Mikrocontroller.net - Benutzerbeiträge [de]

Benutzer:Feinmechaniker

2019-09-13T08:40:31Z

Feinmechaniker:

* 1976 Radios gebastelt
* 1982 i8008 verbastelt
* 1884 Z80 BASIC Computer, ZX-Spectrum Nachbau, CP/M Nachbau
* 1989 I8086 verbastelt
* 1995 AVR Controller
* 2014 wieder Z80 (Z180)

ernsthafte Tätigkeit ;-) unter:
http://www.amesys.de/

Testseite

2019-01-07T14:15:10Z

Feinmechaniker: /* Formeln */

{{SEITENTITEL:Test-Seite}}

Vor dem Inhaltsverzeichnis steht die Einleitung.

= Text und allgemeine Formatierung =

Wie bekomme ich das Bearbeiten in meinen Artikel?

= test für einen neuen abschnitt 2.28 =
Einfach einen neuen Abschnitt mit Gleichheitszeichen angeben
== Noch mehr Text ==
Hallo!
tag 

test6

== Formatierungen ==
Hä? http://www.lufthansa.de hier geht es zu Airberlin :)
== Liste aller IATA-Codes ==
http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_IATA-Airline-Codes

== Courier ==
Leerzeichen am Anfang jeder Zeile:
Zeile 1
Zeile 2
Zeile 2.1
Zeile 3

Test

== No Courier ==
Kein Leerzeichen am Zeilenanfang: 
Zeile 1 
Zeile 2 
 Zeile 2.1 
Zeile 3 

= Das ist eine neue Schrift =
Wer dem andern eine Bratwurst brät, der hat ein Bratwurstbratgerät...

Bin aber Vegetarier
ICH BIN ÜBERZEUGTER FLEISCHFRESSER
Wer anderen eine Grube gräbt, fällt selbst hinein...

''betrunkene Schrift''

unterstrichen

okay!

"nowiki" verhindert das Interpretieren eines "Befehls".

Abschnitte mit automatisch erstelltem Inhaltsverzeichnis:
== Das Schnitzel-Gedicht ==

Ein Mensch, der sich ein Schnitzel briet,
bemerkte, daß ihm das missriet.
Jedoch da er es selbst gebraten,
tut er, als wär es ihm geraten.
und, sich nicht selbst zu strafen Lügen,
ißt er's mit herzlichem Vergnügen.

== Wenn... ==
Wenn die Bedingung erfüllt ist, dass die Bedingung erfüllt ist, dass Enten Schnäbel haben, dann ist warscheinlicherweise die Bedingung erfüllt, dass die Bedingung nicht erfüllt ist, dass Enten keine Schnäbel haben, wobei man annimmt, dass die Gesetze der Logik herrschen.

== Gruß... ==
--[[Benutzer:Elektrojunge|Elektrojunge]] ([[Benutzer Diskussion:Elektrojunge|Diskussion]]) 23:51, 3. Jan. 2015 (CET)

= "Rudi :-)" =

== DECT-WIFI ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* DECT-WIFI
* neuer Text
* ganz neu

== DECT-MIDI ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
so so
* DECT-MIDI
** Test Doppel Stern
* Test wieder einfach Stern
** aha .. da gehts dann weiter
*** Test Dreifach Stern
**** Test Vierfach Stern
***** Test Fuenffach Stern
**************************************************************************************************** Test Huntertfach Stern

== DECT-OTG ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* DECT-OTG

== WIFI-DECT ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* WIFI-DECT

== WIFI-MIDI ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* WIFI-MIDI

== WIFI-OTG ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* WIFI-OTG

= Listen =

== Listen ==

; Liste:

* dies
* und das
* und jenes
** noch mehr jenes
*** und noch viel mehr, danke
* und anderes
** Bitteschön

BliiiiiiiiiiiiBlaaaaaaaaaaaaaaaaaBlubbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

haha

; nummerierte Liste:

# ein Punkt
# nochn Punkt
## unterpunkt

;Definitionsliste:

;Text 1: gjka gdjk sdghjkd gasjkdgsajkdgsjk dgasj kdg sjdg ghdjsk gdjk dgjks dgjkadgjkdg asjkdg sadg sdg dgsj dsgaj
;Text 2: gjka gdjk sdghjkd gasjkdgsajkdgsjk dgasj kdg sjdg ghdjsk gdjk dgjks dgjkadgjkdg asjkdg sadg sdg dgsj dsgaj

;Text 1 == Text 2

= test für einen neuen abschnitt 1 =

= Testabschnitt 2 Überschrift ==

= Einfügetest ZZZ Testabschnitt 3=
Mal sehen was passiert.
lol

es steht immer noch da :)

Bald nicht mehr du Horst!

Oooh doch! :-D

alda wieso einfügetest ??? also wirklich sowas zu bearbeiten ist echt saublöd einfach ... ^^

= test für einen neuen abschnitt 2.28 =

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
This text is not collapsible; but the next is collapsible and hidden by default:
<div class="mw-collapsible-content">This text should be hidden by default.</div>
This text should be visible as well.
</div>

= test für einen neuen abschnitt 2( =
'''Mein Text :D'''

= Links =

== intern (Artikelsammlung) ==

* [[AVR]]
* [[AVR-GCC-Tutorial/LCD-Ansteuerung]]
* [[AVR-GCC-Tutorial#ADC (Analog Digital Converter)]]
* [[Testseite#intern (Artikelsammlung)|intern]]

== extern ==

* http://www.mikrocontroller.net/topic/108625#959992
* [http://www.mikrocontroller.net/topic/108625#959992]
* [http://www.mikrocontroller.net/topic/108625#959992 Link]
* Dies ist ein [http://www.foo.bar/boo Boo] im Text.

= Formeln =

<math> \widehat{s} = \frac{\widehat{v}}{\omega_{10}11110} </math>{{clear}}
<math> \widehat{s} = \frac{\widehat{v}}{\omega_{20}11110} </math>

<math> \widehat{v} = \overline{v} \cdot \sqrt{2} </math>{{clear}}
<math>\frac{U(s)}{E(s)} = F _{PID} (s) = K_R \left[ 1 + \underbrace {\frac{1}{T_I s}}_{I-Anteil} + \underbrace{\frac{T_Ds}{1+T_Vs}}_{D-Anteil} \right] </math>

<math> \widehat{v} = \overline{v} \cdot \sqrt{2} </math>
<math> \widehat{v} = \overline{v} \cdot \sqrt{2} </math>
<math> \widehat{v} = \overline{v} \cdot \sqrt{2} </math>{{clear}}
<math>a</math>
<math>b</math>
<math>c</math>
<math>d</math>
<math>e</math>
<math>f</math>
<math>g</math>
<math>h</math>
<math>i</math>
<math>j</math>
<math>k</math>
<math>l</math>
<math>m</math>
<math>n</math>
<math>o</math>
<math>p</math>
<math>q</math>
<math>r</math>
<math>s</math>
<math>t</math>
<math>u</math>
<math>v</math>
<math>w</math>
<math>x</math>
<math>y</math>
<math>z</math>

= Tabellen =

== normal ==

{| border="1" class="wikitable"
|+ Speicher
|-
! Typ || Geschwindigkeit || Größe || Schreibzugriffe || Datenerhalt ohne Spannung
|-
| RAM || ++++ || ++++ || beliebig oft || nein
|-
| EPROM || + || +++ || ~1000 || ja
|-
| EEPROM || + || +++ || 10.000-1.000.000 || ja
|-
| FLASH-ROM || ++ || +++++ || 1000-10.000 || ja
|-
| OTP-ROM || + || +++ || einmal || ja
|-
| Register || +++++++++ || + || beliebig oft || nein
|-
| F-RAM||++++||+++||beliebig oft||ja
|}

