Hallo,
ich versuche gerade den Fehler von parallelgeschalteten Widerständen zu
berechnen. Der Ansatz wäre die partielle Ableitung um den Fehler zu
berechnen. Das bedeutet ich leite die Formel für den Gesamtwiderstand
für Parallelschaltung jeweils nach dem jeweiligen Widerstand ab und
multipliziere den Term mit dem Fehler des Widerstandes richtig?
Beispiel für 3 Widerstände
1/Rges = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
delta Rges = |-1/R1²|*delta R1 + |-1/R2²|*delta R2 + |-1/R3²|*delta R3,
denn wenn ich beispielsweise 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 nach R3 ableite bleibt
-1/R3² stehen.
Ist mein Ansatz richtig?
Errechne ich dann so den Fehler in Ohm oder in Prozent?
Danke
Oha, Mathe. Bin ich froh, dass ich nicht mehr in die Schule gehen muss.
Ist das eine Übungsaufgabe oder handelt es sich um ein reales Problem?
Ich würd einfach ausreichend genau Widerstände kaufen oder sie notfalls
mittels Trimmpoti abgleichen. Von daher schätze ich mal, dass es eine
dieser gemeinen praxisfernen Hausaufgaben ist, mit der Lehrer ihre
Schüler quälen (müssen).
Häuptling Quechi schrieb:> Errechne ich dann so den Fehler in Ohm oder in Prozent?
Setz doch einfach die Werte mit Einheit ein. Dann siehst du, dass das
Ergebnis in S rauskommt (also in 1/Ohm). Was ja auch so sein muss, da du
hier den Fehler des Gesamtleitwerts (1/Rges) ausrechnest.
Helmut S. schrieb:> Du hast nicht> delta Rges = ... berechnet> sondern> delta 1/Rges = .....
Alles klar. Nur irgendwie ergibt das Ergebnis keinen Sinn.
Angenommen ich habe 2 Widerstände R1 = 1k 2% und R2 = 10k 5%. dann komme
ich auf ein Ergebnis
delta (1/Rges) = |-1/1000²|*0.02 + |-1/10000²|*0.05 = 2.05*10^-8.
Wenn ich daraus den Kehrwert bilde, dann bekomme ich 4.87*10^7, was
einem Fehler von 48 MOhm entsprechen würde.
P.S.: Es ist eine reale Aufgabe, keine Schulaufgabe :)
Stefan U. schrieb:> Oha, Mathe. Bin ich froh, dass ich nicht mehr in die Schule gehen muss.>> Ist das eine Übungsaufgabe oder handelt es sich um ein reales Problem?> Ich würd einfach ausreichend genau Widerstände kaufen oder sie notfalls> mittels Trimmpoti abgleichen. Von daher schätze ich mal, dass es eine> dieser gemeinen praxisfernen Hausaufgaben ist, mit der Lehrer ihre> Schüler quälen (müssen).
Welch toller Ansatz um von der Antwort zu einer klar gestellten Frage
wegzukommen.
Ich sehe 2 Fehler.
Häuptling Quechi schrieb:> delta (1/Rges) = |-1/1000²|*0.02 + |-1/10000²|*0.05 = 2.05*10^-8.
Erstens ist dR1 nicht 0,02, wenn der Widerstand auf 2% genau ist.
Sondern dR1 = 0,02 * 1kOhm = 20 Ohm. Gewöhn dir an, die Einheiten bei
der Rechnung mitzubetrachten, dann fallen dir solche Fehler auf. (Für
dR2 gilt natürlich das selbe)
Zweitens machst du es dir mit der Kehrwertbildung zu einfach.
Häuptling Quechi schrieb:> Wenn ich daraus den Kehrwert bilde, dann bekomme ich 4.87*10^7, was> einem Fehler von 48 MOhm entsprechen würde.
Was heißt "daraus den Kehrwert bilden". Der Zusammenhang von Leitwert
und Widerstand ist:
1 / G = R
Aber du hast wohl einfach gleichgesetzt:
1/(Gges + dGges) = 1/Gges + 1/dGges = Rges + dRges
Und das ist natürlich falsch, schon von der Bruchrechnung her. Der
Kehrwert der Toleranz des Leitwerts ist nicht gleich zur Toleranz des
Widerstands.
Wenn dich der Zusammenhang von dG und dR interessiert, dann kannst du ja
mal die Ableitung dG/dR anschauen.
