Hallo zusammen,
ich befasse mich aktuell mit den Geheimnissen des Anti - Aliasing und
habe leider ein paar Aspekte, die mir einfach nicht in den Kopf wollen.
Darum habe ich mir ein paar Fragen überlegt, und hoffe, dass ihr mir
vielleicht helfen könnt
1. Prinzipiell ist mir das Konzept der Fourier - Transformation klar,
unklar ist mir hierbei, wie ein Bild einer Fourier - Transformation zu
interpretieren ist. Ich versuche hier immer, den Bezug zum Ausgangsbild
herzustellen, scheitere aber meistens. Im Prinzip handelt es sich doch
um eine Darstellung in den Dimensionen u und v => jeder Punkt in der
Transformation gibt an, wie "häufig" eine räumliche Frequenz mit den
Parametern u und v im Bild vorkommt. Ist hierbei die Intensität eines
Punktes eine Funktion dieses Wertes und habe ich das prinzipiell richtig
verstanden?
2. Ich habe in einem Lehrbuch einen Satz gefunden, bei dem ich mir nicht
schlüssig bin, woher die Formel stammt. Konkret geht es um die Abtastung
einer Ansichtsebene mit einem Raster quadratischer Pixel. Hier taucht
jetzt der Satz auf: "möchte man ein kontinuierliches Bild in der
Ansichtsebene mit einem Netz quadratischer Pixel abtasten, beträgt die
höchstmögliche Frequenz entlang einer Abtastzeile: f = 1/2d, wobei d die
Entfernung zwischen zwei Pixelzentren ist. Woher kommt diese Zahl?
3. Und als letztes geht es um Filter im Kontext des Supersampling. Auch
hier ist mir das Prinzip eigentlich klar, ich stolpere aber wiederum
über einen Satz. Es geht darum, dass mit steigender räumlicher
Filterausdehnung eine Unschärfe entsteht. Hier kommt nun der Satz "ein
größerer Filter hat eine niedrigere Grenzfrequenz" bzw. ein "kleinerer
Filter eine höhere Grenzfrequenz". Wieso ist dies der Fall?
Vielen Dank schon mal im Voraus,
Patrick
>>f = 1/2d, wobei d die Entfernung zwischen zwei Pixelzentren ist. Woher kommt >>diese Zahl?
Die kommt von Harry Nyquist und dessen Abtasttheorem. Das ist die
Version für Bilder.
>> Ist hierbei die Intensität eines Punktes eine Funktion dieses Wertes
Nein, die 'Intensität' eines Punktes ist eine Funktion aller Werte im
Frequenzbereich. Umgekehrt auch: Die Stärke einer Ortsfrequenz ist
Funktion aller Punktintensitäten.
>>"ein größerer Filter hat eine niedrigere Grenzfrequenz"
Was ist denn ein 'großer' Filter? Üblich ist auch eher 'das Filter'
wenns nicht gerade um Kaffeebrühen geht.
Cheers
Detlef
Hi Detlef,
danke schon mal für deine Mühen.
>> Ist hierbei die Intensität eines Punktes eine Funktion dieses Wertes>>>>Nein, die 'Intensität' eines Punktes ist eine Funktion aller Werte im>>>>Frequenzbereich. Umgekehrt auch: Die Stärke einer Ortsfrequenz ist>>>>Funktion aller Punktintensitäten.
hm, jetzt bin ich verwirrt. Die verschiedenen Basisfunktionen im Fourier
- Raum werden doch über die Parameter u und v spezifiziert, also bei
steigendem u und v steigt auch die Frequenz. Die Fourier - Darstellung
zeigt mir doch jetzt im uv - Raum, am Punkt (u,v), wieviel der
räumlichen Frequenz mit den Parametern u und v im gesamten Bild, also im
Ortbereich vorkommt, oder nicht?
>>>>"ein größerer Filter hat eine niedrigere Grenzfrequenz">>Was ist denn ein 'großer' Filter? Üblich ist auch eher 'das Filter'>>wenns nicht gerade um Kaffeebrühen geht.
Mit größerer Filter meinte ich ein Filter mit höherer räumlicher
Filterausdehnung, also einem höheren Bereich, über den gefiltert wird.
Ich sehe hier einfach nicht den Zusammenhang mit der Grenzfrequenz.