{| {{Tabelle}}
|+ '''Speicher'''
|- style="background-color:#ffddcc"
! Typ || Geschwindigkeit || Größe || Schreibzugriffe || Datenerhalt ohne Spannung
|-
| RAM || ++++ || ++++ || beliebig oft || nein
|-
| EPROM || + || +++ || ~1000 || ja
|-
| EEPROM || + || +++ || 10.000-1.000.000 || ja
|-
| FLASH-ROM || ++ || +++++ || 1000-10.000 || ja
|-
| OTP-ROM || + || +++ || einmal || ja
|- style="background-color:#ddffcc"
| Register || +++++++ || + || beliebig oft || nein
|-
| EEEPROM || + || + || nie || ja
|-
| F-RAM||++++||+++||beliebig oft||ja
|}

{|
|- style="border-bottom:1px solid;border-right:1px solid"
|style="border:1px solid;border-left:2px solid;border-top:2px solid" width="66" height="14"|H1
|style="border-left:1px solid;border-top:2px solid;border-bottom:solid;"background-color:#DCE6F1" width="66"|Header
|style="border:1px;border-bottom:solid" width="14"|a
|style="border-left:1px;border-top:2px solid;border-bottom:solid;border-right:solid;"background-color:#DCE6F1" width="66"|H3
|style="border:1px solid" width="99"|l
|style="border:1px;border-left:solid" width="66"|ABC

|- style="border-left:solid;border-top:1px;border-bottom:1px;border-right:1px"
|style="border-left:2px;border-top:solid;border-right:solid;"background-color:#EBF1DE" height="15" |Z1
|style="border:1px solid;font-weight:bold"|Test
|style="border:1px solid;"background-color:#FCD5B4"|X
|style="border:1px solid;font-size:8pt"|AB
|style="border:1px;border-top:solid;border-right:solid;text-decoration:underline"|Line
|style="border:1px;text-decoration:none"|DEF

|- style="border-left:solid;border-top:1px;border-bottom:1px;border-right:1px"
|style="border-left:2px;border-bottom:solid;border-right:solid;"background-color:#EBF1DE" align="right" height="14" | 
|style="border:1px solid" align="right" |1
|style="border:1px solid" align="right"|Y
|style="border:1px;border-top:solid;border-bottom:dotted;border-right:solid"|Dot
|style="border:1px;border-bottom:solid;border-right:solid"|j
|style="border:1px"|ghi

|- style="border-left:solid;border-top:1px"
|style="border:solid;border-left:2px;border-bottom:2px;border-right:1px" height="15" |Z2
|style="border:solid;border-left:1px;border-bottom:2px;border-right:1px" align="right" |2
|style="border:solid;border-left:1px;border-bottom:2px;border-right:1px;"background-color:#FCD5B4" align="right"|Z
|style="border-left:1px;border-top:dotted;border-bottom:2px solid #FF0000;border-right:4px solid #D8E4BC;font-style:italic"|C
|style="border:solid;border-left:4px #D8E4BC;border-bottom:1px;border-right:1px"|h
|style="border:1px"|jkl

|}

== sortierbar ==

Um sortierbare Tabellen zu erhalten fügt man statt class="wikitable" folgendes ein: class="wikitable sortable".

{| class="wikitable sortable"
|+ '''Tabellen-Überschrift'''
|-
! Überschrift links || Überschrift rechts
|-
| links oben || rechts oben
|-
| links mitte || rechts mitte
|-
| links unten || rechts unten
|}

{|class="wikitable collapsible sortable" style="width:35em"

|-
!scope="col"|Name!!scope="col"|Score
|-
|John||59
|-
|Jane||100
|-
|Bob||72
|}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" {{Tabelle}}
|+ style="caption-side:top;text-align:left;color:#FF0000"| [http://www.reichelt.de/ Stückliste für die Steuerung]
|-
!width="21%" height="14"|Bauelement
!width="79%"|Bezeichnung

|-
|style="color:#00B050" height="31" align="center"|JP1
|[http://www.reichelt.de/index.html?ARTICLE=85732 Wannenstecker]

|-
|height="42"|C1
|style="background-color:#EBF1DE"|[http://www.reichelt.de/index.html?ARTICLE=44857 Elko]

|}

== Stückliste ==

{| class="wikitable sortable"
|+ '''verwendete Bauteile'''
|-
! rowspan="2" | Name || rowspan="2" | Wert || rowspan="2" | Beschreibung || rowspan="2" | Reichelt Bestell-Nr. || Einzel- Preis || colspan="6" | Mengen und Preise
|-
! || colspan="2" | 5V only || colspan="2" | 3V3 only || colspan="2" | 5V & 3V3
|-
|IC1, (IC3) || LT1933 || LT1933S6 || LT 1933 ES6 || 2,80 € || 1 || 2,80 € || 2 || 5,60 € || 1 || 12,80 €
|}

[[Datei:ShoppingCart2.png|mitte|verweis=http://www.reichelt.de]] Hier geht es zu dem Reichelt-Warenkorb mit den benötigten Bauteilen.

[[Datei:ShoppingCart2.png|mitte|verweis=http://www.reichelt.de]] Und hier geht es zu einem anderen Warenkorb von Reichelt.

= svg-Grafik =

[[Bild:Vekfont_1-3.svg|thumb|left]]

{{Clear}}

= Bildbeispiel =

Hier steht die Einleitung. Etwas später kommt ein [[Bild]].

<math> \pi </math>

Zum Glück kann man Formeln auch in <math> LaTeX-Syntax </math> schreiben!

Hier geht der Text weiter.

= Quellcode =

== AVR-asm ==

<syntaxhighlight lang="avrasm">
; asm-Kommentar (ok)
// Kommentar über 1 "Zeile" (nicht ok)
/*
Kommentar über; 2 Zeilen
(auch nicht ok)
*/
</syntaxhighlight>

== C-Code ==

<syntaxhighlight lang="c">
main(){

mark:

if(1){
goto mark; }

}</syntaxhighlight>

<source lang="c">main(){

mark:

if(1){
goto mark; }

}</source>

= Warnung =

{{Warnung |
;Warnung: Mikrocontroller machen viel zu schnell süchtig. Also hören sie damit auf und schmeißen sie die in die Waschmaschine!
}}

= Bits und Bytes =

{{Byte ||
REFS1 | REFS0 | ADLAR || MUX3 | MUX2 | MUX1 | MUX0
}}

{{ByteNumbered |ADMUX |
REFS1 | REFS0 | ADLAR || MUX3 | MUX2 | MUX1 | MUX0
}}

{{ByteNumbered ||
REFS1 | REFS0 | ADLAR || MUX3 | MUX2 | MUX1 | MUX0
}}

{{ByteWithValues |ADMUX
|REFS1 | REFS0 | ADLAR |–|MUX3|MUX2|MUX1|MUX0
|1 | 0 | 0 | 0 |X |X |X |X
}}

= Harvard-Referenzen =
Article text.{{sfn|Smith|2007|p=25}}
More article text.{{sfn|Smith|2007|p=25}}
Still more article text.{{sfn|Smith|2007|p=26}}

==Notes==
{{reflist}}

==References==
* {{cite book
| ref = harv
| last = Smith | first = John
| year = 2007
| title = Smith's Book
}}

= Referenzen =

Beobachtungen des Weltraumteleskops Hubble ergaben, dass sich die Monde des Uranus dem Planeten nähern.
<ref name="PopularScience">''Popular Science''. 12, 2005, S. 12.</ref> Bislang lehnten die Marsianer<ref>
Walter Ismeni: ''[http://www.quarks.de/themendossiers/weltraum/html-version/sind-wir-allein-im-universum/die-marsianer
Die Marsianer in der Phantasie der Menschen]''. In: ''Quarks&Co''. 3, 2006.</ref> eine Stellungnahme zu diesem Vorgang ab.
<ref name="PopularScience" /> Man kann sogar selbst nach den Marsianern suchen.<ref>RRZN: ''http://www.metager.de/''. Stand
30. April 2006.</ref><ref>Der Sinn dieses Textes ist umstritten. Ebenso das Einbinden von Anmerkungen.</ref>

= Einzelnachweise =

<references/>

[[Kategorie:Tipps für Autoren]]

= Zweisprachige Spalten =

{| {{Tabelle}}
|style="background-color:#ffffff;vertical-align:baseline;width: 25em"|
Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext.
|style="background-color:#ffffff;vertical-align:baseline;width: 25em"|
This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English.
|-
|}

{| {{Tabelle}}
|style="background-color:#ffffff;vertical-align:baseline;width: 25em"|
Das ist kurz.
|style="background-color:#ffffff;vertical-align:baseline;width: 25em"|
This is short.
|-
|}

= Test für defekte GIF =
[[Datei:Entprellung mit IIR-Filter.gif|thumb|Test]]

: Mann, Mann, jetzt hat es das Wunder-Gif schon in ein Admin Wiki geschaft.

