Diese Übertragungsfunktion scheint nicht derjenigen üblicher Filter zweiter Ordnung (Hochpass, Bandsperre,...?) zu entsprechen. Und beim Kaskadieren von üblichen Filtersektionen erhalte ich Terme (z.B. s^3), die nicht in der gesuchten Übertragungsfunktion vorkommen.
Hintergrund:
Ich arbeite an einem PLL-FM-Demodulator. Im Buch Phase-Locked and
Frequency-Feedback Systems von J. Klapper (*) wird ein Filter mit dieser Übertragungsfunktion zur Kompensation der Tiefpass-Wirkung der Phasenregelschleife verwendet. Dort ist dieses Filter mit einer RLC-Schaltung realisiert. Ich frage mich nun, ob eine Realisierung als aktives Filter möglich ist.
Dort ist dieses Filter mit einer RLC-Schaltung realisiert. Ich frage
mich nun, ob eine Realisierung als aktives Filter möglich ist.
Das Filter ist doch aktiv. In der ersten Variante kommt ein Opamp in der
zweiten ein BJT als verstärkendes Element zum Einsatz, ohne das das
Filter nicht realisierbar wäre. Geht man in der ersten Variante von
einem idealen Opamp aus, erhält man rein rechnerisch auch tatsächlich
die angegebene Übertragungsfunktion.
Streng genommen ist ein Filter mit der gegebenen Übertragungsfunktion
überhaupt nicht realisierbar, da das Zählerpolynom einen höheren Grad
als das Nennerpolynom hat und damit die Verstärkung für hohe Frequenzen
gegen unendlich gehen müsste. Im vorliegenden Fall haben wir es aber nur
mit einem endlichen Frequenzbereich (bis zur oberen Grenzfrequenz des
NF-Signals) zu tun, so dass das Filter auch mit einem realen Opamp
(endliche Verstärkung und Bandbreite) hinreichend genau umgesetzt werden
kann.
Wie der Autor auf diese Übertragungsfunktion kommt, ist mir nicht ganz
klar. Das wird aber vermutlich im erläuternden Text zu der Schaltung
erklärt.
Die gezeigte Übertragungsfunktion ist das "Gegenstück" zur Phasen-Überragungsfunktion der geschlossenen PLL (inverses Filter) - das ist wohl der theoretische Hintergrund der vorgegebenen Funktion, die aber so in dieser Form nicht realisierbar (Zähler-Grad > Nenner-Grad.).
Die beiden gezeigten Schaltungen realisieren die Funktion nur annähernd - d.h. bis zu einer bestimmten oberen Frequenzgrenze.
Wenn man die Schaltungen durchrechnet, sieht man - was aber auch schon durch reines Betrachten der Schaltungen erkennbar ist, dass die Gesamt-Übertragungsfunktion natürlich nach oben zu höheren Frequenzen begrenzt ist umd damit nicht die genannte Funktion realisieren kann.
Dabei soll die OPV-Schaltung wohl auf dem invertierenden Prinzip beruhen - also ist die RLC-Kombination am inv. Eingang angeschlossen.
Natürlich ist das Filter so nicht für beliebig hohe Frequenzen realisierbar - wie jeder aktive Hochpass oder jede aktive Bandsperre. Aber das stört nicht, da ohnehin ein Tiefpass folgt (Box gerade darunter in der Abbildung: "output baseband filter").
Das Filter ist doch aktiv. In der ersten Variante kommt ein Opamp in der
zweiten ein BJT als verstärkendes Element zum Einsatz, ohne das das
Filter nicht realisierbar wäre.
In dem Sinn ist es ein aktives Filter, ja. Was ich jedoch gemeint habe: Kann man diese Übertragungsfunktion als aktives Filter realisieren, sodass keine Induktivität verwendet werden muss - dies ist ja ein wesentlicher (oder der wesentliche) Grund, dafür dass aktive Filter bei tieferen Frequenzen gerne verwendet werden.
Eine offensichtlich Lösung wäre, die Induktivität durch einen Gyrator zu ersetzen. Ich frage mich aber, ob man nicht gerade das ganze Filter dann aktiv realisieren kann. Kann eine übliche Topologie aktiver Filter (MFB, Sallen-Key, Biquad, usw.) so ausgelegt werden, dass sie die obige Übertragungsfunktion realisiert (unter Annahme eines idealen OpAmps mit unbeschränkter Bandbreite).
Gyrator-Realisierung ist bei schwimmenden (nicht einseitig geerdeten) Induktivitäten sehr aufwändig. Das würde ich auf keinen Fall machen...
Deine Grund-Idee ist schon richtig und das vernünftigste:
Den wesentlichen und wichtigsten Teil der Übertragungsfunktion (bis zu einer bestimmten Frequenz-Obergrenze) als aktiven Filterblock zu realisieren.
Dazu würde ich zunächst mal die gewünschte (nicht realisierbare) Funktion mir plotten lassen (mit aktuellen Zahlen!) - und auf der Grundlage des Bode-Diagrams entscheiden, welche der bekannten Filterfunktionen (evtl. auch Überlagerung?) in dem zur Diskussion stehenden Frequenzbereich zwecks Realisierung in Frage kommt.
Es kommt hier ja scheinbar nicht auf eine klassische Filterung an (Tief-, Hoch-, Bandpass etc.), sondern doch wohl auf die Inversion der PLL-Übertragungsfunktion.
Prinzip-Verlauf: Hochpass 2. Ordnung, der in einen Hochpass erster Ordnung übergeht (und dann - aus Realisierungsgründen - wieder abfallen muss).
Stichwort: Inverses Filter.
Dazu gibt es viele Beiträge im Netz.