Häuptling Quechi schrieb:> 1/Rges = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
1/(Rges+RgesDelta) = 1(R1+R1delta) + 1/........
und das ganze noch mit -delta
und nach RgesDelta umformen
Häuptling Quechi schrieb:> Alles klar. Nur irgendwie ergibt das Ergebnis keinen Sinn.>> Angenommen ich habe 2 Widerstände R1 = 1k 2% und R2 = 10k 5%. dann komme> ich auf ein Ergebnis>> delta (1/Rges) = |-1/1000²|*0.02 + |-1/10000²|*0.05 = 2.05*10^-8.>> Wenn ich daraus den Kehrwert bilde, dann bekomme ich 4.87*10^7, was> einem Fehler von 48 MOhm entsprechen würde.
Wenn Du die Leitwerte mit 0,02 bzw 0,05 multiplizierst ist doch klar,
dass da dann große Widerstände rauskommen.
Du hast einiges übersprungen glaube ich. Die Ableitung gibt Dir die
Empfindlichkeit (quasi die Fehlerverstärkung) in dem Punkt. Die musst Du
natürlich mit deinem Widerstandsfehler multiplizieren. Der
Widerstandsfehler ist die Toleranz des Widerstands in Ohm nicht in
Prozent.
Ich habe das gerade mal durchgetippt mit deinem 1k 2% und 10k 5%
Beispiel und komme dabei auf 2,3% Fehler.
Achim S. schrieb:> Erstens ist dR1 nicht 0,02, wenn der Widerstand auf 2% genau ist.> Sondern dR1 = 0,02 * 1kOhm = 20 Ohm. Gewöhn dir an, die Einheiten bei> der Rechnung mitzubetrachten, dann fallen dir solche Fehler auf. (Für> dR2 gilt natürlich das selbe)
Vielen Dank für den Hinweis. Ich entsinne mich, dass man das so gemacht
hat. Es ist nur etwas her.
Wenn ich deinen Vorschlag berücksichtige komme ich auf:
delta (1/Rges) = |-1/1 kOhm²|*0.02*1 kOhm + |-1/10 kOhm²|*0.05*10 kOhm =
0.000025 / Ohm
Achim S. schrieb:> Zweitens machst du es dir mit der Kehrwertbildung zu einfach.
Ich versteh dich nicht ganz. Der Gesamtwiderstand aus mehreren
parallelgeschalteten Widerständen ist doch:
1/Rges = 1/R1 + 1/R2 +... + 1/Rn
Somit muss ich am Schluss den Kehrwert des Ergenisses Bilden um den
Gesamtwiderstand errechnen zu können. Das gleiche gilt doch für
delta(1/Rges).
Mir ist der Zusammenhang zwischen Leitwert und Widerstand klar, aber ich
versteh deine Anmerkung nicht.
Häuptling Quechi schrieb:> aber ich> versteh deine Anmerkung nicht.
Dann wiederhole ich es einfach nochmal :-)
richtig ist:
1 / G = R
aber falsch ist:
1/(Gges + dGges) = 1/Gges + 1/dGges = Rges + dRges
Deswegen ist 1/dGges nicht das selbe wie dRges (das hast du aber
gerechnet).
Und auch noch mal wiederholt: schau dir die Ableitung dG/dR an. Dann
kennst du den Zusammenhang zwischen dG und dR.
Walter S. schrieb:> 1/(Rges+RgesDelta) = 1(R1+R1delta) + 1/........
Das hat den offiziellen Namen "MaxMin-Methode" oder in folgendem Link
"Einsetzen von Maxima und Minima".
http://www.physik.uni-jena.de/pafmedia/studium/phys_gp/FehlerrechnungLeichtGemacht_PDF.pdf
Wenn es um konkrete Zahlenwerte geht (und nicht um allgemeine Formeln),
dann ist das tatsächlich meist einfacher zu rechnen als der Ansatz mit
totalem Differential, mit dem der TO begonnen hat.
Achim S. schrieb:> Wenn es um konkrete Zahlenwerte geht (und nicht um allgemeine Formeln),> dann ist das tatsächlich meist einfacher zu rechnen als der Ansatz mit> totalem Differential, mit dem der TO begonnen hat.