= Quellenangabe =

<ref>Die Quelle</ref> Name der Quelle

= Aufklappbarer Block =

<div class="mw-collapsible">
Überschrift
<div class="mw-collapsible-content">
Inhalt
</div>
</div>

Funktioniert leider nicht...

= Uhrzeit Test =
[[Benutzer:Markbrandis|Markbrandis]] ([[Benutzer Diskussion:Markbrandis|Diskussion]]) 09:04, 25. Aug. 2016 (CEST)

= Referenzen =
Den Block bitte ganz unten belassen, weil hier die Referenzen auf Quellen automatisch eingefügt werden.

Testseite

2019-01-07T14:14:30Z

Feinmechaniker: /* Formeln */

{{SEITENTITEL:Test-Seite}}

Vor dem Inhaltsverzeichnis steht die Einleitung.

= Text und allgemeine Formatierung =

Wie bekomme ich das Bearbeiten in meinen Artikel?

= test für einen neuen abschnitt 2.28 =
Einfach einen neuen Abschnitt mit Gleichheitszeichen angeben
== Noch mehr Text ==
Hallo!
tag 

test6

== Formatierungen ==
Hä? http://www.lufthansa.de hier geht es zu Airberlin :)
== Liste aller IATA-Codes ==
http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_IATA-Airline-Codes

== Courier ==
Leerzeichen am Anfang jeder Zeile:
Zeile 1
Zeile 2
Zeile 2.1
Zeile 3

Test

== No Courier ==
Kein Leerzeichen am Zeilenanfang: 
Zeile 1 
Zeile 2 
 Zeile 2.1 
Zeile 3 

= Das ist eine neue Schrift =
Wer dem andern eine Bratwurst brät, der hat ein Bratwurstbratgerät...

Bin aber Vegetarier
ICH BIN ÜBERZEUGTER FLEISCHFRESSER
Wer anderen eine Grube gräbt, fällt selbst hinein...

''betrunkene Schrift''

unterstrichen

okay!

"nowiki" verhindert das Interpretieren eines "Befehls".

Abschnitte mit automatisch erstelltem Inhaltsverzeichnis:
== Das Schnitzel-Gedicht ==

Ein Mensch, der sich ein Schnitzel briet,
bemerkte, daß ihm das missriet.
Jedoch da er es selbst gebraten,
tut er, als wär es ihm geraten.
und, sich nicht selbst zu strafen Lügen,
ißt er's mit herzlichem Vergnügen.

== Wenn... ==
Wenn die Bedingung erfüllt ist, dass die Bedingung erfüllt ist, dass Enten Schnäbel haben, dann ist warscheinlicherweise die Bedingung erfüllt, dass die Bedingung nicht erfüllt ist, dass Enten keine Schnäbel haben, wobei man annimmt, dass die Gesetze der Logik herrschen.

== Gruß... ==
--[[Benutzer:Elektrojunge|Elektrojunge]] ([[Benutzer Diskussion:Elektrojunge|Diskussion]]) 23:51, 3. Jan. 2015 (CET)

= "Rudi :-)" =

== DECT-WIFI ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* DECT-WIFI
* neuer Text
* ganz neu

== DECT-MIDI ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
so so
* DECT-MIDI
** Test Doppel Stern
* Test wieder einfach Stern
** aha .. da gehts dann weiter
*** Test Dreifach Stern
**** Test Vierfach Stern
***** Test Fuenffach Stern
**************************************************************************************************** Test Huntertfach Stern

== DECT-OTG ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* DECT-OTG

== WIFI-DECT ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* WIFI-DECT

== WIFI-MIDI ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* WIFI-MIDI

== WIFI-OTG ==
; "Rudi ;-)" Versucht sich in der WIKI
* WIFI-OTG

= Listen =

== Listen ==

; Liste:

* dies
* und das
* und jenes
** noch mehr jenes
*** und noch viel mehr, danke
* und anderes
** Bitteschön

BliiiiiiiiiiiiBlaaaaaaaaaaaaaaaaaBlubbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

haha

; nummerierte Liste:

# ein Punkt
# nochn Punkt
## unterpunkt

;Definitionsliste:

;Text 1: gjka gdjk sdghjkd gasjkdgsajkdgsjk dgasj kdg sjdg ghdjsk gdjk dgjks dgjkadgjkdg asjkdg sadg sdg dgsj dsgaj
;Text 2: gjka gdjk sdghjkd gasjkdgsajkdgsjk dgasj kdg sjdg ghdjsk gdjk dgjks dgjkadgjkdg asjkdg sadg sdg dgsj dsgaj

;Text 1 == Text 2

= test für einen neuen abschnitt 1 =

= Testabschnitt 2 Überschrift ==

= Einfügetest ZZZ Testabschnitt 3=
Mal sehen was passiert.
lol

es steht immer noch da :)

Bald nicht mehr du Horst!

Oooh doch! :-D

alda wieso einfügetest ??? also wirklich sowas zu bearbeiten ist echt saublöd einfach ... ^^

= test für einen neuen abschnitt 2.28 =

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
This text is not collapsible; but the next is collapsible and hidden by default:
<div class="mw-collapsible-content">This text should be hidden by default.</div>
This text should be visible as well.
</div>

= test für einen neuen abschnitt 2( =
'''Mein Text :D'''

= Links =

== intern (Artikelsammlung) ==

* [[AVR]]
* [[AVR-GCC-Tutorial/LCD-Ansteuerung]]
* [[AVR-GCC-Tutorial#ADC (Analog Digital Converter)]]
* [[Testseite#intern (Artikelsammlung)|intern]]

== extern ==

* http://www.mikrocontroller.net/topic/108625#959992
* [http://www.mikrocontroller.net/topic/108625#959992]
* [http://www.mikrocontroller.net/topic/108625#959992 Link]
* Dies ist ein [http://www.foo.bar/boo Boo] im Text.

= Formeln =

<math> \widehat{s} = \frac{\widehat{v}}{\omega_{10}11110} </math>{{clear}}
<math> \widehat{s} = \frac{\widehat{v}}{\omega_{10}11110} </math>

<math> \widehat{v} = \overline{v} \cdot \sqrt{2} </math>{{clear}}
<math>\frac{U(s)}{E(s)} = F _{PID} (s) = K_R \left[ 1 + \underbrace {\frac{1}{T_I s}}_{I-Anteil} + \underbrace{\frac{T_Ds}{1+T_Vs}}_{D-Anteil} \right] </math>

<math> \widehat{v} = \overline{v} \cdot \sqrt{2} </math>
<math> \widehat{v} = \overline{v} \cdot \sqrt{2} </math>
<math> \widehat{v} = \overline{v} \cdot \sqrt{2} </math>{{clear}}
<math>a</math>
<math>b</math>
<math>c</math>
<math>d</math>
<math>e</math>
<math>f</math>
<math>g</math>
<math>h</math>
<math>i</math>
<math>j</math>
<math>k</math>
<math>l</math>
<math>m</math>
<math>n</math>
<math>o</math>
<math>p</math>
<math>q</math>
<math>r</math>
<math>s</math>
<math>t</math>
<math>u</math>
<math>v</math>
<math>w</math>
<math>x</math>
<math>y</math>
<math>z</math>

= Tabellen =

== normal ==

{| border="1" class="wikitable"
|+ Speicher
|-
! Typ || Geschwindigkeit || Größe || Schreibzugriffe || Datenerhalt ohne Spannung
|-
| RAM || ++++ || ++++ || beliebig oft || nein
|-
| EPROM || + || +++ || ~1000 || ja
|-
| EEPROM || + || +++ || 10.000-1.000.000 || ja
|-
| FLASH-ROM || ++ || +++++ || 1000-10.000 || ja
|-
| OTP-ROM || + || +++ || einmal || ja
|-
| Register || +++++++++ || + || beliebig oft || nein
|-
| F-RAM||++++||+++||beliebig oft||ja
|}

