Mikrocontroller.net - Benutzerbeiträge [de]

Dezibel

2023-05-31T19:59:58Z

Mag: /* Pseudoeinheit oder Pegel */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z. B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel naheliegende Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z. B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z. B. 50Ω bei Laborgeräten oder 75Ω im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z. B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50Ω Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50Ω. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. einen Buchstaben, der an "dB" angehängt wird, ausgedrückt. So bezeichnet z. B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable" style="width:16em; text-align:center"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z. B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable" style="width:16em; text-align:center"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z. B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal (engl. carrier). In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable" style="width:30em"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! style="width:20em" | Bezugswert
! Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || style="text-align:center" | dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || style="text-align:center" | dBi
|-
| Grösster digital darstellbarer Wert || style="text-align:center" | dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis gebildet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Quadrat proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert.

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Division innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-15T21:00:49Z

Mag: /* Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel naheliegende Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal (engl. carrier). In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digital darstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

(Abschnitt mit Änderungen wieder eingefügt. Begründung: siehe Diskussionsseite)

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis gebildet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Quadrat proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert.

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Division innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-15T20:59:09Z

Mag: /* Verstärkung und Dämpfung */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel naheliegende Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal (engl. carrier). In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digital darstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

(Abschnitt mit Änderungen wieder eingefügt. Begründung: siehe Diskussionsseite)

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis gebildet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Quadrat proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert.

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T23:15:24Z

Mag: /* Faktor 10 oder 20? */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal (engl. carrier). In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digital darstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

(Abschnitt mit Änderungen wieder eingefügt. Begründung: siehe Diskussionsseite)

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis gebildet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Quadrat proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert.

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T22:13:03Z

Mag: /* Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal (engl. carrier). In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digital darstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

(Abschnitt mit Änderungen wieder eingefügt. Begründung: siehe Diskussionsseite)

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis gebildet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert.

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T22:10:33Z

Mag: /* Faktor 10 oder 20? */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal (engl. carrier). In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digital darstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

(Abschnitt mit Änderungen wieder eingefügt. Begründung: siehe Diskussionsseite)

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis gebildet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T22:04:15Z

Mag: /* Andere Grössen */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal (engl. carrier). In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digital darstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

(Abschnitt mit Änderungen wieder eingefügt. Begründung: siehe Diskussionsseite)

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T22:03:35Z

Mag: /* Andere Grössen */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal (engl. carrier). In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

(Abschnitt mit Änderungen wieder eingefügt. Begründung: siehe Diskussionsseite)

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T22:01:34Z

Mag: /* Faktor 10 oder 20? */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

(Abschnitt mit Änderungen wieder eingefügt. Begründung: siehe Diskussionsseite)

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Diskussion:Dezibel

2009-09-09T21:58:41Z

Mag:

== Bearbeitungsstand ==

Das Wesentliche kommt jetzt glaub vor im Artikel.
Fehlerbereinigung ist sicher noch nötig.

== Abschnitt: "Faktor 10 oder 20?" ==

Ich habe diesen Abschnitt, der zwischenzeitlich mal gelöscht worden ist, mit gewissen Änderungen wieder aufgenommen. Ich denke, dass dieses Problem, am meisten Fragen aufwirft. Es war schliesslich auch der Anlass zu diesem Artikel. Deshalb soll dieses Problem nochmals an einer Stelle kurz zusammengefasst werden.

Dezibel

2009-09-09T21:52:48Z

Mag: /* Pseudoeinheit oder Pegel */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T21:52:15Z

Mag: /* Faktor 10 oder 20? */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T21:51:48Z

Mag:

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist.
Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T21:49:37Z

Mag: /* Faktor 10 oder 20? */

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist.
Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T21:47:31Z

Mag:

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht fuer einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:

* Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
* Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten mit einem Bezugswert, dessen Wurzel proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T21:40:46Z

Mag:

Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T21:37:45Z

Mag: /* Verstärkung und Dämpfung */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern ===

Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ

57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann '''''un''abhängig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T21:30:11Z

Mag: /* Pseudoeinheit oder Pegel */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Grössen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Trägersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Grösster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T12:59:30Z

Mag: /* Weblinks */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Groesse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Groesse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrueckt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Gutes kurzes Tutorium von U. Siart (PDF)]
* [http://www2.rohde-schwarz.com/file_6407/1MA98_4D.pdf Ausführliche Beschreibung von Rohde & Schwarz (PDF)]

* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt von Mini-Circuits (PDF)]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T12:50:00Z

Mag:

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Groesse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Groesse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrueckt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

[[Category:Grundlagen]]
[[Category:Funk]]

Dezibel

2009-09-09T10:02:35Z

Mag: /* Spannung */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Groesse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Groesse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrueckt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-09T10:02:10Z

Mag: /* Spannung */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Groesse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Groesse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben):

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrueckt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-09T09:49:51Z

Mag: /* Pseudoeinheit */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit oder Pegel==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Groesse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Groesse heisst Spannungspegel, Formelzeichen <math>L_U</math> oder <math>L_V</math>.

Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben):

Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrueckt werden:

<math>L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 mV}{1 \mu V} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mu V}{1 \mu V} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60</math>

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-09T09:04:22Z

Mag: /* Leistung */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.

Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehängt wird ausgedrückt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

=== Leistung ===

Eine solche Groesse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen <math>L_P</math>.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:49:52Z

Mag: /* Andere Groessen */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:47:18Z

Mag: /* Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:43:40Z

Mag: /* Andere Groessen */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:42:52Z

Mag: /* Berechnung aus dem Spannungsverhältnis */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor (<math>\sqrt{2}</math> bei sinusfoermigen Signalen) herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:41:52Z

Mag: /* Berechnung aus dem Spannungsverhältnis */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:40:45Z

Mag: /* Andere Groessen */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:40:18Z

Mag: /* Anwendungen */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia)

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:39:35Z

Mag: /* Andere Groessen */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

=== Anwendungen ===

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebraeuchlich. Sie drueckt die Signalhoehe relativ zum hoechsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

Daneben existieren noch unzaehlige mehr oder weniger gebraeuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia)

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:34:07Z

Mag: /* Pseudoeinheit */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

=== Anwendungen ===

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

=== Andere Groessen ===

Pseudoeinheiten mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z.B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Traegersignal. In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.

{| class="wikitable"
|+ '''Weitere Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| Traegersignalleistung || dBC
|-
| Isotrop strahlende Antenne || dBi
|-
| Groesster digitaldarstellbarer Wert || dBFS
|}

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:26:16Z

Mag: /* Pseudoeinheit */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

=== Anwendungen ===

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

=== Leistung ===

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Leistungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 W || dBW
|}

=== Spannung ===

Neben Leistungen koennen auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Die in der einleitenden Definition vorkommende Groesse <math>A_1</math> ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).

In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.

{| class="wikitable"
|+ '''Spannungsbezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 µV || dBµ
|-
| 1 mV || dBmV
|-
| 1 V || dBV
|}

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:12:04Z

Mag: /* Pseudoeinheit */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

=== Anwendungen ===

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. ein Buchstaben, der an "dB" angehaengt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>V || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

Bei Spannungen ("dBu") oder anderen Bezugsgrößen die proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben). In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T14:06:37Z

Mag: /* Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme.

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100\,\mathrm{W}</math>.
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100\,\mathrm{W}</math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1\,\mathrm{W}</math>

<math>g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechnung aus dem Spannungsverhältnis ===

Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeräten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:

<math> g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

=== Anwendungen ===

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>V || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

Bei Spannungen ("dBu") oder anderen Bezugsgrößen die proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben). In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

== Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b\cdot\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T09:13:21Z

Mag: /* Weblinks */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudöinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Värhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechung aus dem Spannungsverhaeltnis ===

Die Leistung eines Signals haengt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingans- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeraeten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhaeltnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich weg:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 * \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}}</math>

Gemaess den mathematischen Eigenschaften des Logarithmus (siehe unten) kann nun der Exponent 2 als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}} = 10 * 2 * \log{\frac{U_2}{U_1}} = 20 * \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durch gerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Vergleich von Spannungen ==

Ein immer wiederkehrendes Problem ist die Frage: "10 * log ... oder 20 * log ...?". Warum überhaupt 20?

Oft wird eine Verstärkung aus zwei gemessenen Spannungen berechnet. Da sich dB-Angaben grundsätzlich auf Leistungen beziehen, muss beim Vergleich von Spannungen auf die entsprechende Leistung umgerechnet werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \log{\frac{\mathbf{R} \cdot U_2^\mathbf{2}}{\mathbf{R} \cdot U_1^\mathbf{2}}} = 10 \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Der (fiktive) Widerstand R kürzt sich heraus, die Quadrierung entspricht einem Faktor 2 vor dem Logarithmus, somit bleibt die bekannte Formel mit der 20 übrig.