Wenn man sehen möchte wie welches Element beiträgt und ob es sich in der
Schaltung lohnt hier oder da einen enger tolerierten Widerstand
einzusetzen, dann ist es schon hilfreich finde ich. Und wenn es
aufwendiger wird als hier muss man ja auch nicht wie in der Schule per
Hand ableiten.
aus dem Studium ist mir nooch dieser Satz geläufig,
alle Fehlerprozente addieren sich und man sollte immer das Vorzeichen
beibehalten, alle + Fehler als worst case und alle - Fehler als worst
case kalkulieren.
Aber real mitteln die sich aus und bei nur R muss man normieren
10k 1% und 100 1% gibt halt keine 2% sondern bezogen auf Reihenschaltung
über 1% -> 1,001%
Ich rechne immer und real messe ich aus und suche mir eher passende
Päärchen.
Parallelschaltung, Leitwerte rechnen
Joachim B. schrieb:> alle Fehlerprozente addieren sich und man sollte immer das Vorzeichen> beibehalten, alle + Fehler als worst case und alle - Fehler als worst> case kalkulieren.>> Aber real mitteln die sich aus und bei nur R muss man normieren>> 10k 1% und 100 1% gibt halt keine 2% sondern bezogen auf Reihenschaltung> über 1% -> 1,001%
Naja, das gilt auch nur bei so trivial Beispielen.
Und was machst Du, wenn Du zB einen Spannungsteiler bauen willst aus den
oben genannten Widerständen (R1=1k 2% und R2=10k 5%). Wie groß ist dann
der Fehler? Da kommst Du mit normieren nicht mehr weiter.
Joachim B. schrieb:> Ich rechne immer und real messe ich aus und suche mir eher passende> Päärchen.
Beim Basteln spielt das auch alles keine Rolle, aber wenn man eine
Schaltung entwirft, bei der nicht jedes Einzelstück von Hand optimiert
werden soll sieht es anders aus.
Philipp C. schrieb:> Beim Basteln spielt das auch alles keine Rolle, aber wenn man eine> Schaltung entwirft, bei der nicht jedes Einzelstück von Hand optimiert> werden soll sieht es anders aus.
ich baue i.d.R. nur "Einzelstücke"
sonst müsste man worst case rechnen und der Aufwand kann zu hoch werden
um alle Eventualitäten zu berücksichtigen, schaffen ja nicht mal
Autobauer, was nutzt es wenn die behaupten LEDs oder Xenon halten ewig
und ewig ist vorbei nach einer miesen LED oder schlechten Lötstelle.
Worst Case Aufwand würde mir auch keiner beim Preis und der
Entwicklungszeit zugestehen.
Joachim B. schrieb:> Aber real mitteln die sich aus und bei nur R muss man normieren
es kommt drauf an, was man betrachtet: wenn es um Messunsicherheiten
geht werden sich die Einzelbeiträge ein Stück weit rausmitteln. Wenn es
um Grenzabweichungen geht, muss man den worst case betrachten.
Joachim B. schrieb:> alle Fehlerprozente addieren sich
das gilt in bestimmten Spezialfällen, aber hier gilt es nicht. R1 hat im
Zahlenbeispiel des TO einen viel größeren Einfluss auf Rges als R2,
deshalb liegt die relative Grenzabweichung von Rges auch viel näher an
den 2% von R1 als an den 5% von R2 (wie Philipp weiter oben ja auch
schon verraten hat :-)
Joachim B. schrieb:> ich baue i.d.R. nur "Einzelstücke"
Da hat man natürlich viel mehr Freiheiten. Da kannst notfalls ja auch so
lange Widerstände suchen bis es für Dich passt ohne das Toleranzen eine
Rolle spielen.
Joachim B. schrieb:> sonst müsste man worst case rechnen und der Aufwand kann zu hoch werden> um alle Eventualitäten zu berücksichtigen
Mir geht es auch nicht um alle Eventualitäten. Es geht in der Industrie
ja oft um den Preis (privat oft noch viel mehr ;)). Und man kann
natürlich überall wo man vermutet es sei kritisch Präzisionswiderstände
einsetzen, aber es wird halt ggf. günstiger wenn man abschätzen kann,
dass zB irgendwo das Verhältnis der Einflüsse 1:10 ist. Dann reicht es
einen 0,1% Widerstand einzusetzen und einen mit 1%. Nur als Beispiel.
Die Ersparnis muss natürlich immer im Verhältnis zum Entwicklungsaufwand
stehen.
