandler soll bei 100 kHz laufen. Für die Entwicklung brauchen wir noch ein paar Informationen. Den AL-Wert, welcher das Verhältnis zwischen Anzahl der Windungen und Induktivität beschreibt. Wenn er nicht im Datenblatt angegeben ist, kann man ihn aus den physikalischen Abmessungen und Ferriteigenschaften berechnen. Oder man wickelt eine Meßspule und mißt den Wert nach, aber es ist ganz sicher einfacher, ihn aus dem Katalog zu bekommen. Nehmen wir an unser Kern hat 6 µH/N², d.h. eine Windung ergibt 6 µH, zehn Windungen ergeben 600 µH und so weiter. Diese angenommenen Werte sind typisch für praktische Fälle.

Um die Spannungsbelastung des Transistors der Primärseite zu verringern, wählen wir 30 % der Zykluszeit für die Aufladung des Transformators und 60 % für die Entladung. Das erlaubt die Entladung mit der halben Eingangsspannung, d.h. der Schalttransistor sieht nur 450 V statt 600 V. Das reduziert auch die Stromspitze des sekundären Gleichrichters, während dadurch aber die Stromstärke der Primärseite sowie Spannungsfestigkeit der Sekundärseite erhöht werden, was hier aber kein Problem ist. Die verbleibenden 10 % der Schaltzeit sind reserviert für Schaltzeit des Transistors, Totzeitsteuerung des Steuer-ICs etc. Bei 100 kHz ist die Ladezeit 3 µs, die Entladezeit 6 µs. Ein Blick ins Datenblatt sagt uns, daß bei 100 kHz und einseitiger Magnetisierung die Flußdichte auf 100 mT begrenzt werden sollte. Durch Anwendung von Formel (1) und (2) können wir schnell ausrechnen.

::<math> B = \frac{U \cdot t}{N \cdot A}</math>

::<math> N = \frac{U \cdot t}{B \cdot A} = \frac{300V \cdot 3\mu s}{0,1T \cdot 2 \cdot 10^{-4}m^2}=45</math>

45 Windungen laden diesen Kern auf 0,1 T in 3 µs, wenn man 300 V anlegt. Schön und einfach. Auf der Sekundärseite brauchen wir 13,8 V, plus ca. 1 V für die Gleichrichterdiode, macht in Summe ca. 15 V. Wir können die gleiche Formel einsetzen, nur mit anderen Werten für Spannung und Zeit.

::<math> N = \frac{U \cdot t}{B \cdot A} = \frac{15V \cdot 6\mu s}{0,1T \cdot 2 \cdot 10^{-4}m^2}=4,5</math>

Gefällt dir das? Das Windungsverhältnis ist 10:1, während das Spannungsverhältnis 20:1 ist, weil das Zeitverhältnis 1:2 ist!

Entscheide frei, ob du lieber vier oder fünf Windungen haben willst, das bewirkt nur eine geringfügige Änderung der Lade- und Entladezeiten.

Nun, wieviel Leistung kann dieses Netzteil liefern? Nein, rechne jetzt nicht wie bei einem Netztrafo! Wir haben hier zwei Grenzen. Eine ist die begrenzte Wärmeerzeugung im Transformator, aber es gibt auch eine funktionale Grenze, welche viel wichtiger ist. Unser Schaltnetzteil arbeitet mit Energiespeicherung und bei jedem Zyklus wird nur eine kleine Menge an Energie gespeichert, wodurch die am Ausgang verfügbare Leistung streng begrenzt ist.

Durch unseren oben angenommenen AL-Wert hat unsere Primärwicklung mit 45 Windungen eine Induktivität von 12 mH. Über die Definition der Induktivität können wir den Spitzenstrom am Ende des Ladezyklus ausrechnen.

::<math> I = \frac{U \cdot t}{L} = \frac{300V \cdot 3 \mu s}{12mH}= 75mA</math>

Nur 75 mA! Sieht nicht viel aus. Berechnen wir die gespeicherte Energie.

::<math>E = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2= \frac{1}{2} \cdot 12mH \cdot (75mA)^2=34\mu J</math>

Man kann das auch über einen anderen Ansatz berechnen. Da der Strom linear von Null bis 75 mA ansteigt, ergibt das im Mittel 37,5 mA. Bei 300 V und 3 µs sind das

::<math>E = U \cdot I \cdot t = 300V \cdot 37,5mA \cdot 3\mu s =34\mu J</math>

Schön wenn die Dinge übereinstimmen...? ;-)

Wenn man bedenkt, daß man bei 100 kHz 100.000 dieser kleinen Brocken von Energie pro Sekunde hat und Leistung schlicht Energie pro Zeit ist, dann kommen wir auf traurige 3,4 W für unser glorreiches Netzteil. Sieht nach einer ziemlich schlechten Nutzung für einen Kern dieser Größe aus, nicht wahr? Dieser Kern ist mit "250 W typisch" durch den Hersteller gekennzeichnet.