{| {{Tabelle}}
|+ '''Speicher'''
|- style="background-color:#ffddcc"
! Typ || Geschwindigkeit || Größe || Schreibzugriffe || Datenerhalt ohne Spannung
|-
| RAM || ++++ || ++++ || beliebig oft || nein
|-
| EPROM || + || +++ || ~1000 || ja
|-
| EEPROM || + || +++ || 10.000-1.000.000 || ja
|-
| FLASH-ROM || ++ || +++++ || 1000-10.000 || ja
|-
| OTP-ROM || + || +++ || einmal || ja
|- style="background-color:#ddffcc"
| Register || +++++++ || + || beliebig oft || nein
|-
| EEEPROM || + || + || nie || ja
|-
| F-RAM||++++||+++||beliebig oft||ja
|}

{|
|- style="border-bottom:1px solid;border-right:1px solid"
|style="border:1px solid;border-left:2px solid;border-top:2px solid" width="66" height="14"|H1
|style="border-left:1px solid;border-top:2px solid;border-bottom:solid;"background-color:#DCE6F1" width="66"|Header
|style="border:1px;border-bottom:solid" width="14"|a
|style="border-left:1px;border-top:2px solid;border-bottom:solid;border-right:solid;"background-color:#DCE6F1" width="66"|H3
|style="border:1px solid" width="99"|l
|style="border:1px;border-left:solid" width="66"|ABC

|- style="border-left:solid;border-top:1px;border-bottom:1px;border-right:1px"
|style="border-left:2px;border-top:solid;border-right:solid;"background-color:#EBF1DE" height="15" |Z1
|style="border:1px solid;font-weight:bold"|Test
|style="border:1px solid;"background-color:#FCD5B4"|X
|style="border:1px solid;font-size:8pt"|AB
|style="border:1px;border-top:solid;border-right:solid;text-decoration:underline"|Line
|style="border:1px;text-decoration:none"|DEF

|- style="border-left:solid;border-top:1px;border-bottom:1px;border-right:1px"
|style="border-left:2px;border-bottom:solid;border-right:solid;"background-color:#EBF1DE" align="right" height="14" | 
|style="border:1px solid" align="right" |1
|style="border:1px solid" align="right"|Y
|style="border:1px;border-top:solid;border-bottom:dotted;border-right:solid"|Dot
|style="border:1px;border-bottom:solid;border-right:solid"|j
|style="border:1px"|ghi

|- style="border-left:solid;border-top:1px"
|style="border:solid;border-left:2px;border-bottom:2px;border-right:1px" height="15" |Z2
|style="border:solid;border-left:1px;border-bottom:2px;border-right:1px" align="right" |2
|style="border:solid;border-left:1px;border-bottom:2px;border-right:1px;"background-color:#FCD5B4" align="right"|Z
|style="border-left:1px;border-top:dotted;border-bottom:2px solid #FF0000;border-right:4px solid #D8E4BC;font-style:italic"|C
|style="border:solid;border-left:4px #D8E4BC;border-bottom:1px;border-right:1px"|h
|style="border:1px"|jkl

|}

== sortierbar ==

Um sortierbare Tabellen zu erhalten fügt man statt class="wikitable" folgendes ein: class="wikitable sortable".

{| class="wikitable sortable"
|+ '''Tabellen-Überschrift'''
|-
! Überschrift links || Überschrift rechts
|-
| links oben || rechts oben
|-
| links mitte || rechts mitte
|-
| links unten || rechts unten
|}

{|class="wikitable collapsible sortable" style="width:35em"

|-
!scope="col"|Name!!scope="col"|Score
|-
|John||59
|-
|Jane||100
|-
|Bob||72
|}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" {{Tabelle}}
|+ style="caption-side:top;text-align:left;color:#FF0000"| [http://www.reichelt.de/ Stückliste für die Steuerung]
|-
!width="21%" height="14"|Bauelement
!width="79%"|Bezeichnung

|-
|style="color:#00B050" height="31" align="center"|JP1
|[http://www.reichelt.de/index.html?ARTICLE=85732 Wannenstecker]

|-
|height="42"|C1
|style="background-color:#EBF1DE"|[http://www.reichelt.de/index.html?ARTICLE=44857 Elko]

|}

== Stückliste ==

{| class="wikitable sortable"
|+ '''verwendete Bauteile'''
|-
! rowspan="2" | Name || rowspan="2" | Wert || rowspan="2" | Beschreibung || rowspan="2" | Reichelt Bestell-Nr. || Einzel- Preis || colspan="6" | Mengen und Preise
|-
! || colspan="2" | 5V only || colspan="2" | 3V3 only || colspan="2" | 5V & 3V3
|-
|IC1, (IC3) || LT1933 || LT1933S6 || LT 1933 ES6 || 2,80 € || 1 || 2,80 € || 2 || 5,60 € || 1 || 12,80 €
|}

[[Datei:ShoppingCart2.png|mitte|verweis=http://www.reichelt.de]] Hier geht es zu dem Reichelt-Warenkorb mit den benötigten Bauteilen.

[[Datei:ShoppingCart2.png|mitte|verweis=http://www.reichelt.de]] Und hier geht es zu einem anderen Warenkorb von Reichelt.

= svg-Grafik =

[[Bild:Vekfont_1-3.svg|thumb|left]]

{{Clear}}

= Bildbeispiel =

Hier steht die Einleitung. Etwas später kommt ein [[Bild]].

<math> \pi </math>

Zum Glück kann man Formeln auch in <math> LaTeX-Syntax </math> schreiben!

Hier geht der Text weiter.

= Quellcode =

== AVR-asm ==

<syntaxhighlight lang="avrasm">
; asm-Kommentar (ok)
// Kommentar über 1 "Zeile" (nicht ok)
/*
Kommentar über; 2 Zeilen
(auch nicht ok)
*/
</syntaxhighlight>

== C-Code ==

<syntaxhighlight lang="c">
main(){

mark:

if(1){
goto mark; }

}</syntaxhighlight>

<source lang="c">main(){

mark:

if(1){
goto mark; }

}</source>

= Warnung =

{{Warnung |
;Warnung: Mikrocontroller machen viel zu schnell süchtig. Also hören sie damit auf und schmeißen sie die in die Waschmaschine!
}}

= Bits und Bytes =

{{Byte ||
REFS1 | REFS0 | ADLAR || MUX3 | MUX2 | MUX1 | MUX0
}}

{{ByteNumbered |ADMUX |
REFS1 | REFS0 | ADLAR || MUX3 | MUX2 | MUX1 | MUX0
}}

{{ByteNumbered ||
REFS1 | REFS0 | ADLAR || MUX3 | MUX2 | MUX1 | MUX0
}}

{{ByteWithValues |ADMUX
|REFS1 | REFS0 | ADLAR |–|MUX3|MUX2|MUX1|MUX0
|1 | 0 | 0 | 0 |X |X |X |X
}}

= Harvard-Referenzen =
Article text.{{sfn|Smith|2007|p=25}}
More article text.{{sfn|Smith|2007|p=25}}
Still more article text.{{sfn|Smith|2007|p=26}}

==Notes==
{{reflist}}

==References==
* {{cite book
| ref = harv
| last = Smith | first = John
| year = 2007
| title = Smith's Book
}}

= Referenzen =

Beobachtungen des Weltraumteleskops Hubble ergaben, dass sich die Monde des Uranus dem Planeten nähern.
<ref name="PopularScience">''Popular Science''. 12, 2005, S. 12.</ref> Bislang lehnten die Marsianer<ref>
Walter Ismeni: ''[http://www.quarks.de/themendossiers/weltraum/html-version/sind-wir-allein-im-universum/die-marsianer
Die Marsianer in der Phantasie der Menschen]''. In: ''Quarks&Co''. 3, 2006.</ref> eine Stellungnahme zu diesem Vorgang ab.
<ref name="PopularScience" /> Man kann sogar selbst nach den Marsianern suchen.<ref>RRZN: ''http://www.metager.de/''. Stand
30. April 2006.</ref><ref>Der Sinn dieses Textes ist umstritten. Ebenso das Einbinden von Anmerkungen.</ref>

= Einzelnachweise =

<references/>

[[Kategorie:Tipps für Autoren]]

= Zweisprachige Spalten =

{| {{Tabelle}}
|style="background-color:#ffffff;vertical-align:baseline;width: 25em"|
Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext. Das ist ein Fülltext.
|style="background-color:#ffffff;vertical-align:baseline;width: 25em"|
This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English. This is English.
|-
|}

{| {{Tabelle}}
|style="background-color:#ffffff;vertical-align:baseline;width: 25em"|
Das ist kurz.
|style="background-color:#ffffff;vertical-align:baseline;width: 25em"|
This is short.
|-
|}

= Test für defekte GIF =
[[Datei:Entprellung mit IIR-Filter.gif|thumb|Test]]

: Mann, Mann, jetzt hat es das Wunder-Gif schon in ein Admin Wiki geschaft.

