Hier ist ein Lösungsweg des Leiterproblems für diejenigen, die die
Lösungsformel für Gleichungen 4. Grades nicht auswendig wissen und
keine Formelsammlung zu Hand haben, also z.B. für mich: ;-)
x sei wie in der Aufgabenstellung der Abstand des Leiterfußpunkts von
der Wand, y die Höhe des Leiterendes über dem Boden und c die Länge
der Leiter (c=7).
Nach Pythagoras gilt
Nach Strahlensatz gilt
Es sei s=x+y, dann ist unter Verwendung der obigen beiden Gleichungen
Man hat also eine quadratische Gleichung in s, deren Lösungen
sind. Ist man nur an den "sinnvollen" Lösungen interessiert, kann man
an dieser Stelle schon eine der beiden Lösungen streichen, da s
positiv sein muss, also
Wird in der zweiten Gleichung y durch s-x ersetzt, ergibt sich
Dieses ist eine quadratische Gleichung in x und hat die Lösungen
Die beiden Lösungen sind die Lösungen für x und y, die untereinader
austauschbar sind.
Nun muss nur noch die obige Lösung für s eingesetzt werden und man
erhält
Für c=7 sind die Lösungen ungefähr 6,90 und 1,17, wie sie auch Thomas
Ranseier gefunden hat.
Man hat also die Gleichung 4. Grades dadurch umschifft, dass man statt
dessen zwei Gleichungen 2. Grades gelöst hat.
Leiter_an_der_Wand.gif
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