Patrick wrote:
>steigendem u und v steigt auch die Frequenz. Die Fourier - Darstellung> zeigt mir doch jetzt im uv - Raum, am Punkt (u,v), wieviel der> räumlichen Frequenz mit den Parametern u und v im gesamten Bild, also im> Ortbereich vorkommt, oder nicht?>
Ja, so ist es. Die Frequnz bei (u,v) macht ne Aussage über das GESAMTE
Bild. Das betrifft alle Pixel im Ortsbereich, nicht nur ein enziges. Du
fragtest:
>>'Ist hierbei die Intensität eines Punktes eine Funktion dieses Wertes'
Klar ist sie das, aber sie hängt auch ab von allen anderen u,v Werten ab
>>>>>"ein größerer Filter hat eine niedrigere Grenzfrequenz"> Mit größerer Filter meinte ich ein Filter mit höherer räumlicher> Filterausdehnung, also einem höheren Bereich, über den gefiltert wird.> Ich sehe hier einfach nicht den Zusammenhang mit der Grenzfrequenz.
Meinst Du mit 'Filtergröße' die Filterordnung, also, bei 2d, wie groß
das Rechteck der Pixel ist, über das Du filterst? Das hat mit der
Grenzfrequenz erstmal nichts zu tun. Vielleicht heißt Dein 'filtern'
aber auch, den Mittelwert zu bilden über ein Rechteck. Dann wird die
Grenzfrequnz kleiner mit zunehmender Filtergröße.
Cheers
Detlef
>>Meinst Du mit 'Filtergröße' die Filterordnung, also, bei 2d, wie groß>>das Rechteck der Pixel ist, über das Du filterst? Das hat mit der>>Grenzfrequenz erstmal nichts zu tun. Vielleicht heißt Dein 'filtern'>>aber auch, den Mittelwert zu bilden über ein Rechteck. Dann wird die>>Grenzfrequnz kleiner mit zunehmender Filtergröße.
Sorry, genau das meinte ich, ich verwende ja beim Supersampling einen
gewichteten Mittelwert über alle Pixel des höher aufgelösten Bildes
(wobei die Art der Gewichtung ja eine Funktion des verwendeten Fensters
ist). Aber warum sinkt denn dann die Grenzfrequenz mit steigender
räumlicher Ausdehnung des Filters (und somit natürlich mehr Werten bei
der Mittelwertbildung)?
>>>>'Ist hierbei die Intensität eines Punktes eine Funktion dieses Wertes'>>Klar ist sie das, aber sie hängt auch ab von allen anderen u,v Werten ab
Hierbei beziehe ich mich jetzt nur auf einen Punkt im Fourier - Raum,
also mit den Koordinaten (u,v) => mit Intensität meine ich, wie "hell"
der Punkt erscheint. Dies sieht man ja, wenn man "künstliche" Bilder
betrachtet, die meist helle "Streifen" im Fourier - Raum erzeugen. Wieso
hängt denn dann die Intensität eines solchen Punktes im Fourier - Raum
auch von allen anderen Werten im Fourier - Raum ab (also allen anderen
(u,v)?
>>Aber warum sinkt denn dann die Grenzfrequenz mit steigender räumlicher >>Ausdehnung des Filters (und somit natürlich mehr Werten bei der >>Mittelwertbildung)?
Für 1d wirds anschaulich: Der höchstfrequente abgetastete Sinus nach
Nyquist sieht so aus: 1,-1,1,-1..... Da muß Du die Summe über zwei
Abtastwerte nehmen, um den zu unterdrücken. Der Sinus mit Nyquist/2
sieht so aus: 1,0,-1,0,1,0,-1,...., da muß Du schon vier Abtastwerte
aufsummieren, um die Summe zu Null zu machen. Also: Je tiefer Frequenz,
umso länger summieren, damit die Summe Null wird. Bei 2d ist das nicht
anders. Extrembetrachtung: Die Summe über alle Pixel des Bildes ist das
längste 'Filter', da bleibt dann nur der 'Gleichanteil' als mittlerer
Grauwert übrig, alle höheren Frequenzen fallen raus.
>>Wieso hängt denn dann die Intensität eines solchen Punktes im Fourier - Raum>>auch von allen anderen Werten im Fourier - Raum ab (also allen anderen>>(u,v)?
Tut sie ja nicht, habe ich nicht gesagt. Was ich sagen möchte: Alle
Punkte des Frequenzbereiches hängen von allen Punkten des
Zeit/Orts-bereichs ab und umgekehrt. Die Punkte des Frequenzbereichs
sind natürlich unabhängig voneinander genauso, wie die Punkte des
Zeit/Ortsbereichs.
