partielle DGL 2. Ordnung

[Stefan H. (Firma: dm2sh) (stefan_helmert)]

Hallo,

ich würde gerne mal wissen wollen, ob ich die folgende DGL so richtig 
gelöst habe:

$$U _{xx} - 2 U _{xy} + U _{yy} + x = 0$$

also die Gleichung sollte parabolisch sein, nach Berechnung der 
Determinante.
Da ist mir dann folgender Lösungsansatz eingefallen, der die DGL auf 
jedenfall erfüllt.

$$U = - \frac{1}{6} x^3 + Ay + B$$

Ich möchte nun gern noch wissen, ob es weitere Lösungen gibt, wie sieht 
die Alg. analytische Lösung aus? (bin gerade bei der 
Prüfungsvorbereitung)

[Johann L. (gjlayde)]

Als ad hoc Idee würde ich die DGL schreiben als

$$D^2u = -x \quad\text{mit}\quad D=(\tfrac d{dx}-\tfrac d{dy})$$

Nach einmaliger Integration bleibt

$$Du = -\tfrac12 x^2 +\alpha(x+y)\quad\text{wegen}\quad D(x+y) = 0$$

usw.

Johann

[Stefan H. (Firma: dm2sh) (stefan_helmert)]

$$U = - \frac{1}{6} x^3 + Ax + By + C$$

sollte wohl auch noch passen.

[Johann L. (gjlayde)]

Wenn man oben nochmals nach D integriert steht da

$$u = -\tfrac16 x^3 +A(x^2-y^2)+ Bx + Cy + E$$

[Stefan H. (Firma: dm2sh) (stefan_helmert)]

$$U_1=\frac{1}{4} x^2 y$$

erfüllt auch die Gleichung und

$$U_2=-\tfrac{1}{2}x y^2$$

auch, also sozusagen:

$$U = -\tfrac16A x^3 + \tfrac{1}{4}B x^2 y - \tfrac{1}{2}Cx y^2 + D(x^2-y^2) + Ex + Fy + G$$

mit

$$1 = A + B + C$$

KranCKste sh|T wo gibt ;)

Sieht noch wer ne abgespacetere Lösung bzw. eine weitere Lös.