# Berechnung der Grenzfrequenz des Sallen-Key-Filters 3. Ordnung

(Starten der Berechnung mit Menü "Cell"->"Evaluate All Visible Cells" oder mit Strg+R)

Impedanzen der drei Kondensatoren (w = Kreisfrequenz)

zc1: 1/(%i*w*c1);

zc2: 1/(%i*w*c2);

zc3: 1/(%i*w*c3);

Gleichungen für Knotenpotentialverfahren
ue: Eingangsspannung
u1: Potential oben an C1
u2: Potential oben an C2
ua: Ausgangsspannung und Potential oben an C3

gl1: (ue-u1)/r1 + (0-u1)/zc1 + (u2-u1)/r2 = 0;

gl2: (u1-u2)/r2 + (ua-u2)/zc2 + (ua-u2)/r3 = 0;

gl3: (u2-ua)/r3 + (0-ua)/zc3 = 0;

Lösen des Gleichungssystems nach ua, u1 und u2
- Nur das erste Lösungstripel ist von Interesse (es gibt sowieso nur eins, da das Gleichungssystem linear ist).
- Innerhalb des Lösungstripels ist nur das erste Element (ua) von Interesse.
Deswegen wir die Lösung zweimal mit [1] indiziert.

uebertragungsfunktion: solve([gl1, gl2, gl3], [ua, u1, u2])[1][1];

Berechnung des Amplituenfrequenzgangs
- Dividieren der Formel durch ue (nur das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung ist von Interesse)
- Absolutwertbildung mit cabs
- Ergebnis etwas zusammenfassen mit radcan

amplitudenfrequenzgang: radcan(cabs(uebertragungsfunktion/ue));

Zu Berechnung der Grenzfrequenz muss der rechte Teil dieser Gleichung mit 1/sqrt(2) gleichgesetzt
und das Ganze nach w aufgelöst werden. Maxima tut sich etwas schwer, die dabei entstehende Wurzelgleichung
mit Potenzen bis 6 zu lösen. Machen wir es ihr etwas leichter, indem wir erst einmal nur w2=w² berechnen,
also w durch sqrt(w2) ersetzen. Dadurch ist die höchste Potenz w2³.

zwischenloesung: solve(rhs(amplitudenfrequenzgang)=1/sqrt(2), w2), w=sqrt(w2);

Die obige Liste enthält drei Lösungen für w2. Um zu sehen, welches davon die gesuchte ist,
setzen wir die Werte aus dem Schaltplan ein:

bsp: [r1=15e3, r2=100e3, r3=30e3, c1=10e-9, c2=3.3e-9, c3=1e-9];

Die obige Zwischenlösung mit den Beispielwerten ergibt

zlbsp: expand(zwischenloesung), bsp, numer;

Die ersten beiden Lösungen sind konjugiert komplex, die dritte ist reell.
Von dieser bilden wir die Wurzel, um w zu erhalten und dividieren dieses durch 2π.
Das Ergebnis ist die gesuchte Grezfrequenz:

grenzfrequenz: sqrt(w2) / (2*%pi), zlbsp[3], numer;