Gyrator-Realisierung ist bei schwimmenden (nicht einseitig geerdeten)
Induktivitäten sehr aufwändig. Das würde ich auf keinen Fall machen...
Danke für den Hinweis. Hab noch nie was mit einem Gyrator gemacht, aber irgendwie kam mir das nicht als elegante Lösung vor - und Deine Bemerkung bestätigt dies.
Dazu würde ich zunächst mal die gewünschte (nicht realisierbare)
Funktion mir plotten lassen (mit aktuellen Zahlen!) - und auf der
Grundlage des Bode-Diagrams entscheiden, welche der bekannten
Filterfunktionen (evtl. auch Überlagerung?) in dem zur Diskussion
stehenden Frequenzbereich zwecks Realisierung in Frage kommt.
Das habe ich tatsächlich bereits gemacht. Das Bode-Diagramm ist im angehängten Screenshot (Plot_Filter.png) gezeigt, die Simulation dazu in Simulation_Filter.png (outA ist von einer Realisierung als Schaltung, outB rein rechnerisch. Beide Ergebnisse sind praktisch identisch.) Wie man sieht, handelt es sich um einen Hochpass mit zusätzlicher "Delle".
Es kommt hier ja scheinbar nicht auf eine klassische Filterung an
(Tief-, Hoch-, Bandpass etc.), sondern doch wohl auf die Inversion der
PLL-Übertragungsfunktion.
Genau. Und das tut das Filter auch recht gut. Ich hab mal den Frequenzgang einer Übertragungsstrecke (FM-Modulator und FM-PLL-Demodulator) simuliert (stark vereinfacht, Phasenkomparator und VCO sind nur als gesteuerte Quellen mit entsprechender Laplace-Transformation modelliert). Wie man sieht (Plot_FM-Mod-Demod.png), ist der Frequenzgang beinahe flach ("out_compensated"), wohingegen das Signal direkt am PLL-Demodulator ("out_uncompensated") - wie erwartet - einen starken Abfall zeigt mit zunehmender Frequenz.
… Wie
man sieht, handelt es sich um einen Hochpass mit zusätzlicher "Delle".
…
Das sieht man schon bei den beiden Schaltungen des Buchausschnitts. Den Hochpass bildet der Kondensator und die „Delle“, Dämpfung bei einer bestimmten Frequenz, entsteht durch den Parallelresonz-Kreis aus Kondensator und Induktivität, wobei die Dämpfung dann durch den Serienwiderstand zur Induktivität, der die Güte der Induktivität absenkt, bestimmt wird.
Sowas könnte man wahrscheinlich durch überbrückte RC T-Filter oder Doppel-T-Filter Schaltungen ohne Induktivität nachbilden.
Prinzip-Verlauf: Hochpass 2. Ordnung, der in einen Hochpass erster
Ordnung übergeht (und dann - aus Realisierungsgründen - wieder abfallen
muss).
Das ist natürlich Unsinn (ich darf das sagen, da es ja um meine Formulierungen geht).
Richtig ist: Konstanter Wert bei "kleinen" Frequenzen und danach Hochpass-Verhalten erster Ordnung. Das sieht man ja auch schon dem RLC-Block an, der bei kleinen Frequenzen primär durch den Widerstand bestimmt wird.
Die PLL-Phasen-Übertragungsfunktion (Kehrwert der in der Fragestellung gegebenen Funktion) ist die SUMME (siehe Zähler) von Tiefpass (2. Grades) und Bandpass. Man kann zeigen, dass das Ergebnis der Summenbildung UNGEFÄHR einem Tiefpass erster Ordnung ähnelt (also mit Abfall 20dB/Dek - verursacht durch den Bandpass), allerdings mit einer gewissen Erhöhung (peaking) im Bereich der Polfrequenz.
Damit würde durch die Inversion eine Funktion entstehen, die - ebenfalls ungefähr - einem Hochpass (n=1) gleicht für Frequenzen oberhalb der Polfrequenz. Aus der oben erwähnten Erhöhung wird dann eine kleine "Delle".
Alles wird sehr schön durch die gezeigten Bode-Diagramme bestätigt.
Zur Realisierung: Eine ungefähre Kompensation der PLL-Übertragungsfunktion (ohne die "Delle") könnte daher erfolgen durch eine invertierende OPV-Schaltung mit R2 in der Rückkopplung und (R1||C) im Vorwärtszweig.
Bei der gezeigten Realisierung mit dem Original-RLC-Block würde es mit sehr großer Wahrscheinlichkeit dynamische Stabilitätsprobleme (Oszillation) geben durch die Tiefpassfunktion des (realen) OPV.
In der Simulation wurde ja ein ideales OPV-Modell angesetzt.
Eventuelle Stabilitätsprobleme bei der hier vorgeschlagenen Realisierung mit (R1||C) können durch einen weiteren Widerstand in Reihe mit C verhindert werden, der aber dann im "kritischen" Bereich die Hochpassfunktion stört.
So, nach einer Woche berufsbedingter Pause habe ich mir nun den oben verlinkten Artikel (und ein paar Referenzen darin) angesehen. Allerdings konnte ich keine Implementierung für die gesuchte Übertragungsfunktion finden.
Das Problem scheint erheblich komplizierter zu sein, als ich anfangs dachte. Die Realisierung mit einer Spule ist wohl die einfachste Lösung. Und falls diese wirklich zu gross wird, wäre immer noch eine Gyrator-Lösung möglich: bei der BJT-Schaltung auf dem oben verlinkten Buchausschnitt ist die Spule ja auf der einen Seite geerdet.
Danke nochmals für die Hilfe und die Tipps!
Bastler