Ob (wie in obiger Formel) mit Effektivwerten oder Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{1000 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log1000 = 10 * 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{0.01 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>V || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

Bei "dBu" und anderen Größen die keine Energien oder Leistungen sind, muss man darauf achten statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben). In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine haeufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsaetzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht fuer einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhaeltnis aus einem Spannungsverhaeltnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Faellen auf:
* Berechnung des Gewinns oder Verlusts eines Zweitors aus dem Spannungsverhaeltnis
* Rechnung mit Spannungspegeln, also Pseudoeinheiten mit einer Spannung als Bezugswert, z.B. dB<math>\mu</math>

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a*b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b*\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://www.aubraux.com/design/rf-calculator.php Web-Umrechner]
* [http://www.temcom.com/pages/dBCalc_en.html Noch ein Web-Umrechner]

Dezibel

2009-09-08T09:10:35Z

Mag: /* Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudöinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Värhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechung aus dem Spannungsverhaeltnis ===

Die Leistung eines Signals haengt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingans- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeraeten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhaeltnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich weg:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 * \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}}</math>

Gemaess den mathematischen Eigenschaften des Logarithmus (siehe unten) kann nun der Exponent 2 als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}} = 10 * 2 * \log{\frac{U_2}{U_1}} = 20 * \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z.B. dB<math>\mu</math>) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der '''gleiche''' Gewinn (oder Verlust) addiert.

Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durch gerechnet sieht so aus:
Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dB<math>\mu</math> bei 50 Ohm Impedanzniveau.

Das Ausgangssignal ist also: 40 dB<math>\mu</math> + 17 dB = 57 dB<math>\mu</math>

57 dB<math>\mu</math> entsprechen 27 dBm bei 50 Ohm

'''Wichtig''': Die Angabe eines Gewinns- oder einer Daempfung in dB kann '''''un''abhaengig''' davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!

== Vergleich von Spannungen ==

Ein immer wiederkehrendes Problem ist die Frage: "10 * log ... oder 20 * log ...?". Warum überhaupt 20?

Oft wird eine Verstärkung aus zwei gemessenen Spannungen berechnet. Da sich dB-Angaben grundsätzlich auf Leistungen beziehen, muss beim Vergleich von Spannungen auf die entsprechende Leistung umgerechnet werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \log{\frac{\mathbf{R} \cdot U_2^\mathbf{2}}{\mathbf{R} \cdot U_1^\mathbf{2}}} = 10 \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Der (fiktive) Widerstand R kürzt sich heraus, die Quadrierung entspricht einem Faktor 2 vor dem Logarithmus, somit bleibt die bekannte Formel mit der 20 übrig.

Ob (wie in obiger Formel) mit Effektivwerten oder Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{1000 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log1000 = 10 * 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{0.01 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>V || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

Bei "dBu" und anderen Größen die keine Energien oder Leistungen sind, muss man darauf achten statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben). In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine haeufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsaetzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht fuer einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhaeltnis aus einem Spannungsverhaeltnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Faellen auf:
* Berechnung des Gewinns oder Verlusts eines Zweitors aus dem Spannungsverhaeltnis
* Rechnung mit Spannungspegeln, also Pseudoeinheiten mit einer Spannung als Bezugswert, z.B. dB<math>\mu</math>

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a*b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b*\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

Dezibel

2009-09-08T08:56:06Z

Mag: /* Berechung aus dem Spannungsverhaeltnis */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudöinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Värhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechung aus dem Spannungsverhaeltnis ===

Die Leistung eines Signals haengt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingans- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeraeten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhaeltnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich weg:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 * \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}}</math>

Gemaess den mathematischen Eigenschaften des Logarithmus (siehe unten) kann nun der Exponent 2 als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}} = 10 * 2 * \log{\frac{U_2}{U_1}} = 20 * \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

=== Hintereinanderschaltung von Verstaerkern und/oder Abschwaechern ===

Werden mehrere Verstaerker oder Abschwaecher hintereinander geschaltet, so werden deren Verstaerkungsfaktoren (als Zahlen, ''nicht in dB'') multipliziert um die gesamte Verstaerkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstaerkern und/oder Abschwaechern '''in dB''' addiert werden.