Zum Thema Worst-case: Im Studium haben wir auch mal Monte-Carlo Analysen
von Schaltungen gemacht, bei denen es nicht darum ging den Worst-case zu
finden sondern nur einen gewissen yield zu erreichen. Es kann ja bei
sehr großen Stückzahlen billiger sein ein paar Produkte auszusortieren
als 100% durch die Endkontrolle zu bekommen. Aber mit so großen
Stückzahlen und so billigen Dingen habe ich zum Glück nichts zu tun ;)
Philipp C. schrieb:> Es geht in der Industrie> ja oft um den Preis (privat oft noch viel mehr ;)).
klar es wird gespart, koste es was es wolle, die billigsten Elkos die in
meiner Industriezeit geordert wurden haben bestimmt 1000 DM gespart,
wobei ich 6000 DM am ICT zur Programmanpassung verbraucht habe, ein ICT
ist nun mal kein Präzisionsmessgerät!
Ich würde billige Elkos aber nicht mit größer tolerierten Widerständen
in einen Topf werfen. Die 1% Widerstände können ja genauso langlebig und
gut sein wie die mit 0,1%. Sie sind trotzdem günstiger.
Joachim B. schrieb:> aus dem Studium ist mir nooch dieser Satz geläufig,>> alle Fehlerprozente addieren sich
Glaube ich mal, ist dann aber eine ganz schöne Verzerrung der ganzen
Sache.
Also 10 Widerstände mit 2% sind dann 20% gesamt?
Wenn ich das so richtig verstanden habe, dann messe ich aber lieber.
F. F. schrieb:>> alle Fehlerprozente addieren sich>> Glaube ich mal, ist dann aber eine ganz schöne Verzerrung der ganzen> Sache.> Also 10 Widerstände mit 2% sind dann 20% gesamt?
Nein, jeder Widerstand hat 2% und der Gesamtwiderstand auch.
Worst case haben alle die Ablage in die selbe Richtung. 1k mit 1% hat
max. 10Ω Ablage - könnte also 1010Ω oder 990Ω haben. Bei
Parallelschaltung werden daraus 500Ω, min. 495Ω, max. 505Ω. Das ist
wieder 1%.
Vergleichbares gilt natürlich auch bei Reihenschaltung.
Jetzt könnte man noch hoffen, dass die beiden Widerstände die Ablage
nicht in die selbe Richtung haben, so dass sich die Toleranzen teilweise
aufheben. Wenn die Ablagen tatsächlich normalverteilt wären, dann wird
die Betrachtung etwas schwieriger, weil man nur mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit angeben kann, wie groß die Toleranz der
Zusammenschaltung tatsächlich ist und auch der Max-Min-Wert könnte dann
mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit auch überschritten werden. Wenn die
1% vorher ein 6-Sigma-Wert war, dann sind durch die Verschaltung jetzt
0.707% der 6-Sigma-Wert. Es wird also rechnerisch besser, weil die
Stochastik eine Kompensation möglich macht ...
Leider garantiert kein Hersteller ein Normalverteilung der Fehler - es
gibt nur Min-Max-Werte.
Man muss auch beachten: ein neu gekaufter 1% Widerstand hat 1%
Auslieferungstoleranz. Nach dem Handling, dem Löten und über Temperatur
und Alterung könnten daraus leicht 5% Ablage werden.
F. F. schrieb:> Glaube ich mal, ist dann aber eine ganz schöne Verzerrung der ganzen> Sache.> Also 10 Widerstände mit 2% sind dann 20% gesamt?
richtig lesen, normiert, also alle Ohm Fehler bei Reihe in je eine
Richtung addieren und zum Gesamtwiderstand ins Verhältnis setzen!
parallel eben die Leitwerte
Ich habe jetzt mal die ganze Sache für meinen Fall per Hand gerechnet.
Ich habe die Formel für 3 parallelgeschaltet Widerstände aufgestellt,
vereinfacht und dann jeweils Stück für Stück abgeleitet. Alles mit dem
Taschenrechner natürlich.
Nachdem ich dann mal meine Werte
R1 = 13 Ohm +-1%
R2 = 16 Ohm +-1%
R3 = 62 Ohm +-1%
eingesetzt und ausgerechnet habe, komme ich auf ein deltaRges =
0,064287, was genau 1% des errechneten Gesamtwiderstands entspricht.
Passt das?
Ich habe die Rechnung auch schonmal nur mit zwei Widerständen
durchgerechnet und komme da auch auf eine Abweichung von 1%, wenn beide
Widerstände eine Toleranz von 1% haben.