= Quellenangabe =

<ref>Die Quelle</ref> Name der Quelle

= Aufklappbarer Block =

<div class="mw-collapsible">
Überschrift
<div class="mw-collapsible-content">
Inhalt
</div>
</div>

Funktioniert leider nicht...

= Uhrzeit Test =
[[Benutzer:Markbrandis|Markbrandis]] ([[Benutzer Diskussion:Markbrandis|Diskussion]]) 09:04, 25. Aug. 2016 (CEST)

= Referenzen =
Den Block bitte ganz unten belassen, weil hier die Referenzen auf Quellen automatisch eingefügt werden.

Multi-Domäne-Systeme

2018-06-14T11:12:10Z

Feinmechaniker: /* Downloads */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Gl 31.svg|zentriert]] || [[Datei:Gl 32.svg|zentriert]]
|}
 

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

[[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[http://www.amesys.de/?Download LTSpice Bibliothek Mechatronik.lib]

[http://www.amesys.de/userfiles/downloads/PDF/gme_doc.pdf Tutorial zur Mechatronik.lib]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-06-14T11:11:37Z

Feinmechaniker: /* Downloads */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Gl 31.svg|zentriert]] || [[Datei:Gl 32.svg|zentriert]]
|}
 

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

[[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[http://http://www.amesys.de/Download LTSpice Bibliothek Mechatronik.lib]

[http://www.amesys.de/userfiles/downloads/PDF/gme_doc.pdf Tutorial zur Mechatronik.lib]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-06-14T11:10:48Z

Feinmechaniker: /* Downloads */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Gl 31.svg|zentriert]] || [[Datei:Gl 32.svg|zentriert]]
|}
 

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

[[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[http://http://www.amesys.de/?Download LTSpice Bibliothek Mechatronik.lib]

[http://www.amesys.de/userfiles/downloads/PDF/gme_doc.pdf Tutorial zur Mechatronik.lib]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-06-14T11:09:22Z

Feinmechaniker: /* Downloads */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
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|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
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| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
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! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Gl 31.svg|zentriert]] || [[Datei:Gl 32.svg|zentriert]]
|}
 

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

[[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[http://http://www.amesys.de/?Download LTSpice Bibliothek Mechatronik.lib]

[http://http://www.amesys.de/?Download Tutorial zur Mechatronik.lib]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-06-14T11:08:11Z

Feinmechaniker: /* Downloads */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Gl 31.svg|zentriert]] || [[Datei:Gl 32.svg|zentriert]]
|}
 

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

[[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[http://http://www.amesys.de/?Download LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]

[http://http://www.amesys.de/?Download Tutorial zur Mechatronik.LIB]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-06-14T11:05:28Z

Feinmechaniker: /* Downloads */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Gl 31.svg|zentriert]] || [[Datei:Gl 32.svg|zentriert]]
|}
 

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]
[http://http://www.amesys.de/?Download LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-06-14T11:04:03Z

Feinmechaniker: /* Downloads */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Gl 31.svg|zentriert]] || [[Datei:Gl 32.svg|zentriert]]
|}
 

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T06:05:59Z

Feinmechaniker: /* NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
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! style="width:8%"|
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! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
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! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Gl 31.svg|zentriert]] || [[Datei:Gl 32.svg|zentriert]]
|}
 

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Gl 32.svg

2018-04-18T06:05:31Z

Feinmechaniker: Gl_32

Gl_32

Datei:Gl 31.svg

2018-04-18T06:05:07Z

Feinmechaniker: Gl_31

Gl_31

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T06:04:44Z

Feinmechaniker: /* NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Gl 31.svg|zentriert]] || [[Datei:Gl 32.svg|zentriert]]
|}

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Gl 30.svg

2018-04-18T05:56:05Z

Feinmechaniker: Gl_30

Gl_30

Datei:Gl 29.svg

2018-04-18T05:55:30Z

Feinmechaniker: Gl_29

Gl_29

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T05:55:07Z

Feinmechaniker: /* NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.
[[Datei:Gl 29.svg|zentriert]]
Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.
[[Datei:Gl 30.svg|zentriert]]
Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Gl 28.svg

2018-04-18T05:47:01Z

Feinmechaniker: Gl_28

Gl_28

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T05:46:37Z

Feinmechaniker: /* NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.

Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.

Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T05:44:56Z

Feinmechaniker: /* NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
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|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
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|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
[[Datei:Gl 2 28.svg|zentriert]]
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.

Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.

Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T05:43:48Z

Feinmechaniker: /* NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.
IX=GYn
In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.

Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.

Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T05:40:45Z

Feinmechaniker: /* NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.

In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.

Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.

Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T05:40:28Z

Feinmechaniker: /* Dämpfung - Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====
 
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.

In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.

Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.

Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T05:39:58Z

Feinmechaniker: /* NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
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|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
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| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
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|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ==== 
Ein lineares Widerstandsgesetz ist für viele technische Anwendungen oft eine Ausnahme. Meist finden wir eher Zusammenhänge, welche sich nur um einen Punkt linear abbilden lassen. Analysiert man die unterschiedlichen physikalischen Widerstandsgesetze in der Mechanik, so fällt ein grundlegender Zusammenhang auf.

In der Mechanik nennen wir diesen Zusammenhang auch die Newton'sche Reibung.

Die konstitutiven Gesetze der mechatronischen Netzwerke bauen auf einem linearen Leistungsgesetz auf.

Das bedeutet, dass die Leistung in einer physikalischen Domäne immer aus dem Produkt der Potentialdifferenz über einem Widerstand mal dem Fluss durch diesen Widerstand bestimmt wird, egal wie die innere physikalische Beschaffenheit dieses Widerstandes aussieht. Diesem linearen Leistungsgesetz muss auch in der Modellbildung der mechatronischen Netzwerke Rechnung getragen werden.

Für die Abbildung im Simulationssystem ist ein nichtlineares Widerstandsgesetz in Abhängigkeit der Potentialdifferenz günstiger.

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-18T05:38:26Z

Feinmechaniker: /* Dämpfung - Widerstand */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== NEWTON'sche Reibung - nichtlinearer Widerstand ====

===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T15:43:58Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
'''Anmerkung''' 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h. 

* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T15:43:04Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein. 

Anmerkung 
Bei der Simulation mittels LTspice muss natürlich beachtet werden, dass die Geschwindigkeit in „Volt“ ausgegeben wird. Da jedoch prinzipiell SI-Einheiten verwendet werden, entspricht 1V = 1m/s. Die Grenzgeschwindigkeit der fallenden Kugel beträgt also 47.63 m/s oder 171.5 km/h.

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T15:35:45Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein.

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsergebins]]
 
* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Bsp 2 2 b.png

2018-04-16T15:34:26Z

Feinmechaniker: Fallgeschwindigkeit

Fallgeschwindigkeit

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T15:34:00Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein.