Cheers
detlef
>>Für 1d wirds anschaulich: Der höchstfrequente abgetastete Sinus nach>>Nyquist sieht so aus: 1,-1,1,-1..... Da muß Du die Summe über zwei>>Abtastwerte nehmen, um den zu unterdrücken. Der Sinus mit Nyquist/2>>sieht so aus: 1,0,-1,0,1,0,-1,...., da muß Du schon vier Abtastwerte>>aufsummieren, um die Summe zu Null zu machen. Also: Je tiefer Frequenz,>>umso länger summieren, damit die Summe Null wird. Bei 2d ist das nicht>>anders. Extrembetrachtung: Die Summe über alle Pixel des Bildes ist das>>längste 'Filter', da bleibt dann nur der 'Gleichanteil' als mittlerer>>Grauwert übrig, alle höheren Frequenzen fallen raus.
Sorry, stehe scheinbar etwas auf dem Schlauch. Was meinst du mit
"höchstfrequente abgetastete Sinus" nach Nyquist?
Heißt das im Prinzip, dass man über die Summation gezielt bestimmte
Sinus - Wellen unterdrückt, so dass diese im gefilterten Signal nicht
mehr vorkommen? Wäre dann der Sinus mit Nyquist/2 ein Sinus halber
Frequenz gegenüber dem ersten betrachteten Sinus? Bekomme ich also durch
einen "gößeren" Filter mehr Frequenzen in die Betrachtung und entferne
dadurch mehr Frequenzen, so dass die Grenzfrequenz der gefilterten
Funktion kleiner wird?
Danke nochmal für deine Mühe, ohne Hilfe würde ich das wohl allein durch
google nicht auf die Reihe bekommen.
Patrick wrote:
> Sorry, stehe scheinbar etwas auf dem Schlauch. Was meinst du mit> "höchstfrequente abgetastete Sinus" nach Nyquist?
Laut Nyquist brauchst Du zwei Abtastwerte pro Sinuswelle. Du erwischst
die Welle einmal auf dem Scheitel, einmal im Tal: Du erhälst die Folge
+1,-1,...
> Heißt das im Prinzip, dass man über die Summation gezielt bestimmte> Sinus - Wellen unterdrückt, so dass diese im gefilterten Signal nicht> mehr vorkommen?
Summation ist ein einfaches Filter, und zwar ein Tiefpaß, der hohe
Frequenzen unterdrückt. Trotz der Einfachheit haben die aber hohe
Bedeutung, z.B. für Implementation digitaler Filter in FPGAs, Stichwort
ist CIC, http://de.wikipedia.org/wiki/Cascaded-Integrator-Comb_Filter>Wäre dann der Sinus mit Nyquist/2 ein Sinus halber> Frequenz gegenüber dem ersten betrachteten Sinus?
Jawohl, vier Abtastwerte/Welle: Scheitel, Nulldurchgang, Tal,
Nulldurchgang: 1,0,-1,0.......
> Bekomme ich also durch> einen "gößeren" Filter mehr Frequenzen in die Betrachtung und entferne> dadurch mehr Frequenzen, so dass die Grenzfrequenz der gefilterten> Funktion kleiner wird?
Ja. Wenn du hohe Frequnzen entfernen willst, gibt es aber alternative
'kleine' Filter (niedriger Ordnung), die auch geringe Grenzfrequnzen
erlauben.
>> Danke nochmal für deine Mühe,
Bitte.
Cheers
Detlef
Detlef _a wrote:
> Patrick wrote:>> Sorry, stehe scheinbar etwas auf dem Schlauch. Was meinst du mit>> "höchstfrequente abgetastete Sinus" nach Nyquist?>> Laut Nyquist brauchst Du zwei Abtastwerte pro Sinuswelle. Du erwischst> die Welle einmal auf dem Scheitel, einmal im Tal: Du erhälst die Folge> +1,-1,...
Genauer gesagt > 2 Abtastwerte; sonst kannst du nicht wissen ob es die
Scheitelwerte sind die du erwischst oder irgend ein Wert zwischen drin.
Und wenn man sich überlegt wie ein Sinus mit 2.5-facher Frequenz
abgetastet aussieht wird auch klar dass das mit dem Aufsummieren zu Null
nicht ganz aufgeht.
@Patrick: ich würde die Bilder erst mal sein lassen und mir Abtastung
und Filterung bei "klassischen" eindimensionalen Signalen anschauen.
Darüber gibt es haufenweise Literatur im Internet, z.B.
http://www.dspguide.com.