Kann man da sagen, dass, wenn n Widerstände mit beliebigen Werten
parallelgeschaltet werden und jeder einzelne eine Abweichung von 1% hat,
dass dann der Gesamtwiderstand auch nur eine maximale Abweichung von 1%
hat?
Danke :)
Häuptling Quechi schrieb:> Kann man da sagen, dass, wenn n Widerstände mit beliebigen Werten> parallelgeschaltet werden und jeder einzelne eine Abweichung von 1% hat,> dass dann der Gesamtwiderstand auch nur eine maximale Abweichung von 1%> hat?
Die Aussage bringt einem doch aber nicht viel? Klar wenn alle
Widerstände gleich groß sind dann bleibt es natürlich beim gemeinsamen
1%. Wenn die Werte sich unterscheiden und der, der am meisten beiträgt
1% hat und die andere (die eh schon weniger beitragen) auch nur 1%
haben, dann wird auch dabei 1% nicht überschritten. Nur was bringt Dir
diese Erkenntnis?
Joachim B. schrieb:> richtig lesen, normiert, also alle Ohm Fehler bei Reihe in je eine> Richtung addieren und zum Gesamtwiderstand ins Verhältnis setzen!Joachim B. schrieb:> alle Fehlerprozente addieren sich
Richtig lesen ist gut. Da schreibst du doch alle Fehlerprozente addieren
sich, also nicht "alle Ohm Fehler".
Joachim, das musst du jetzt aber selbst zugeben, dass das nicht so
eindeutig zu verstehen war.
Philipp C. schrieb:> Die Aussage bringt einem doch aber nicht viel? Klar wenn alle> Widerstände gleich groß sind dann bleibt es natürlich beim gemeinsamen> 1%. Wenn die Werte sich unterscheiden und der, der am meisten beiträgt> 1% hat und die andere (die eh schon weniger beitragen) auch nur 1%> haben, dann wird auch dabei 1% nicht überschritten. Nur was bringt Dir> diese Erkenntnis?
Mir war das nicht so klar. Ich wollte es gern schwarz auf weiß für die
Doku nachgerechnet haben :)
Aber Danke :)
F. F. schrieb:> Richtig lesen ist gut. Da schreibst du doch alle Fehlerprozente addieren> sich, also nicht "alle Ohm Fehler".
das war der erste Satz, aber es muss natürlich normiert werden,
sollte klar sein das sich nur gleiche Wiederstände die % addieren, bei
ungleichen Widerständen muss man die Gesamtsumme betrachten, also 1M mit
1 % juckt einen Serien R mit 1 Ohm und 1% wenig
> Joachim, das musst du jetzt aber selbst zugeben, dass das nicht so> eindeutig zu verstehen war.
OK wenn du magst, gerne!
Häuptling Quechi schrieb:> Nachdem ich dann mal meine Werte> R1 = 13 Ohm +-1%> R2 = 16 Ohm +-1%> R3 = 62 Ohm +-1%>> eingesetzt und ausgerechnet habe, komme ich auf ein> deltaRges = 0,064287, was genau 1% des errechneten> Gesamtwiderstands entspricht.> Passt das?
Ja, natuerlich.
Das eine Prozent Fehler wirkt sich letztlich als Faktor 1.01
bei allen Widerstaenden aus. Insofern muss das so sein.
> Ich habe die Rechnung auch schonmal nur mit zwei Widerständen> durchgerechnet und komme da auch auf eine Abweichung von 1%,> wenn beide Widerstände eine Toleranz von 1% haben.
Siehe oben. Muss so sein.
> Kann man da sagen, dass, wenn n Widerstände mit beliebigen> Werten parallelgeschaltet werden und jeder einzelne eine> Abweichung von 1% hat, dass dann der Gesamtwiderstand auch> nur eine maximale Abweichung von 1% hat?
Ja.
> Danke :)
Bitte. -- Der wirklich interessante Fall ist ja der, dass die
Toleranzen unterschiedlich sind. Dazu zwei Tipps:
1. Rechne bei Toleranzbetrachtungen paralleler Widerstaende
mit Leitwerten. Das ist zwar sehr ungewohnt, aber viel
zweckmaesziger, weil sich die Leitwerte einfach addieren.
2. Rechne mit absoluten Fehlern, nicht mit relativen.