Wir müssen herausfinden, wie wir mehr Energie in dem Kern speichern können. Wenn wir die Induktivität erhöhen, wird der Strom kleiner, aber der Strom geht quadratisch in die Energie ein. Keine gute Idee. Es ist besser, die Induktivität zu verringern, denn dadurch steigt der Strom. Da die gespeicherte Energie linear von der Induktivität, aber quadratisch vom Strom abhängt, ist es offensichtlich, daß die gespeicherte Energie proportional steigt.

Wie machen wir das? Wir können nicht einfach die Windungszahl verringern. Das bringt uns in Widerspruch mit Gleichung (1), erhöht die Flußdichte mehr als der Ferrit verträgt. Erkennst du das Problem? Wir müssen die Induktivität verringern, ohne die Windungszahl zu verringern, um die Flußdichte zu erhalten.

Es gibt ein einfaches Werkzeug um das zu erreichen. Luft! Man muß nur den Magnetfluß über einen Luftspalt laufen lassen, indem man die beiden Kernhälften geringfügig auseinander zieht. Der Effekt dieses Luftspalts ist die Verringerung der effektiven Permeabilität des Kerns und damit die Reduzierung des AL-Werts, ohne Einfluß auf andere Parameter. Schauen wir was passiert wenn wir einen Luftspalt von insgesamt 1 mm einfügen, was durch das Entfernen der Kernhälften um 0,5 mm erreicht wird.

Der magnetische Fluß läuft nun 120 mm durch Ferrit mit einer Permeabilität von 2000 und 1 mm durch Luft mit einer Permeabilität von eins. 2000 mm Ferrit haben den gleichen magnetischen Widerstand wie 1 mm Luft. D.h. unser Kern hat nun nur noch eine effektive Permeabilität von 120 anstatt der 2000! Das heißt auch, unser AL-Wert ist nun 0,36 µH/N² und unsere Primärwicklung mit 45 Windungen hat nun nur noch 720 µH. Das wiederum heißt, daß sie in 3 µs auf 1,25 A aufgeladen wird und 0,56 mJ pro Zyklus speichert, woraus 56 W Ausgangsleistung entstehen. Das sieht deutlich besser aus als unsere mageren 3,4 W ohne Luftspalt. Und all das bei der gleichen Flußdichte im Kern.

Hast du jemals gedacht, daß eine 1 mm dicke Luftschicht so schrecklich wichtig sein kann?

Die nächste Frage wäre, ob es eine Grenze für den Luftspalt gibt. Sicher, es gibt zwei Grenzen. Eine ist einfach, wenn man die gespeicherte und übertragene Energie erhöht, erhöht sich auch der Verlust in der Wicklung. An einem Punkt erreicht man die Grenze der thermischen Verluste im Kupfer, genauso wie im Netztransformator. Die Größe des Luftspalts ist meist ein Kompromiß des Entwicklers. Aber es gibt ein anderes Problem. Mit fallender effektiver Permeabilität fällt auch die Kopplung zwischen den Wicklungen. Der Transformator entwickelt ein starkes Streufeld und zeigt starke ungekoppelte Induktivität, welche zur Zerstörung des Leistungstransistors und der Diode führen kann und in den meisten Fällen einen [[Snubber]] notwendig macht. Der Entwickler muß manchmal mit weniger Luftspalt auskommen als was die Wicklungen thermisch verkraften könnten. In jedem Fall kann das Koppelproblem durch richtige Konstruktion des Transformators minimiert werden. Die Primär- und Sekundärwicklung kann gemischt sein, eine bifilare Wicklung ist manchmal möglich. Und es ist oft eine gute Idee, eine dicke Kupferfolie um den kompletten Transformator zu wickeln, welche eine Kurzschlußwindung darstellt. Diese bewirkt, daß der Fluß außerhalb zu Null wird, was bedeutet, daß der Fluß durch den Spulenaufbau gleich dem um die Spule (Seitenschenkel des Kerns) ist und damit die Kopplung verbessert.

In vielen Fällen ist es besser, ein Material mit weniger Permeabilität zu verwenden, wie z. B. Eisenpulver. Der Transformator wäre nahezu identisch, wenn wir ihn mit einem Material mit einer Permeabilität von 120 ohne Luftspalt bauen würden. Er hätte eine bessere Kopplung und weniger Streufeld. Andererseits ist der große Vorteil des Luftspalts, daß der Entwickler genau festlegen kann, wieviel effektive Permeabilität er will, ohne einen neuen Kern bestellen zu müssen.