Bsp.: An den Ausgang eines Verstaerkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Daempfungsglied mit 3 dB Abschwaechung (das Minuszeichen ist hier wie ueblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstaerkung der Schaltung?
Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB

Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstaerkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.

Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignal?
Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm

== Vergleich von Spannungen ==

Ein immer wiederkehrendes Problem ist die Frage: "10 * log ... oder 20 * log ...?". Warum überhaupt 20?

Oft wird eine Verstärkung aus zwei gemessenen Spannungen berechnet. Da sich dB-Angaben grundsätzlich auf Leistungen beziehen, muss beim Vergleich von Spannungen auf die entsprechende Leistung umgerechnet werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \log{\frac{\mathbf{R} \cdot U_2^\mathbf{2}}{\mathbf{R} \cdot U_1^\mathbf{2}}} = 10 \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Der (fiktive) Widerstand R kürzt sich heraus, die Quadrierung entspricht einem Faktor 2 vor dem Logarithmus, somit bleibt die bekannte Formel mit der 20 übrig.

Ob (wie in obiger Formel) mit Effektivwerten oder Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{1000 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log1000 = 10 * 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{0.01 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>V || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

Bei "dBu" und anderen Größen die keine Energien oder Leistungen sind, muss man darauf achten statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben). In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine haeufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsaetzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht fuer einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhaeltnis aus einem Spannungsverhaeltnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Faellen auf:
* Berechnung des Gewinns oder Verlusts eines Zweitors aus dem Spannungsverhaeltnis
* Rechnung mit Spannungspegeln, also Pseudoeinheiten mit einer Spannung als Bezugswert, z.B. dB<math>\mu</math>

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a*b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b*\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

Dezibel

2009-09-07T16:09:49Z

Mag: /* Weblinks */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudöinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Värhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechung aus dem Spannungsverhaeltnis ===

Die Leistung eines Signals haengt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingans- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeraeten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhaeltnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich weg:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 * \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}}</math>

Gemaess den mathematischen Eigenschaften des Logarithmus (siehe unten) kann nun der Exponent 2 als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}} = 10 * 2 * \log{\frac{U_2}{U_1}} = 20 * \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

== Vergleich von Spannungen ==

Ein immer wiederkehrendes Problem ist die Frage: "10 * log ... oder 20 * log ...?". Warum überhaupt 20?

Oft wird eine Verstärkung aus zwei gemessenen Spannungen berechnet. Da sich dB-Angaben grundsätzlich auf Leistungen beziehen, muss beim Vergleich von Spannungen auf die entsprechende Leistung umgerechnet werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \log{\frac{\mathbf{R} \cdot U_2^\mathbf{2}}{\mathbf{R} \cdot U_1^\mathbf{2}}} = 10 \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Der (fiktive) Widerstand R kürzt sich heraus, die Quadrierung entspricht einem Faktor 2 vor dem Logarithmus, somit bleibt die bekannte Formel mit der 20 übrig.

Ob (wie in obiger Formel) mit Effektivwerten oder Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{1000 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log1000 = 10 * 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{0.01 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>V || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

Bei "dBu" und anderen Größen die keine Energien oder Leistungen sind, muss man darauf achten statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben). In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine haeufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsaetzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht fuer einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhaeltnis aus einem Spannungsverhaeltnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Faellen auf:
* Berechnung des Gewinns oder Verlusts eines Zweitors aus dem Spannungsverhaeltnis
* Rechnung mit Spannungspegeln, also Pseudoeinheiten mit einer Spannung als Bezugswert, z.B. dB<math>\mu</math>

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a*b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b*\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Bel_(Einheit) Wikipedia deutsch]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia englisch]

Dezibel

2009-09-07T16:05:16Z

Mag: /* Mathematische Eigenschaften des Logarithmus */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudöinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt häufig für Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen ==

Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Värhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.

Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Grössen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstärkung und Dämpfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!