[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
[[Datei:Bsp 2 2 b.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Bsp 2 2.pdf

2018-04-16T15:28:43Z

Feinmechaniker: Bsp_2_2_Mathcad

Bsp_2_2_Mathcad

Datei:Bsp 2 2.zip

2018-04-16T15:27:26Z

Feinmechaniker: LTspice Simulationsdaten

LTspice Simulationsdaten

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T15:26:44Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein.
[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Bsp 2 2 LT.png

2018-04-16T15:25:55Z

Feinmechaniker: Feinmechaniker lud eine neue Version von Datei:Bsp 2 2 LT.png hoch

Beispiel 2.2 LTspice Simulation

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T15:25:16Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
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! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
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| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
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|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein.
[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Bsp 2 2 LT.png

2018-04-16T15:21:08Z

Feinmechaniker: Beispiel 2.2 LTspice Simulation

Beispiel 2.2 LTspice Simulation

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T15:20:00Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein.
[[Datei:Bsp 2 2 LT.png|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_2.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_2.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Gl 2 2.svg

2018-04-16T15:14:07Z

Feinmechaniker: Gl_2_2

Gl_2_2

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T15:13:33Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 2.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein.

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T15:12:47Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
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|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
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! style="width:8%"|
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! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und über Trennung der Variablen gelöst werden.

Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente, sowie des nichtlinearen Widerstandes. Die Kugelmasse wird über eine Kapazität simuliert. Da die Erdbeschleunigung als konstant angenommen wird, kann sie sehr einfach durch eine Stromquelle abgebildet werden. Für die NEWTON’sche Reibung setzen wir einen nichtlinearen Widerstand mit dem Exponenten 2 ein.

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T13:58:22Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.1 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T13:56:51Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und analytisch gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als auch die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T13:56:26Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
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! style="width:15%"|
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|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
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! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und analytisch gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell''' 

Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als ach die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T13:56:08Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
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! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und analytisch gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel? 

'''Analysemodell'''
Im Modell wird die Stahlkugel als starrer Körper angenommen. Sowohl die Dichte der Luft als ach die Erdbeschleunigung sollen über die gesamte Fallhöhe als konstant angenommen werden. Es wirkt ausschließlich NEWTON’sche Reibung an der Kugel.

[[Datei:Bsp 2 2 a.png|zentriert|freier Fall einer Stahlkugel]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Bsp 2 2 a.png

2018-04-16T13:55:25Z

Feinmechaniker:

freier Fall einer Kugel

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T13:53:58Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.2 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und analytisch gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===
Im Schwerefeld der Erde (konstante Erdbeschleunigung) fällt eine Stahlkugel im freien Fall (Anfangsgeschwindigkeit v=0) nur gebremst durch die NEWTON’sche Reibung (geschwindigkeitsquadratische Reibung). Wie sieht der Verlauf der Fallgeschwindigkeit über die Zeit aus? Welche Grenzgeschwindigkeit erreicht die Stahlkugel?

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T13:53:13Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe 2.1 */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und analytisch gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

===Übungsaufgabe 2.2===

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T13:23:33Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
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! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
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! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe 2.1===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und analytisch gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]

Datei:Bsp 2 1.pdf

2018-04-16T13:22:23Z

Feinmechaniker: Parameter für 2.1

Parameter für 2.1

Multi-Domäne-Systeme

2018-04-16T13:21:41Z

Feinmechaniker: /* Übungsaufgabe */

''von Joe G.'' 

(Artikel noch in Bearbeitung)

Multi-Domäne-Systeme beschreiben komplexe Systeme, deren Einzelkomponenten aus verschiedenen Bereichen der Technik (Elektrotechnik, Mechanik, Pneumatik, Hydraulik oder Thermodynamik) stammen.

Mit Hilfe der Multi-Domain-Modellierung können diese Systeme mittels moderner Simulationsmethoden (LTSpice) analysiert und berechnet werden. Das theoretische Gerüst wird in diesem Artikel ausdrücklich nicht behandelt. Vielmehr erfolgt hier eine Darstellung im Sinne eines „Kochrezeptes“ um den interessierten Praktiker an die Methoden der Multi-Domain-Modellierung heranzuführen. Über die praktische Anwendung hinaus interessierte Leser, nutzen bitte die jeweils angegeben Quellen zur Vertiefung.

== Grundlagen ==
=== Mehrpolbasierte Modellbildung ===

Als mehrpolbasierte Modellbildung bezeichnet man eine einheitliche Darstellung von technischen Systemen mit multidisziplinärem Charakter (Multi-Domänen-Systeme). Ausgehend von der Modellbildung mit konzentrierten Ersatzelementen, sowie allgemeiner Erhaltungs- und Bilanzgesetze, können Systemmodelle mit leistungserhaltenden Verschaltungsgesetzen gebildet werden (<ref>Rüdiger G.Ballas, Günther Pfeifer und Roland Werthschützky: ''Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf – Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89317-2, S.11.</ref>elektroanaloge Netzwerke, <ref>Jörg Grabow: ''Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik.'' 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013, ISBN 978-3-486-71261-2, S.I. </ref>Verallgemeinerte Netzwerke in der Mechatronik). Ein klassisches Beispiel für reine elektrische Systeme sind die kirchhoffschen Netzwerke. Historisch geht diese Form der Modellbildung auf James Clerk Maxwell zurück. Er entwickelte 1873 sehr detaillierte mechanische Analogien zu den elektrischen Phänomenen. In seiner <ref>Robert H. Bishop: ''Mechatronics: An Introduction.'' CRC Press, 2005, ISBN 1-4200-3724-2, S.8.4.
</ref>Impedanzanalogie verknüpfte er erstmals die Kraft und die elektrische Spannung als analoge Größen.

=== Allgemeines ===
Bei der mehrpolbasierten Modellbildung werden konzentrierte Netzwerkelemente (engl. lumped elements) über ihre Torklemmen miteinander verschaltet. Dabei findet ein wechselseitiger Energieaustausch zwischen den einzelnen Netzwerkelementen statt. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Torklemmen jedes Netzwerkelements spricht man von einem Eintor, Zweitor, Dreitor oder Mehrtor. Der Energieaustausch eines Netzwerkelementes kann immer durch die zwei elementare Netzwerkvariablen (Torgrößen), der Flussgröße IX und der Differenzgröße Y beschrieben werden. Die Verschaltung der einzelnen Netzwerkelemente untereinander erfolgt mittels verallgemeinerter Kirchhoffscher Gesetzte (Kontenpunktsatz, Maschensatz).

=== Bildungsgesetze für die Systemvariablen ===

Bei der Bildung aller notwendigen Systemvariablen geht man zunächst davon aus, dass eine Energieänderung im n-dimensionalen Raum immer durch eine Massieu-Gibbs-Funktion ausgedrückt werden kann.

Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschreiben werden.
[[Datei:Gl 1.svg|center]]
Innerhalb einer physikalischen Domäne existieren im Normalfall genau zwei Summanden der Massieu-Gibbs-Funktion, welche im Allgemeinen durch ihre unvollständigen Differentiale beschrieben werden.
[[Datei:Gl 2.svg|center]]
Die beiden Intensitätsgrößen bilden dabei die gesuchten Fluss- und Differenzgrößen (leistungskonjugierte Variablen).
[[Datei:Gl 3.svg|center]]
[[Datei:Gl 4.svg|center]]
Das Produkt beider Intensitätsgrößen ergibt in der jeweiligen physikalischen Domäne immer eine Leistung.
[[Datei:Gl 5.svg|center]]
Jede einzelne unabhängige Energieänderung δE wird durch ein Paar von energiekonjugierten Variablen ausgedrückt.
[[Datei:Gl 6.svg|center]]
Der Quantitätsbegriff reicht jedoch noch nicht aus, um alle Energieformen eindeutig zu charakterisieren. Bei Energieformen an denen feldartige Größen beteiligt sind, existiert kein einfacher mengenartiger Zusammenhang. Dazu wird der Begriff der Quantitätsgröße mit den nachfolgenden Regeln auf den Begriff der extensiven Größe erweitert.