== Drosseln ==

Eines der schlimmsten Dinge, die ich je in einem elektrischen Sachbuch sah, daß man verschiedene Formeln für das Gleichstrom- und Wechselstromverhalten von Spulen angegeben hat. Das ist kompletter Unsinn! Es gibt keinen grundlegenden Unterschied zwischen Gleich- und Wechselstrom. Zu jedem Zeitpunkt des Wechselstroms fließt ein "Gleichstrom", und in Gleichstromanwendungen fließt auch ein Wechselstrom, wenigsten beim Ein- und Ausschalten. Deshalb können und sollten wir die gleichen Entwicklungsansätze für Drosseln nutzen.

Schauen wir uns das in der Praxis an. Eine verbreitete Aufgabe ist die Entwicklung einer Drossel mit einer bestimmten Induktivität, welche einen bestimmten Strom aushält ohne in die Sättigung zu gehen. Beachte, daß für Gleichstromanwendungen die Grenze immer durch die Flußdichte gesetzt wird. Erinnerst du dich daran, was ich weiter oben geschrieben habe? Bei hohen Frequenzen ist die Grenze durch die Kernverluste bestimmt, und bei niedrigen durch die Sättigung. Und Gleichstrom ist einfach eine sehr, sehr niedrige Frequenz. ;-)

Nehmen wir an, wir brauchen eine Drossel mit 100 µH, die wenigstens 10 A aushält, bevor sie in die Sättigung geht. Nehmen wir an, wir nutzen einen Ringkern aus Eisenpulver dafür mit einem Querschnitt von 1cm² und einer Pfadlänge von 10 cm. Die Permeabilität ist 75 und die Sättigung beginnt bei 0,5 T, Der AL-Wert ist 80 nH/N². Allein aus dem AL-Wert können wir leicht ausrechnen, daß wir 35 Windungen brauchen. Nun, wie können wir den Fluß ausrechnen? Letztendlich wird keine Spannung an die Wicklung angelegt! Denk noch mal nach! Es '''muß''' eine Spannung angelegt worden sein, um den Strom fließen lassen zu können. Wenn wir 1 V anlegen, würde es bei 100 µH eine Millisekunde dauern, ehe 10 A erreicht werden, wie man aus Gleichung (3) leicht errechnen kann. Zusammen mit Hilfe von Gleichung (2) können wir die Flußdichte direkt berechnen

::<math>B = \frac{L \cdot I}{A \cdot N}= \frac{100 \mu H \cdot 10A}{1 \cdot 10^{-4}m^2 \cdot 35}=0,28T</math>

welche in einer Flußdichte von 0,28 T endet in unserem Kern mit 1 cm² Querschnitt. Bingo! Diese Drossel könnte fast das Doppelte an Strom leiten, bevor sie in die Sättigung geht. Ein kostenbewußter Entwickler würde die selbe Übung mit dem nächstkleineren Kern durchführen, welcher gerade groß genug ist, um die Drossel mit 100 µH bei 10 A zu erreichen.

== Kernauswahl ==

Es gibt unzählige Formen und Größen von magnetischen Kernen, und alle sind mit verschiedenen Materialien verfügbar. Es ist eine gute Idee, wenn man wenigstens prinzipiell weiß, was es gibt.

===Materialien===

Das älteste Material für Transformatoren ist '''Eisen''', bekannt als [http://de.wikipedia.org/wiki/Dynamoblech Dynamoblech]. Es ist in dünnen Blechen verfügbar, welche voneinander isoliert werden müssen, um die Wirbelströme gering zu halten. Nur in reinen Gleichstromanwendungen kann man massives Eisen oder unisolierte Bleche nehmen. Transformatoreisen verträgt mindestens 1 T, bevor es in die Sättigung geht, während 1,2 T für die meisten Typen ok ist, 1,5 T für einige und 1,7 T sind mit den Besten möglich. Die Permeabilität dieses Materials ist ca. 2000 bis 5000. Die Eisenlegierungen mit höherer Sättigungsgrenze haben die geringeren Werte. Die Verluste sind so hoch, daß sie für Frequenzen kurz über 100 Hz der begrenzende Faktor sind, anstatt die Sättigung.