=== Berechung aus dem Spannungsverhaeltnis ===

Die Leistung eines Signals haengt mit dessen Spannung ueber die Beziehung <math>P=U^2 / R</math> zusammen. Bei '''gleicher Eingans- und Ausgangsimpedanz''' (z.B. 50 Ohm bei Laborgeraeten oder 75 Ohm im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhaeltnis berechnet werden. Die Impedanz <math>R</math> kuerzt sich weg:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 * \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}}</math>

Gemaess den mathematischen Eigenschaften des Logarithmus (siehe unten) kann nun der Exponent 2 als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{U_2^2}{U_1^2}} = 10 * 2 * \log{\frac{U_2}{U_1}} = 20 * \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

== Vergleich von Spannungen ==

Ein immer wiederkehrendes Problem ist die Frage: "10 * log ... oder 20 * log ...?". Warum überhaupt 20?

Oft wird eine Verstärkung aus zwei gemessenen Spannungen berechnet. Da sich dB-Angaben grundsätzlich auf Leistungen beziehen, muss beim Vergleich von Spannungen auf die entsprechende Leistung umgerechnet werden:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \log{\frac{\mathbf{R} \cdot U_2^\mathbf{2}}{\mathbf{R} \cdot U_1^\mathbf{2}}} = 10 \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \log{\frac{U_2}{U_1}}</math>

Der (fiktive) Widerstand R kürzt sich heraus, die Quadrierung entspricht einem Faktor 2 vor dem Logarithmus, somit bleibt die bekannte Formel mit der 20 übrig.

Ob (wie in obiger Formel) mit Effektivwerten oder Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor <math>\sqrt{2}</math> herauskürzt.

Auch in der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] wird dB häufig verwendet um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt.

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Grösse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{1000 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log1000 = 10 * 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{0.01 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>V || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

Bei "dBu" und anderen Größen die keine Energien oder Leistungen sind, muss man darauf achten statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben). In diesem Fall kann man eine Angabe von z.B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?

== Faktor 10 oder 20? ==

Eine haeufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.

Grundsaetzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht fuer einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhaeltnis aus einem Spannungsverhaeltnis abgeleitet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.

In der Praxis tritt dies in folgenden Faellen auf:
* Berechnung des Gewinns oder Verlusts eines Zweitors aus dem Spannungsverhaeltnis
* Rechnung mit Spannungspegeln, also Pseudoeinheiten mit einer Spannung als Bezugswert, z.B. dB<math>\mu</math>

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Lösung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a*b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt für eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einer Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b*\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]

Dezibel

2009-09-07T14:26:04Z

Mag: /* Berechung aus dem Spannungsverhaeltnis */

Dezibel

2009-09-07T14:24:35Z

Mag: /* Berechung aus dem Spannungsverhaeltnis */

Dezibel

2009-09-07T14:23:20Z

Mag: /* Berechung aus dem Spannungsverhaeltnis */

Dezibel

2009-09-07T14:19:14Z

Mag:

Dezibel

2009-09-07T11:42:38Z

Mag: /* Mathematische Eigenschaften des Logarithmus */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhaeltnis zweier Groessen angibt. Darueber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewaehlten Bezugsgroesse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt haeufig fuer Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhaeltnisses zweier Groessen ==

Grundsaetzlich ist das Dezibel eine Angabe fuer den 10er-Logarithmus des Verhaeltnisses zweier Groessen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsaetzlich nur fuer eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Vaerhaeltnis zweier Groessen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkuerzt.

Die Angabe des Verhaeltnisses der beiden Groessen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drueckt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel fuer sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Groessen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> koennen beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstaerkung und Daempfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhaeltnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstaerkers oder eines Daempfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstaerkers ist, so wird dessen Verstaerkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhaeltnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhaeltnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Daempfung (z.B eines Daempfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemaess der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings haeufig weggelassen, da die Bezeichnung Daempfung bereits klar ausdrueckt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstaerkung- oder Deampfung in dB ist grundsaetzlich '''''un''abhaengig''' davom, ob Leistung oder Spannung verglichen wird! (Siehe weiter unten)

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwaehnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Groesse mit Einheit ausgedrueckt werden, indem das Verhaeltnis relativ zu einem festgewaehlten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Groesse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrueckt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{1000 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log1000 = 10 * 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Groesse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{0.01 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebraeuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>W || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsaetzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Loesung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur fuer positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a*b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt fuer eine Division:

<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>

Umgangssprachlich: "Aus einem Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b*\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]

Dezibel

2009-09-07T11:39:39Z

Mag: /* Mathematische Eigenschaften des Logarithmus */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhaeltnis zweier Groessen angibt. Darueber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewaehlten Bezugsgroesse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt haeufig fuer Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhaeltnisses zweier Groessen ==

Grundsaetzlich ist das Dezibel eine Angabe fuer den 10er-Logarithmus des Verhaeltnisses zweier Groessen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsaetzlich nur fuer eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Vaerhaeltnis zweier Groessen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkuerzt.