===Bildungsregel===
* Zu jeder Energieform existiert eine extensive Variable.
* Jede Quantitätsgröße ist auch extensiv.
* Nicht jede extensive Größe ist eine Quantitätsgröße.
{| class="wikitable"
|-
! Variable !! Eigenschaft !! Name !! Formelzeichen
|-
| qP,qT || sind extensive Variablen || ||
|-
| qP || ist eine Quantitätsgröße || Primärgröße || X
|-
| qT || ist '''keine''' Quantitätsgröße || Extensum || Ex
|}

===Quantitäts- und Intensitätsgrößen===

Innerhalb einer physikalischen Domäne lassen sich immer genau vier Systemvariablen bilden, zwei Quantitätsgrößen und zwei Intensitätsgrößen. Ausgehend von der Primärgröße können die drei restlichen Systemvariablen eindeutig mathematisch abgeleitet werden.

Ihre messtechnische Eigenschaft wird dabei durch ihren jeweiligen Index charakterisiert. 

'''P''' – für ''durch'' (von lat. per, engl. through) 

'''T''' – für ''über'' (von lat. trans, engl. across)
{| class="wikitable left"
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! Formelzeichen !! Gleichung !! Eigenschaft !! Ernergievariable !! Variable
|-
| 1 || Primärgröße || X || - || P-Quantität || qP ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || [[Datei:Gl 7.svg|center]] || T-Intensität || iT || Y
|-
| 3 || Flussgröße || IX || [[Datei:Gl 8.svg|center]] || P-Intensität || iP || IX
|-
| 4 || Extensum || Ex || [[Datei:Gl 9.svg|center]] || T-Quantität || qT ||
|}

Übersicht über den mathematischen Zusammenhang der Systemvariablen

[[Datei:GME Abb 1.png||mini|zentriert|ohne]]

===Beispiele===
Die zugegeben doch etwas theoretische Abhandlung lässt sich anhand einer Beispiele sehr einfach nachvollziehen.
 

'''Beispiel 1:''' Mechanik Translationsbewegung
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Mechanik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || Impuls || p || [[Datei:Gl 10.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || Geschwindigkeit || v || [[Datei:Gl 11.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 14.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || Kraft || F || [[Datei:Gl 12.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 15.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || Weg || s|| [[Datei:Gl 13.svg|ohne]] ||
|}
Anmerkungen 

# Energie, welche auf mechanischem Wege erzeugt wird, wird auch als Arbeit bezeichnet.
# Integriert man nach dp, so erhält man die bekannte Form der kinetischen Energie. WP=(m/2)v2
 
 

'''Beispiel 2:''' Elektrotechnik
 

{| class="wikitable"
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
! style="width:15%"|
! style="width:8%"|
|-
! Schritt !! Systemvariable !! !! Elektrotechnik !! !! Zusammenhang !! Energie
|-
| 1 || Primärgröße || X || el. Ladung || Qel || [[Datei:Gl 16.svg|ohne]] ||
|-
| 2 || Differenzgröße || Y || el. Spannung || Uel || [[Datei:Gl 17.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 20.svg|ohne]]
|-
| 3 || Flussgröße || IX || el. Strom || Iel || [[Datei:Gl 18.svg|ohne]] || [[Datei:Gl 21.svg|ohne]]
|-
| 4 || Extensum || Ex || mag. Fluss || Φel || [[Datei:Gl 19.svg|ohne]] ||
|}

Anmerkungen 

# Schritt 2 entspricht dem Induktionsgesetz bzw. die Energie in einer Induktivität.
# Schritt 3 berechnet die Energie im Kondensator.

=== Konstitutiven Gesetze ===

Die konstitutiven Gesetze verknüpfen die vier Systemvariablen jeweils wechselseitig miteinander. Dabei ergeben sich zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiespeicherung beschreiben und zwei Gleichungen, welche den Vorgang der Energiedissipation beschreiben. Geht man von der Modellvorstellung der idealen konzentrierten Ersatzelemente aus, so lassen sich die vier konstitutiven Gleichungen jeweils einem einzigen Bauelement zuordnen. Für rein lineare Bauelementebeziehungen ergibt sich der folgende Zusammenhang:

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Gleichung !! Bauelement !! Eigenschaft
|-
| kapazitives Gesetz || [[Datei:Gl 22.svg]] || allgemeine Kapazität || Energiespeicher
|-
| induktives Gesetz || [[Datei:Gl 23.svg]] || allgemeine Induktivität || Energiespeicher
|-
| resistives Gesetz || [[Datei:Gl 24.svg]] || allgemeiner Widerstand || Energiedissipation
|-
| memristives Gesetz || [[Datei:Gl 25.svg]] || allgemeiner Memristor || Energiedissipation
|}

Für nichtlineare Kopplungen der Systemvariablen schreiben wir den entsprechenden Differentialquotienten. Im Allgemeinen wird der Differentialquotient aus einer Quantitätsgröße und einer Intensitätsgröße Suszeptibilität genannt. Kapazitäten und Induktivitäten sind im übergeordneten Sinne Suszeptibilitäten.

=== Bedeutung des Memristors ===

Der Memristor ist formal als Quotient der beiden Quantitätsgrößen Extensum und Primärgröße definiert. Um die physikalische Bedeutung des Memristors zu verstehen, rufen wir uns nochmals die Bildungsgesetze in Erinnerung. Die Wahl der Primärgröße X bestimmt vollständig alle weiteren Größen einer Domäne. Um innerhalb dieser Domäne alle Basisgrößen zu finden, ist es also nur notwendig, die Primärgröße und die jeweiligen Energien zu kennen. Potentialdifferenz, Mengenstrom und Extensum können über ihre festen mathematischen Ableitungen eindeutig gebildet werden. Somit sind zwei der vier Basisgrößen ausreichend, um auch eindeutig alle Netzwerkbauelemente (zwei Speichergrößen, eine dissipative Größe) zu bestimmen. 
Historisch (nicht nur aus messtechnischen Gründen) haben sich dabei die beiden Intensitätsgrößen
IX und Y etabliert. Werden nur diese beiden Variablen in der Netzwerkdarstellung verwendet, so sind ihre Speicherelemente integrale Größen.
[[Datei:Gl 26.svg|zentriert]]
Oft sind jedoch ausschließlich lineare algebraische Beziehungen für weitere Berechnungen vorteilhafter. In diesem Fall sind die beiden Variablen Ex und X für die Darstellung der Speicherelemente günstiger.
[[Datei:Gl 27.svg|zentriert]]
Wie wir erkennen, sind die beiden Gleichungen für die Speichergröße gerade die Definitionsgleichungen dieser Speichergrößen. Zusätzlich wird aus dem Widerstand der Memristor.
Da dieser für den linearen Fall jedoch mit dem Widerstand äquivalent ist, hat das Widerstandsäquivalent Memristor bisher keine große Verbreitung gefunden. Der Vollständigkeit halber gehört der Memristor jedoch zur Energieflussdarstellung.

=== Zusammenfassung ===

Die Ableitung der vier Systemvariablen innerhalb einer physikalischen Domäne erfolgt anhand einer einheitlichen Bildungsvorschrift. Konstitutive Gesetze beschreiben die Darstellung von zwei Speicherelementen und einem dissipativen Element. Diese Bauelemente können als ideale konzentrierte Ersatzelemente aufgefasst werden. Wir nennen sie Induktivität, Kapazität und Widerstand.
 
Eine komplette Übersicht des bisherigen Inhaltes zeigt die die folgende Abbildung. Sie kann auch hier als PDF geladen werden.
* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]

[[Datei:GME Abb 2.png|mini||500px|zentriert]]

== Physikalische Teilsysteme ==

In diesem Abschnitt werden mechatronischen Zweitore sowie ihre Anwendung im Simulationssystem behandelt. Im Allgemeinen wird es sich sogar um lineare Eintore handeln. Bei Besonderheiten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten oder Modellen mit tatsächlichem Zweitorcharakter, wird gesondert darauf hingewiesen. Die Bedienung und Arbeitsweise der Simulationsumgebung LTSpice wird dabei weitgehend vorausgesetzt. Nur dort, wo es explizit notwendig erscheint, werden spezielle Hinweise für die Bedienung gegeben.