'''Eisenstaub''' wird auch genutzt, gemischt mit Epoxidharz und in Magnetkerne geformt. Die Permeabilität hängt vom Eisengehalt der Mischung ab. Da selbst eine kleine Menge Harz deutlich weniger Permeabilität als das Eisen hat, ist die effektive Permeabilität ziemlich niedrig, zwischen 2...100 sind typisch. Für höhere Permeabilitäten wird die Korngröße und Form des Eisen sehr wichtig, da man sehr enge Kornpackungen erzielen kann.
Sättigung setzt eher als bei massivem Eisen ein, weil der Fluß tendenziell aus den Eisenpartikeln gedrängt wird; 0,5 T ist ein typischer Wert. Auf jeden Fall ist die Sättigung sehr "weich", es gibt keinen gut definierten Punkt an dem die Sättigung einsetzt. Die Verluste sind niedrig, so daß die Typen mit geringer Permeabilität bis in den HF-Bereich verwendet werden können. Diese Pulverkerne gibt es auch mit anderen Legierungen, wie z. B. Permalloy, in einigen Fällen mit attraktiven Eigenschaften.

'''Ferrite''' sind die vielseitigsten aller verfügbaren Materialien. Während sie bei niedrigeren Werten sättigen, typisch 0,3 T, gibt es sie in einer riesigen Breite von Permeabilitäten. Es ist nicht schwer Ferrite mit einer Permeabilität von 20 oder 25.000 zu finden! Der unerfahrene Anwender kann den Unterschied von außen nicht erkennen. Selbst wenn zwei Ferritkerne identisch aussehen, kann der eine 1000fach verschieden zum anderen sein. Also sollte man sicherstellen, daß man '''weiß''', welches Material man hat, bevor man mit der Rechnung anfängt.

In jedem Fall gibt es zwei große Kategorien von Ferriten. Leistungsferrite, genutzt in Schaltnetzteilen etc., sie haben eine Permeabilität von etwa 2000 und geringe Verluste zwischen 20...100 kHz. HF-Ferrite mit Permeabilitäten zwischen 100...1000 und geringen Verlusten machen sie brauchbar bis 30 MHz. Aber es gibt viele Ferrittypen, die bei weit höheren Frequenzen noch arbeiten und weniger Permeabilität haben. Die Permeabilitäten über 2000 sind reserviert für spezielle Kerne wie Breitbandübertrager, Transductoren und Rauschfilter.

=== Formen ===

Bei den Formen will ich nur einige nennen.

*Ringkerne: Sie sind einfach, billig und leicht zu nutzen, haben geringe Dispersion (wenig Streufeld), gute Selbstabschirmung, können aber keinen Luftspalt enthalten, und 10.000 Windungen auf einen Ringkern wickeln ist nichts was ich gern tun würde.
*Für Speicherdrosseln gibt es Ringkerne mit "verteiltem" Luftspalt. Sie bestehen aus Eisenpulver mit Bindemittel, der Luftspalt verteilt sich über den gesamten Ring
*E-Kerne: Sehr zweckmäßig für die meisten Anwendungen, aber die scharfen Ecken sorgen für mehr Streuverluste
*U-Kerne: Etwas billiger und leicht ineffizienter als E-Kerne (wegen der größeren Pfadlänge)
*Schalenkerne: Vereint die Zweckmäßigkeit des E-Kerns mit der guten Schirmung des Ringkerns (er ist sogar besser), aber teurer. Manche haben einen einstellbaren Luftspalt.
*Stäbe: Nutzbar für Drosseln. Sie haben wirklich große Luftspalte! ;-) Aus genau diesem Grund sind sie unbrauchbar für Transformatoren, die Kopplung wäre zu schlecht.
*E-I-Laminate: Das ist so ziemlich die einzige Form, in der man Transformatoreisen kaufen kann.

Ich empfehle, man bestellt sich einige Kataloge der Hersteller von magnetischen Materialien und kann so mehr über die anderen 994 Formen lernen ... Ich empfehle Amidon, Ferroxcube, Ferrinox (Thomson Composants), SiFerrit (Siemens), TDK, Philips, um einige zu nennen. Ich habe meist mit Amidon, Ferrinox und Mülleimerkernen gearbeitet. Die besten Leistungsdaten scheinen von einigen japanischen Ferriten zu kommen.

Diese kleine Abhandlung des Elektromagnetismus kann natürlich nicht als vollständig betrachtet werden, aber ich bevorzuge es, mich auf die wichtigsten Dinge für den Entwickler bzw. Hobbybastler zu konzentrieren. Ich habe alle Dinge übersprungen, welche in meinen Augen weniger wichtig sind für die praktische Anwendung. Ich habe auch viele praktische Hinweise übersprungen, welche zwar nützlich wären, aber diesen Artikel zu sehr in ein Kochbuch verwandelt hätten. Wer Fragen hat soll nicht zögern. Meine Adresse ist auf der ersten [http://ludens.cl/index.html Seite]. Wenn genug Fragen auftauchen, werde ich ein F.A.Q. anfügen.