Die Angabe des Verhaeltnisses der beiden Groessen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drueckt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel fuer sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Groessen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> koennen beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstaerkung und Daempfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhaeltnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstaerkers oder eines Daempfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstaerkers ist, so wird dessen Verstaerkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhaeltnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhaeltnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Daempfung (z.B eines Daempfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemaess der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings haeufig weggelassen, da die Bezeichnung Daempfung bereits klar ausdrueckt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstaerkung- oder Deampfung in dB ist grundsaetzlich '''''un''abhaengig''' davom, ob Leistung oder Spannung verglichen wird! (Siehe weiter unten)

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwaehnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Groesse mit Einheit ausgedrueckt werden, indem das Verhaeltnis relativ zu einem festgewaehlten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Groesse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrueckt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{1000 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log1000 = 10 * 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Groesse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{0.01 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebraeuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>W || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==
Grundsaetzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?

Mathematisch gesprochen ist also <math> x = \log a</math> die Loesung der Gleichung <math>a = 10^x</math>

Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100?
Antwort: 2 (da <math>10^2 = 100</math>)
Also: <math>\log 100 = 2</math>

Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur fuer positive Zahlen definiert

Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 (<math>\log(1) = 0</math>), da gilt: <math>10^0=1</math>

Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:

* <math>\log(a*b)=\log(a)+\log(b)</math>
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."

Analog gilt fuer eine Division:
<math>\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)</math>
Umgangssprachlich: "Aus einem Divsion innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."

Als Spezialfall davon: <math>\log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a)</math>

* <math>\log(a^b)=b*\log(a)</math>
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]

Dezibel

2009-09-07T11:15:35Z

Mag: /* Pseudoeinheit */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhaeltnis zweier Groessen angibt. Darueber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewaehlten Bezugsgroesse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt haeufig fuer Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhaeltnisses zweier Groessen ==

Grundsaetzlich ist das Dezibel eine Angabe fuer den 10er-Logarithmus des Verhaeltnisses zweier Groessen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsaetzlich nur fuer eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Vaerhaeltnis zweier Groessen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkuerzt.

Die Angabe des Verhaeltnisses der beiden Groessen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drueckt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel fuer sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Groessen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> koennen beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstaerkung und Daempfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhaeltnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstaerkers oder eines Daempfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstaerkers ist, so wird dessen Verstaerkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhaeltnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhaeltnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Daempfung (z.B eines Daempfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemaess der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings haeufig weggelassen, da die Bezeichnung Daempfung bereits klar ausdrueckt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstaerkung- oder Deampfung in dB ist grundsaetzlich '''''un''abhaengig''' davom, ob Leistung oder Spannung verglichen wird! (Siehe weiter unten)

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwaehnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Groesse mit Einheit ausgedrueckt werden, indem das Verhaeltnis relativ zu einem festgewaehlten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Groesse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrueckt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{1000 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log1000 = 10 * 3 = 30 \text{ dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Groesse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{0.01 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebraeuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>W || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]

Dezibel

2009-09-07T11:14:31Z

Mag:

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhaeltnis zweier Groessen angibt. Darueber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewaehlten Bezugsgroesse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt haeufig fuer Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhaeltnisses zweier Groessen ==

Grundsaetzlich ist das Dezibel eine Angabe fuer den 10er-Logarithmus des Verhaeltnisses zweier Groessen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsaetzlich nur fuer eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Vaerhaeltnis zweier Groessen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkuerzt.

Die Angabe des Verhaeltnisses der beiden Groessen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drueckt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel fuer sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Groessen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> koennen beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstaerkung und Daempfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhaeltnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstaerkers oder eines Daempfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstaerkers ist, so wird dessen Verstaerkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhaeltnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhaeltnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Daempfung (z.B eines Daempfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemaess der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings haeufig weggelassen, da die Bezeichnung Daempfung bereits klar ausdrueckt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstaerkung- oder Deampfung in dB ist grundsaetzlich '''''un''abhaengig''' davom, ob Leistung oder Spannung verglichen wird! (Siehe weiter unten)

== Pseudoeinheit ==

Wie oben erwaehnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Groesse mit Einheit ausgedrueckt werden, indem das Verhaeltnis relativ zu einem festgewaehlten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Groesse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrueckt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{1000 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log1000 = 10 * 3 = 30 \text{dBm} </math>

Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Groesse kleiner als der Bezugswert ist:

Bsp. 0.01 mW in dBm

<math> L_{dBm} = 10 * \log{\frac{0.01 \text{ mW}}{1 \text{ mW}}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{dBm} </math>

Folgende Bezugswerte sind gebraeuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>W || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]

Dezibel

2009-09-07T11:08:05Z

Mag: /* Pseudoeinheit */

Das Dezibel ist eine Angabe, welche das Verhaeltnis zweier Groessen angibt. Darueber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewaehlten Bezugsgroesse auch als Pseudoeinheit verwendet werden. Die korrekte Verwendung des Dezibel sorgt haeufig fuer Probleme

== Definition: Logarithmus eines Verhaeltnisses zweier Groessen ==

Grundsaetzlich ist das Dezibel eine Angabe fuer den 10er-Logarithmus des Verhaeltnisses zweier Groessen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsaetzlich nur fuer eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht indem das Vaerhaeltnis zweier Groessen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkuerzt.

Die Angabe des Verhaeltnisses der beiden Groessen <math>A_2</math> und <math>A_1</math> in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:

<math> L = 10 * \log{\frac{A_2}{A_1}} </math>

Der Faktor 10 drueckt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z.B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel fuer sich alleine so gut wie nie verwendet wird.

Die beiden Groessen <math>A_1</math> und <math>A_2</math> koennen beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhaltnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.

==Verstaerkung und Daempfung ==
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel offensichtliche Anwendung ist die Angabe des Verhaeltnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstaerkers oder eines Daempfungsgliedes.

Nehmen wir z.B. an dass <math>A_1 = P_1</math> die Eingangs- und <math>A_2=P_2</math> die Ausgangsleistung eines Verstaerkers ist, so wird dessen Verstaerkung <math>g</math> (engl. gain) gegeben durch:

<math> g = 10 * \log{\frac{P_2}{P_1}} </math>

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 1 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 100 W</math>
Das Verhaeltnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhaeltnisses also 2.

<math>g = 10 * \log{\frac{100 W}{1 W}} = 10 * \log 100 = 10 * 2 = 20 \text{ dB} </math>

Ebenso kann eine Daempfung (z.B eines Daempfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung <math>P_2</math> nun kleiner als die Eingangsleistung <math>P_1</math>, sodass sich gemaess der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.

Bsp.: Eingangsleistung <math>P_1 = 100 W </math>, Ausgangsleistung <math>P_2 = 1 W</math>

<math>g = 10 * \log{\frac{1 W}{100 W}} = 10 * \log 0.01 = 10 * -2 = -20 \text{ dB} </math>

In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings haeufig weggelassen, da die Bezeichnung Daempfung bereits klar ausdrueckt, dass die Leistung abnimmt.

'''Wichtig:''' Die Angabe einer Verstaerkung- oder Deampfung in dB ist grundsaetzlich '''''un''abhaengig''' davom, ob Leistung oder Spannung verglichen wird! (Siehe weiter unten)

== Pseudoeinheit ==
Wie oben erwaehnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Groesse mit Einheit ausgedrueckt werden, indem das Verhaeltnis relativ zu einem festgewaehlten Bezugswert angegeben wird. Konkret wird also die Groesse <math>A_1</math> auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Buchstaben der an "dB" angehaangt wird ausgedreuckt. So bezeichnet z.B. dBm den Bezugswert 1 mW.

Bsp. Die Leistung 0.1 W (= 100 mW) soll als dBm ausgedrueckt werden.
Es ist also in der oben genannten Definition <math>A_1=1\text{ mW}</math>.

Folgende Bezugswerte sind gebraeuchlich:

{| class="wikitable"
|+ '''Dezibel-Bezugswerte'''
|-
! Bezugswert || Zeichen
|-
| 1 mW || dBm
|-
| 1 <math>\mu</math>W || dBu
|-
| 1 W || dBW
|}

== Mathematische Eigenschaften des Logarithmus ==

== Weblinks ==
* [http://www.siart.de/lehre/dezibel.pdf Das Dezibel – Definition und Anwendung]
* [http://www.minicircuits.com/pages/pdfs/DBM-VOLT%20CONV%20TABLE.pdf Umrechnungstabelle dBm Volt Watt]