Verteilungsfunktion

[Иван S. (ivan)]

Guten Morgen,

oefters benutzt und von mir doch nie verstanden, die kumulative 
Normalverteilungsfunktion. Insbesondere interessieren mich die im 
nachstehenden Code benutzten Faktoren a, woher kommen sie?
Kann man die auch noch genauer berechnen?
Und kann man k * (a1 + k * (-0.356563782 + k * (1.781477937 + k * 
(-1.821255978 + k * 1.330274429)))) eventuell vereinfachen?

Bitte nicht all zu mathematisch, sollte auch für Hauptschulabsolventen 
wie mich verständlich sein.

MbD, Iwan

/* The cummulative Normal distribution function: */

function CND(x){

var a1, a2, a3, a4 ,a5, k ;

a1 = 0.31938153, a2 =-0.356563782, a3 = 1.781477937, a4= -1.821255978 , a5= 1.330274429;

if(x<0.0)
return 1-CND(-x);
else
k = 1.0 / (1.0 + 0.2316419 * x);
return 1.0 - Math.exp(-x * x / 2.0)/ Math.sqrt(2*Math.PI) * k
* (a1 + k * (-0.356563782 + k * (1.781477937 + k * (-1.821255978 + k * 1.330274429)))) ;
}

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Die Normalverteilungsfunktion ist nicht als geschlossener Term darstell-
bar, deswegen arbeitet man mit Näherungen wir der von dir gezeigten
Funktion. Die Koeffizienten in dieser Näherungsfunktion sind eben so
angepasst, dass der Fehler (nach irgendwelchen Kriterien) möglichst
gering wird.

[Иван S. (ivan)]

Gut, dann muß ich das wohl so hinnehmen. Danke jedenfalls.
Mich wundert nur, daß man Ausdrücke der folgenden Form nicht irgendwie 
vereinfachen kann: k * (1.781477937 + k * (-1.821255978 + k * 
1.330274429)))

[Unbekannt U. (Gast)]

Wieso, kann man doch...

$$1.330274429~k^3 - 1.821255978~k^2 + 1.781477937~k$$

Ob das aber zur numerischen Berechnung sinnvoll ist, darfst Du selbst 
darüber nachdenken!

[Arc N. (arc)]

http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html
liefert noch einige weitere Näherungen