<references />

== Siehe auch ==

*[[Spule]]
*[[Platinen-Induktivität]]
*[[MC34063]]
*[[Spartransformator]]
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/181036 Forumsbeitrag]: Kurzschlußwindung bei Ringkernmontage vermeiden
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/172992?goto=2586118#2586118 Forumsbeitrag]: galvanisch getrennter DC/DC 5V/17mA mit Ethernettrafo
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/172992?goto=2586118#2600216 Forumsbeitrag]: galvanisch getrennter DC/DC 8V/170mA mit Ethernettrafo
* [http://www.mikrocontroller.net/topic/217495#2169621 Forumsbeitrag]: 115V Stelltrafo in Sättigung bei 230V Betrieb
* [http://www.mikrocontroller.net/topic/271562#new Forumsbeitrag]: Reparatur eines Transformators
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/324798#3539661 Forumsbeitrag]: Zünden eines Lichtbogen mittels Gleichstrom
*[http://www.mikrocontroller.net/topic/296020#new Forumsbeitrag]: Planarspulenbaukasten

== Weblinks ==

* [http://www.amidon.de/ Amidon], Hersteller von Kernen aller Art
* [http://www.ferroxcube.com/ Ferroxcube], Hersteller von Kernen aller Art
* [http://www.micrometals.com/ Micrometals], Hersteller von Kernen aller Art
* [http://www.epcos.de Epcos], ehemals Siemens, Hersteller von Kernen aller Art
* [http://www.ferrite.de ferrite.de], Händler für Kerne aller Art
* [http://www.tridelta-weichferrite.de/ TRIDELTA Weichferrite]
* [http://www.spulen.com/ MM Spulen für Elektronik] - Der Shop rund um die Spule - Drähte, Litzen, Ferrite, Spulen aller Art
* Sehr gute Erklärung der [[media:verlustarme_trafos.pdf | Wirkungsweise eines Trafos (PDF)]], [http://www.emeko.de/ Homepage] des Autors
* [http://www.wolfgang-wippermann.de/koppelfa.htm Koppelfaktor messen], mit Beispielen von realen Spulenanordnungen auf dem Amateurfunkbereich
* [http://www.dos4ever.com/flyback/flyback.html Flyback Converter for dummies], engl. Gute Seite über Sperrwandler und Drosselspulen für Nixieröhren mit einfacher Messung des Sättigungsstroms
* [http://www.we-online.de/web/en/passive_components_custom_magnetics/toolbox_pbcm/Product_Training_1.php Produkttraining] zu verschiedenen Induktivitäten von Würth Elektronik
* [http://www.joretronik.de/Web_NT_Buch/Kap1/Kapitel1.html Weitere Informationen zu 50-Hz-Trafos und Drosseln]
* [http://www.waasner.de Waasner] Trafoblechhersteller
* [http://www.tkes.com/web2010/tkeswebcms.nsf/www/de_index.html ThyssenKrupp Electrical Steel] Trafoblechhersteller
* [http://www.stiefelmayer.de/laser.html Stiefelmayer] Trafoblechkonfektionierer
* [http://www.kienle-spiess.de Kienle-Spiess] Trafoblechkonfektionierer
* [https://jelonnek-trafo.com] Spulen und Trafos zu fairen Preisen, auch nach Kundenwunsch
[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Spannungsversorgung und Energiequellen]]

Lichtsensor / Helligkeitssensor

2021-05-20T16:08:43Z

172.26.34.91: /* Photohalbleiter */

[[Datei:BPW21MitMultimeter.JPG|thumb|Multimeter als Luxmeter, BPW21 10 nA = 1 Lux im nahezu Kurzschlussbetrieb]]
Lichtsensoren wandeln Licht in eine Spannung, Strom oder Frequenz, welche dann weiterverarbeitet werden kann.

== Photowiderstand ==
[[bild:photo_ldr.png|thumb|right|75px|Photowiderstand in Schaltung]]

Im Englischen '''L'''ight '''D'''ependent '''R'''esistor genannt (LDR, lichtabhängiger Widerstand). Diese gibt es in verschiedensten Bauformen und Materialien. Einige bekannte und beliebte Typen basieren auf Cadmium, einem giftigen Schwermetall, welches nach den neusten Elektronikrichtlinien (RoHS) verboten ist.