Alle hier in diesem Abschnitt verwendeten Modelle und Symbole sind der Bibliothek Mechatronik.lib zu finden. Weiterhin gibt es ein Tutorial zum Einsatz und zur Anwendung der einzelnen Baudelemente. Ausführliche und detaillierte Aufgabenstellungen und Problemlösungen können in der entsprechenden Literatur <ref> Jörg Grabow: ''Mechatronische Netzwerke: Praxis und Anwendungen (De Gruyter Studium).'' De Gruyter Oldenbourg 2018, ISBN-13: 978-3110470840 </ref>nachgelesen werden.

* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

=== Mechanik - Translation ===

==== träge Masse - Kapazität ====
Das ideale mechanische Bauelement ''träge Masse'' speichert als ideale Kapazität nur P-Energie. Da die Kapazität selbst keine dissipativen Eigenschaften besitzt, beinhaltet sie auch keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung.
{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || träge Masse || Cm || mT || kg
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 

Die träge Masse ist im Allgemeinen kein erdfreies Bauelement. Das bedeutet, dass alle in einem mechatronischen Netzwerk vorhandenen Massen in einem Punkt verbunden sind. Dieser Punkt hat immer die Geschwindigkeit null.

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:c_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:c_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || C_m_p || Mechatronik.lib
|}
 

==== Nachgiebigkeit - Induktivität ====
Die mechanische Steifigkeit ist eine physikalische Größe, die eng mit der höheren Festigkeitslehre verknüpft ist. Sie lässt sich im Allgemeinen nicht durch eine einfache Gleichung beschreiben. Vielmehr ist sie ein Maß dafür, wie ein Körper auf äußere Beanspruchungen mit elastischen Verformungen reagiert. Somit hängt die Steifigkeit eines mechanischen Bauteils nicht nur von den elastischen Eigenschaften des Werkstoffes ab, sondern auch stark von der Geometrie des Bauteils.
Der '''''Kehrwert''''' der absoluten Steifigkeit wird auch '''''Nachgiebigkeit''''' genannt. Im allgemeinen Belastungsfall ist eine einfache Trennung der Steifigkeit nach den Belastungsarten jedoch nicht mehr möglich. Die zu ermittelnden Steifigkeiten bilden dann einen Steifigkeitstensor. Um mittels mechatronischer Netzwerke dennoch eine Simulation durchführen zu können, wird ein stark vereinfachtes Bauelement, die mechanische Induktivität, eingeführt. Das ideale mechanische Bauelement Steifigkeit ist eine absolute Größe und speichert nur T-Energie. Da Reibungseigenschaften und Materialdämpfungen unberücksichtigt bleiben, beinhaltet die Steifigkeit keine Leistungsverluste in Form von Prozessleistung. Der linearelastische Zusammenhang gilt immer nur in einer Bewegungsrichtung. Kopplungen, die durch räumliche Verzerrungen auftreten, werden nicht berücksichtigt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Nachgiebigkeit || Lm || n || m/N
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Nachgiebigkeit, der Steifigkeit gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Steifigkeit ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:l_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:l_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || L_m_p || Mechatronik.lib
|}

 

==== Dämpfung - Widerstand ====
Unter einem mechanischen Widerstand verstehen wir ein passives, rein dissipatives Bauelement. Die Dissipation ist dabei ein Prozess, bei dem Energie zerstreut und in Entropie umgewandelt wird. In der Mechanik spricht man auch von Dämpfung. Dämpfungsursachen können dabei sehr vielfältig sein und sowohl auf makroskopischen als auch auf mikroskopischen Effekten beruhen. Makroskopische Effekte sind zum Beispiel eine äußere Reibung oder Strömungen zwischen Festkörpern. Mikroskopische Effekte beschreiben das Materialverhalten in Form von innerer Reibung oder Plastizität.
Neben dem Hook'schen Gesetz beobachten wir bei vielen Materialien auch ein Verhalten, das als Newton'sche Flüssigkeit bezeichnet wird. Die Spannungen verhalten sich hierbei proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Genau dieses Verhalten entspricht dem geforderten dissipativen Prozess für einen Widerstand.
Das ideale Bauelement Widerstand (Dämpfung) ist nur eine Komponente der Materialeigenschaften mechanischer Systeme. Da dabei die elastischen Eigenschaften vernachlässigt werden, beinhaltet die Komponente Dämpfung keinerlei Energiespeicher. Vielmehr wird die dissipative Energie vollständig in Entropie gewandelt.

{| class="wikitable"
|-
! Beschreibung !! Größe !! Variable !! Formelzeichen !! Einheit
|-
| Bauelement || Dämpfung || Rm || d || m/Ns
|-
| Flussgröße || Kraft || IX || F || N
|-
| Differenzgröße || Geschwindigkeit || Y || v || m/s
|}

'''Anmerkung''' 
In der Mechanik und im Maschinenbau wird häufig mit der inversen Dämpfung, der Dämpfungskonstante k gearbeitet. Das Bibliothekselement bildet deshalb die Dämpfungskonstante k ab. 

{| class="wikitable"
|-
| Symbol || mechanisch|| [[Datei:r_m_p_a.png]]
|-
| Symbol|| allgemein || [[Datei:r_m_p_b.png]]
|-
| LTSpice || R_m_p || Mechatronik.lib
|}
 
===Übungsaufgabe===
Ein Fahrzeug mit der Masse mA = 1500 kg fährt mit einer Geschwindigkeit vA = 100 km/h über eine wellige Straße. Wie groß ist die senkrecht zur Straße wirkende Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges?
[[Datei:Bsp 2 1 a.png|center|Fahrzeug auf welliger Fahrbahn]]

 
'''Analysemodell''' 
Im Modell wird die Fahrzeugmasse als starrer Körper angenommen. Alle vier Federbeine, bestehend aus Stoßdämpfer und Feder, werden als Kelvinkörper zusammengefasst. Die Räder selbst sind masselos. Die Welligkeit der Straße wirkt sich als Erregergröße sowohl auf die Feder als auch auf den Dämpfer aus.
[[Datei:Bsp 2 1 b.png|mini|zentriert|Analysemodell]]

 
'''Lösung''' 
Analytisch könnte die zugehörige Differentialgleichung über den Impulssatz aufgestellt und analytisch gelöst werden.
[[Datei:Gl 2 1 a.svg|zentriert]]
Dieser Weg soll hier jedoch nicht verwendet werden. Vielmehr lösen wir die Aufgabenstellung mittels der zuvor eingeführten Bauelemente.
Die Feder (Induktivität) wird mit dem Dämpfer (Widerstand) parallelgeschaltet (Kelvin Körper). An einem Knoten ist die Fahrzeugmasse als starrer Körper befestigt. Der zweite Bezugspunkt des starren Körpers liegt auf Masse. Die Bodenbewegung durch die Welligkeit der Straße kann zunächst als Wegerregung mit einer maximalen Wegamplitude und einer Erregerfrequenz interpretiert werden. Diese greift direkt an der Feder an (wegproportionale Federkraft). Da die Dämpferkraft selbst geschwindigkeitsproportional ist, muss die Wegerregung einmal differenziert werden um als Geschwindigkeitserregung am Dämpfer zu wirken. Im Simulationsmodell schwingt die Masse nun mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Spannung entspricht der Schwinggeschwindigkeit). Da jedoch nach der Schwingbeschleunigung des Fahrzeuges gefragt ist, muss die Schwinggeschwindigkeit nochmals differenziert werden. 
[[Datei:Bsp 2 1 LT a.wmf|mini|zentriert|600px|Simulationsmodel in LTspice]]
 
* [[Media:bsp_2_1.zip|Simulationsdatei für LTspice]]
* [[Media:bsp_2_1.pdf|Berechnung der Parameter]]

== Nachricht an den Autor: ==
[http://www.mikrocontroller.net/user/show/feinmechaniker Feinmechaniker]

== Downloads ==

* [[Media:gme_1.pdf|Multi-Domän-Systeme auf einen Blick]]
* [[Media:gme_lib.zip|LTSpice Bibliothek Mechatronik.LIB]]
* [[Media:gme_doc.pdf|Tutorial zur Mechatronik.LIB]]

== Links ==
[http://www.amesys.de/?Download___Mechatronische_Netzwerke Übungsaufgaben & Simulationsdateien]

=Quellen=

[[Kategorie:Grundlagen|Grundlagen]]