Hi Leute,
mein Neffe hat mich gefragt, ob ich ihm erklären kann, wie eine Fourier
- Entwicklung aussieht und mir ein Übugsbeispiel von deren aktuellem
U-Stoff gegeben.
Naja, ich bin anscheinend ziemlich eingerostet (Hoffentlich gehts mit
WD40).
Das Beispiel:
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Fourier-Entwicklung
f(x)=x für -pi < x < pi
und f(x +k*2pi)=f(x)
.) Zeichnen
.) Grundfrequenz
.) Fourier-Koeff.
.) Gleich. mit Grund + Oberschwingung bis n=4
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Kann mir da jemand helfen dieses eine Bsp. zu lösen?
Die anderen sollte ich dann wieder alleine hinbringen.
Ich hoffe nur, dass ich diese dann wieder erklären kann ...
MaxM
Eine Fourier Reihe ist fuer periodische Signale. Ich kann mit einer
Fourier Reihe alle perioischen Funktionen darstellen. Die Fourier Basis
besteht aus allen denkbaren Sin/Cos Moeglichkeiten. Diese Basis wird mit
einem Koeffizienten Vektor multipliziert, der besagt welche Frequenz mit
welchem Anteil dabei ist.
Die Koeffizienten errechnet man mit dem Skalarprodukt : Integral von
minus Unendlich bis Unendlich f(t)* Basis-SinCos(2pi*freq*t) dt fuer
alls Basis-SinCos
Die Grundwelle besteht also nur aus einer Komponente, resp einem SinCos.
Eine periodische Funktion wird mit endlich vielen SinCos approximiert.
Die Fouriertransformation ist was Anderes, und wird benoetigt zur
Darstellung von nicht periodischen signalen, oder endlichen Signalen.
Die Fouriertransformation geht in die Fourier reihe ueber, bei T gegen
unendlich des betrachteten Zeit-Fensters.
Die Angabe definiert nicht, was f(x) für pi<=x<2pi macht. Ansonsten, wo
genau scheitert es? Wenn du nicht mal weißt, wie die Funktion aussehen
soll, wird dir eine Anleitung zur Fourierreihe auch nicht helfen.
gaast schrieb:> Die Angabe definiert nicht, was f(x) für pi<=x<2pi macht.
dafür aber zwischen -pi und +pi, und mit
MaxM schrieb:> und f(x +k*2pi)=f(x)
auch für den Rest
f(x)=x ihr nasen
das ist streng genommen aber leider keine periodische funktion..der
aufgabensteller meinte wohl, die funktion soll überall so aussehen wie
bei (-pi,pi)
ansonsten: das muss er schon selber rausfinden. fourier koeffizienten
rausfinden ist doch nur "in die formel einsetzen". vermutlich sollen die
reellen koeffizienten herausgefunden werden, die formeln hierfür sind:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Allgemeine_Form
a) Es gebe ein Signal das eine bestimmte Zeit dauert. Es braucht nicht
periodisch zu sein (z.B. Rastergrafik, Musikstück) und man will die
Frequenzanteile bestimmen. Hinweis: Bei Grafiken werden alle
Winkelkombinationen untersucht und FOURIER ist nicht das einzige
Verfahren.
b) Man nimmt einen Zeiger (komplexe Zahlen) der Länge 1, der sich mit
einer bestimmten Periode entsprechend Geschwindigkeit entsprechend
Frequenz dreht. Diesen Zeiger kann man mit der EULERschen Identität
(siehe Wikipedia) erzeugen. Das Winkelargument erhöht sich gleichmäßig
mit der Zeit. Der Zeiger hat einen REAL und einen IMAGINARY Anteil.