Vorteile der LDRs sind ihre Einfachheit, Robustheit und der recht große Dynamikbereich von kΩ bis MΩ). Wesentlicher Nachteil ist die sehr geringe Reaktionsgeschwindigkeit von einige Millisekunden bis Minuten. Die Auswertung erfolgt über einen einfachen [[Spannungsteiler]].
{{Absatz}}

== Photohalbleiter ==

Photohalbleiter s ind Bauelemente, bei denen in einer PN-Sperrschicht durch Lichteinfall freie Ladungsträger erzeugt werden, die entlang des eingebauten elektrischen Feldes zu den Rändern diffundieren und dort eine Spannung bilden.

=== Photodiode ===

Photodioden sind sehr schnell (Schaltzeiten im Nanosekundenbereich), liefern aber nur sehr kleine Photoströme (nA..µA). Für Messung der Beleuchtungsstärke gibt es Dioden, deren Farbempfindlichkeit der menschlichen Wahrnehmung entspricht. Es gibt zur Nutzung für Photodioden drei prinzipielle Schaltungen:

==== Photospannungsbetrieb ====

[[bild:photo_diode_blank.png|thumb|right]]
Hier arbeitet die Photodiode als Solarzelle, was sie ja im Prinzip ist. Allerdings bringt sie aufgrund der kleinen Fläche (meist weniger als 1mm2) keine nennenswerte Leistung. Die Ausgangsspannung ist logarithmisch von der einfallenden Lichtleistung abhängig und entspricht der umgedrehten Diodenkennlinie (≈0,7V). Allerdings ist diese Kennlinie auch sehr temperaturabhängig.

Diese Schaltung wird nur selten angewendet.
{{Absatz}}

==== Konstantstromquelle mit Arbeitswiderstand ====

[[bild:photo_diode.png|thumb|right|80px]]
Das ist die einfachste Schaltung zur Auswertung einer Photodiode. Über einen [[Spannungsteiler]] mit einem relativ hochohmigen Widerstand kann eine lichtabhängige Spannung über dem Arbeitswiderstand abgegriffen werden. Die Ausgangsspannung ist linear proportional zur Lichtleistung.

Diese Schaltung ist jedoch ziemlich langsam. Als Näherung gilt:
:<math>f_{3\text{dB}}=\frac{1}{2 \pi\cdot R_1\cdot C_D}</math>

*<math>C_D</math> : Sperrschichtkapazität der Diode

Bei angenommenen 20pF ergibt sie hier eine Grenzfrequenz von ca. 8kHz.
{{Absatz}}

==== Konstantstromquelle mit Transimpedanzverstärker ====

[[bild:photo_diode_tia.png|thumb|right|220px]]
Hier wird die Photodiode nahezu im Kurzschluss als lichtabhängige Stromquelle betrieben. Der Kurzschluss sorgt dafür, dass die Sperrschichtkapazität nicht umgeladen werden muss, das macht die Schaltung sehr schnell. Der Aufbau wird Transimpedanzverstärker genannt (engl. '''T'''rans'''I'''mpedance '''A'''mplifier, TIA). Einen guten [http://electronicdesign.com/analog/refresh-operational-amplifiers Grundlagenartikel] zum TIA gibt es beim Analog-Guru Bob Pease bei [http://www.national.com National Semiconductor].

Vorteil dieser Schaltung ist die hohe Grenzfrequenz. Sie berechnet sich gemäß
:<math>f_{3\text{dB}}=\sqrt{\frac{\text{GBP}}{2 \pi R_1 C_I}}</math>

*GBP : Verstärkungs-Bandbreite-Produkt des Operationsverstärkers (engl. '''G'''ain '''B'''andwidth '''P'''roduct), hier 1 MHz für den LM358
*<math>C_I</math> : Summe aus Sperrschichtkapazität der Photodiode + Eingangskapazität des OPVs, hier mit 30pF angenommen.

Selbst mit diesem eher langsamen OPV und schon sehr großen Rückkopplungswiderstand von 1MΩ erreichen wir schon eine Bandbreite von:
:<math>f_{3\text{dB}}=\sqrt{\frac{1\text{ MHz}}{2 \pi \cdot 1\text{ M}\Omega \cdot (48\text{ pF} + 30\text{ pF})}} = 45\text{ kHz}</math>

Wichtig ist hier C1, die Kompensationskapazität. Ist sie zu klein oder fehlt sie gar, schwingt der TIA. Die Berechnung von C1 erfolgt klassisch gemäß

:<math>C_1=\frac{R_D}{R_1} \cdot C_I</math>

*<math>R_D</math> : Sperrschichtwiderstand der Photodiode. Dieser ist selten in den Datenblättern angegeben, liegt aber meist im Bereich 1..100MΩ.

