partielle DGL 2. Ordnung

Stefan H. (stefan_helmert) (Firma: dm2sh) 14.07.2009 17:24 #1334348

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Hallo,

ich würde gerne mal wissen wollen, ob ich die folgende DGL so richtig 
gelöst habe:

$U _{xx} - 2 U _{xy} + U _{yy} + x = 0$


also die Gleichung sollte parabolisch sein, nach Berechnung der 
Determinante.
Da ist mir dann folgender Lösungsansatz eingefallen, der die DGL auf 
jedenfall erfüllt.

$U = - \frac{1}{6} x^3 + Ay + B$


Ich möchte nun gern noch wissen, ob es weitere Lösungen gibt, wie sieht 
die Alg. analytische Lösung aus? (bin gerade bei der 
Prüfungsvorbereitung)

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Johann L. (gjlayde) 14.07.2009 18:12 #1334410

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Als ad hoc Idee würde ich die DGL schreiben als

$D^2u = -x \quad\text{mit}\quad D=(\tfrac d{dx}-\tfrac d{dy})$


Nach einmaliger Integration bleibt

$Du = -\tfrac12 x^2 +\alpha(x+y)\quad\text{wegen}\quad D(x+y) = 0$


usw.

Johann

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Stefan H. (stefan_helmert) (Firma: dm2sh) 14.07.2009 22:04 #1334697

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$U = - \frac{1}{6} x^3 + Ax + By + C$

sollte wohl auch noch passen.

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Johann L. (gjlayde) 14.07.2009 23:51 #1334835

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Wenn man oben nochmals nach D integriert steht da

$u = -\tfrac16 x^3 +A(x^2-y^2)+ Bx + Cy + E$

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Stefan H. (stefan_helmert) (Firma: dm2sh) 15.07.2009 13:18 #1335441

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$U_1=\frac{1}{4} x^2 y$

erfüllt auch die Gleichung und

$U_2=-\tfrac{1}{2}x y^2$

auch, also sozusagen:

$U = -\tfrac16A x^3 + \tfrac{1}{4}B x^2 y - \tfrac{1}{2}Cx y^2 + D(x^2-y^2) + Ex + Fy + G$

mit

$1 = A + B + C$


KranCKste sh|T wo gibt ;)

Sieht noch wer ne abgespacetere Lösung bzw. eine weitere Lös.

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