c) In kleinsten Zeitschritten (weniger ist nicht möglich, da viele
Physik-Größen gequantelt sind) nimmt man nun einen Signalwert (REAL) und
einen gleichzeitigen Zeigerwert (COMPLEX) und multipliziert jedes Glied
der REAL-Klammer (eines) mit jedem Glied der COMPLEX-Klammer (zweie oder
zwo). Das entspricht entfernt einem BOOLschen AND. Die Produkte werden
über den gesamten Zeitraum aufsummiert. Wenn Signal-Frequenz und
Zeigerfrequenz etwa gleich sind, dann wird das REAL-Signal um die
Winkeldifferenz zwischen Zeiger und Signal "gedreht", man erhält also
einen komplexen Amplitudenwert. Das funktioniert aber wohl bei sehr
langen Zeiten und sehr feiner Auflösung nicht mehr, das nun eine absolut
genau passende Frequenz im Signal gesucht wird, die immer schwieriger zu
erzeugen ist. Für alle falschen Frequenzen erhält man anfangs auch
unterschiedlichste Produkte zwischen Signal und Zeiger als Summanden.
Diese sind aber im Winkel (und Vorzeichen) verschieden und ergeben als
"Mittelwert" die Summe NULL.
d) Diesen Vorgang wiederholt man nun aufsteigend für alle Frequenzen des
zu untersuchenden Frequenzbereiches (in kleinster Stückelung). Als
Ergebnis erhält man eine Zeit-Amplitude-Kurve für den REAL- und den
IMAGINARY - Anteil (also "zwei" Ergebnisse).
e) Die Aufsummierung in kleinsten zeitlichen und Frequenz- Schritten
kann man als Zeit-Integral mit Frequenz-Parameter auffassen. Bei
Abtasten ist es eine Reihe und mit dem Integral kann man vorgefertigte
Integrale nutzen und transformieren.
f) Hol dir den DOW-JONES-INDUSTRIAL-AVERAGE von 1900 bis heute aus dem
Internet! Dividieren ihn jedes Jahr durch den aktuellen Goldpreis! Mach
mit EXCEL eine FOURIER-Reihe (OPEN-OFFICE riecht nach kostenloser Arbeit
und bedroht auch deine Existenz)! Suche die 7-jährige Juglar-Welle!
Versuche auch die 40-jährige Kondratieff-Welle zu finden! Das ist wegen
der wenigen Daten etwas schwierig. Vielleicht hilft Logarithmierung der
Ausgangswerte? Denke dran: Kondratieff ist nicht etwa
technologiegetrieben, Banker wissen das. K.~heisst: Eigennütziger
Zyklus, bei dem nicht mehr investiert wird, wenn es zu viele Milliardäre
gibt - sondern es wird gezockt. Warum: Die Zinsen schwinden. So und nun
suche mit Rückwärts-FOURIER dein persönliches Karriere-Maximum!
(Hinweis: Es kommet im Jahre 2030)...
Eine Riesennummer, ja. Bei genauerer Betrachtung nichts anderes, als
eine Frequenzfilterung / Vorbearbeitung. Dass die Eavkuierung der
Frequenzen auch Zeit und Resourcen benötigt, wird damit unterschlagen.
In vielen Bereichen der technischen Apps ist es nämlich so, dass aus
reinen Gründen der Verfügbarkeit der FFT (als building block oder core)
diese reingestopft und anstelle eines intelligenteren oder der APP
angepassteren Filters benutzt wird. Dort könnte zwar der neue ALOG am
Besten greifen, indem man Annahmen über die runtergewichteten Frequenzen
macht, aber dann entsteht eben ein engineering-Problem: Das der
kostenorientierten Entwicklung.
Speziallösungen und optimierte Lösungen sind halt immer sehr akademisch.
Industriell eingesetzt wird schon jetzt nicht längst alles, was bekannt
ist.
Was ich mir vorstellen könnte, wäre eine Art CoreGen, der
Randbedingungen des Problems beschrieben bekommt und die sFFT
entsprechend konfiguriert. Das wird aber noch ein wenig dauern, weil
Xilinx z.B. nicht einmal eine geschachtelte FFT, eine 2D-FFT oder eine
FFT mit beschleunigtem Ein- und Auslesen zur Verfügung stellen kann, wie
sie reihenweise benötigt werden, wie z.B. dieser thread zeigt:
Beitrag "FFT-Berechung abkürzen"