Hier muss man mit C1 experimentieren, vor allem weil er meist sehr klein ist (einstelliger pF-Bereich) und das Layout eine wesentlichen Rolle spielt. Eine verbessere Formel für C1 ergibt kleinere Werte, wobei allerdings ein geringfügiges Überschwingen des Verstärkers in Kauf genommen wird. Der Vorteil ist die bis zu zehnfach(!) höhere Bandbreite.

:<math>C_1=\sqrt{\frac{C_I}{R_1 \cdot \text{GBP}}}</math>

Die Sperrschichtkapazität <math>C_D</math> der Diode kann man verkleinern, indem man die Anode nicht auf GND, sondern eine negative Spannung legt, je nach Typ zwischen −5V und −100V. Dadurch kann man <math>C_D</math> um den Faktor 2−10 verkleinern und somit die Schaltung schneller machen.

=== Phototransistor ===

[[bild:photo_transistor.png|thumb|right|120px|NPN-Fototransistor in ''Common-Collector Amplifier'' Schaltung]]

Phototransistoren sind mit Schaltzeiten im Mikrosekundenbereich wesentlich langsamer als Photodioden, erlauben dafür aber die Steuerung bzw. das Schalten relativ großer Ströme (µA..mA) durch Licht. Je nach Schaltung erreicht man Grenzfrequenzen von einigen Dutzend Kilohertz. Benutzt werden sie wie Photodioden mit Arbeitswiderstand. Eine Verschaltung mit TIA ist nur mit negativer Vorspannung möglich, da Phototransistoren aktiv keinen Strom liefern.

Auf Grund des recht großen Photostroms kann man hier mit relativ kleinen Widerständen arbeiten und erhält eine hohe Bandbreite. Diese wird aber nach oben vor allem durch die Millerkapazität des Phototransistors sowie dessen Sättigungsverhalten der Basis-Emitter-Strecke begrenzt. Die Basis von Phototransistoren ist meist nicht zugänglich und bleibt offen. Bei einigen Typen ist sie als Pin am Bauteil herausgeführt. Mit einem hochohmigen Widerstand im Bereich 100kΩ bis 10MΩ von der Basis zum Emitter kann man die Schaltgeschwindigkeit des Phototransistors erhöhen, allerdings auf Kosten der Empfindlichkeit.

Siehe auch:
* [https://www.onsemi.com/pub/Collateral/AN-3005-D.PDF Application Note AN-3005: Design Fundamentals for Phototransistor Circuits], 2002 Fairchild Semiconductor Corporation (PDF)
* [http://www.evilmadscientist.com/article.php/nightlight A Simple and Cheap Dark-Detecting LED Circuit] - Nachtaktives LED-Throwie, aber hoher Knopfzellen-Ruhestrom 3mA !
* [http://www.datasheetcatalog.org/cgi-bin/helo.pl?field=Nume&type=C&text=sfh300&producedby=&action=Search SFH 300 FA-3/4 mit integriertem Infrarotfilter]
* [http://www.vishay.com/docs/84154/appnotesensors.pdf Application Note: Ambient Light Sensors - Circuit and Window Design] VISHAY SEMICONDUCTORS; Schaltungsvorschläge für verschiedene Anwendungen und Lx-Bereiche

=== Photo-Array ===
Werden mehrere Photodioden in einer Matrix zusammengeschaltet, so entsteht ein zweidimensionaler [[Bildsensor]].

=== LED ===

[[bild:led_brightnessensor.svg|thumb|right|LED in Sperrrichtung als Photodiode.]]
[[LED]]s kann man auch als Photodiode betreiben, wenngleich der Wirkungsgrad bescheiden ist. Nicht alle LED-Substrate erlauben eine Nutzung als Photodiode.

Günstiger für Helligkeitsmessungen ist jedoch, die LED in Sperrrichtung zu betreiben. Hier verhält sie sich wie einen Kondensator mit einer parallelen, lichtabhängigen Stromquelle (Siehe erstes Paper). Die Anode wird gegen Ground geschaltet und die Kathode kommt an einen IO-Port-Pin eines µC.

Die Messung erfolgt in 3 Schritten:
# LED aufladen durch Schalten des Pins auf High und kurz warten.
# Umstellen des Pins auf High-Impedanz Eingang (kein Pull-Up!). Der Strom fließt nun recht langsam aus dem Kondensator über die Stromquelle nach GND ab. Daher sinkt die Spannung stetig und fällt soweit ab, dass der µC ihn als Low erkennt.
# Zeit messen, bis Eingang auf LOW fällt.

Hier eine beispielhafte C-Routine für [[AVR]]:
<syntaxhighlight lang="c">
#include <avr/io.h>
#include <util/delay.h>

static uint8_t SensorLEDGetValue (void)
{
uint8_t entladezeit = 0;

// Portpin PB3 auf Ausgang stellen und LED aufladen
DDRB |= (1<<PIN3);
PORTB |= (1<<PIN3);
_delay_us(10);

// Portpin PB3 auf Eingang stellen
DDRB &= ~(1<<PIN3);
PORTB &= ~(1<<PIN3);

// Zeit (in 5ms Schritten) messen bis
// Signalpegel am Portpin auf LOW fällt
while(PINB & (1<<PIN3) && (entladezeit != 0xff)){
++entladezeit;
_delay_ms(5);
}

return entladezeit;
}
</syntaxhighlight>
Das Ganze lässt sich natürlich noch clever in Timer-ISRs packen, damit das Programm zwischendurch weiterlaufen kann. Hängt man das andere Ende anstatt an Ground ebenfalls an einen µC-PIN so kann man die LED zusätzlich auch noch ganz normal benutzen. Wesentlich besser als Warteroutinen zu verwenden ist die Input-Capture Funktionalität, die Microcontroller wie AVR zur Verfügung stellen.

* [http://www.merl.com/reports/docs/TR2003-35.pdf] Paper (die Theorie und Möglichkeiten)
* [http://forum.geoclub.de/viewtopic.php?t=5753 Reaktives Licht fürs Geocaching] - Doppelnutzung einer LED als Lichtsensor und als Lichtquelle von Sir Vivor. ([[AVR]])
* [http://www.ti.com/litv/zip/slac136c] - MSP430 Demo Code
* [http://mrl.nyu.edu/~jhan/ledtouch/index.html] - LED Matrix als Touch-Sensor
* [http://www.mikrocontroller.net/topic/73776] - LED Matrix als Touch-Sensor

== Integrierte Photosensoren ==

*Light-to-Voltage Converters
*Light-to-Frequency Converters (z. B. TSL230R, tageslichttauglich)
*Linear Sensor Arrays
*Light-to-Digital Converters
*Color Sensors

Maxim
* [https://www.maximintegrated.com/en/products/analog/sensors-and-sensor-interface/MAX44009.html MAX44009 Ambient Light Sensor -- Breakouts Boards bei aliexpress.com erhältlich]

Texas Instruments
* [http://focus.ti.com/lit/ds/symlink/opt101.pdf OPT101, Photodiode mit integriertem TIA]
* [http://www.ti.com/lit/gpn/opt301 OPT301, Photodiode mit integriertem TIA]

ams AG
* [http://www.ams.com/eng/Products/Light-Sensors/Ambient-Light-Sensor-ALS/TSL45317 TSL45317 - Licht Sensor mit I2C Interface]
* [http://www.ams.com/eng/Products/Light-Sensors/Color-Sensor/TCS34717 TCS34717, RGB Sensor mit I2C Interface]
* [http://www.ams.com/eng/Products/Light-Sensors/Ambient-Light-Sensor-Proximity-Detection/TMD27711 TMD27711, Light Sensor & Prox mit I2C Interface]

== Siehe auch ==

* [http://www.mikrocontroller.net/topic/163163#new Forumsbeitrag]: Gleichanteil bei Photodioden aktiv kompensieren
* [https://www.mikrocontroller.net/topic/394828#4652837 Forumsbeitrag]: Infrarot LED Lichtschranke
* [https://www.mikrocontroller.net/topic/423006?goto=4943055#4943034 Forumsbeitrag]: Infrarotdatenübertragung Möglichkeiten IrDA, CIR
* [https://www.mikrocontroller.net/topic/428870#5037959 Forumsbeitrag]: Datenübertragung mit Licht im 2. Weltkrieg (Lichtsprechgerät 80mm)
* [https://www.mikrocontroller.net/topic/goto_post/5277844 Forumsbeitrag]: IR-Lese/Schreibkopf für intelligente Stromzähler

== Links ==

* [http://www.lichtsprechen.de/ www.lichtsprechen.de] Webseite zu Amateurfunk mit Lichtwellen, Tips zur Schaltungstechnik und Optik
* [http://ronja.twibright.com/ RONJA Project] Ethernet über Licht, robustes Selbstbauprojekt mit ca. 1,4km Reichweite
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Photowiderstand Wikipedia:Photowiderstand]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Photohalbleiter Wikipedia:Photohalbleiter]
* [https://e2e.ti.com/support/amplifiers-group/amplifiers/f/amplifiers-forum/182579/photodiode-ac-amplifier/734033#734033 Photodiode AC Amplifier], TI-Forum

[[Kategorie:Sensorik]]