Frequenzgang durch Übertragungsfunktion berechnen

Du suchst also die Übertragungsfunktion? Falls Du über keine einschlägige Literatur verfügst, kann ich diese Dir hier auch nennen, ABER: Dann muss man Deine Schaltung hier sehen, um die Benennung der Bauteile zu erkennen. Und Du fragst wirklich nach der Bedeutung von "w" (genau: omega als Symbol für die Kreisfrequenz).

Erstmal danke für die Rückmeldung. So in etwa sieht meine Schaltung aus.

Nein nein, ich suche nicht die Übertragungsfunktion. Ich habe diese bereits (auch als Bild meinem Beitrag hinzugefügt). Ich weiß nicht genau, wie ich damit nun berechnen soll, dass der Bandpass die 3. Harmonische mit -20dB dämpft. Und nein ich habe auch nicht nach der Bedeutung von "w" bzw. omega gefragt! Sorry, da hab ich meine Frage falsch ausgedrückt. Ich wollte wissen, was ich dafür einsetzen muss? Also w_r ist die Resonanzfrequenz, das weiß ich. Wenn ich aber jw für s_n einsetze --> welches omega nutze ich hier? Also ich suche den Frequenzgang, den man mit der Übertragungsfunktion irgendwie bestimmen soll.

Der Frequenzgang ist der Betrag der Übertragungsfunktion. Das einfachste ist natürlich, wenn Du den simulieren würdest (PSpice oder LTSpice oder...). Ansonsten (rechnerisch) setze doch einfach die dreifache Resonanz-Kreisfrequenz für s in die Ü-Funktion ein und bilde davon den Betrag, um die Forderung zu überprüfen. Das ist viel einfacher als für die gesamte Funktion den Betrag (Amplitudengang) zu finden.

In der Simulation klappt es auch und ist natürlich einfacher, nur muss ich es auch rechnerisch zeigen.

Ein großes Danke, ich werde es so probieren.

Katja F. schrieb:

welches omega nutze ich hier?

Vielleicht verstehe ich die Frage (auch) falsch, aber w (omega) ist doch die Kreisfrequenz w = 2•pi•f. Das ist die Variable, also die x-Achse. w_r = Resonanz.

A(sn) ist die Übertragungsfunktion der Schaltung. Wie sn definiert ist, geht aus der Abb. nicht hervor. Muß aber mit f oder w zusammenhängen, denn üblicherweise schreibt man A(f) oder A(w).

Dann als Ansatz:

A(w) = A(3•w_r) + 20dB

Vielleicht hilft dir das etwas weiter.

Noch ein kurzer Tipp zur überschlagsmäßigen Abschätzung, ob bzw. wie die Forderung (20 dB Dämpfung der 3-fachen Resonanzfrequenz) erfüllbar ist: Das Bandpass-Filter 2. Ordnung hat links und rechts von wr einen Abfall von 20dB/Dekade (bzw. 6dB/Oktave). Das gilt aber - je nach Güte - erst "etwas weiter weg" von wr. Im engeren Bereich um wr ist es steiler. Das bedeutet, dass bei der 4-Fachen Resonanzfrequenz wir eine Mindest-Dämpfung von 12 dB erwarten - je nach Güte aber natürlich deutlich mehr. Die verlangten 20 dB beim dreifachen wr werden also - wenn überhaupt - wahrscheinlich nur relativ knapp erreicht werden.

Ganz WICHTIG für die Auswertung: Bei Tietze-Schenk sieht die Ü-Funktion etwas "gewöhnungsbedürftig" aus: Er benutzt die normierte Frequenz sn=s/wr, womit also dann gilt: sn*wr=s ... mit s=jw für die praktische Auswertung.

Setze folgendes in die Gleichungen 13.30 ein

$$\begin{align*} R_1&=R_3=R \\ R_2&=2R \\ \omega_\mathrm r&=2\pi f_\mathrm r \\ s_\mathrm n&=\mathrm j\omega_\mathrm n \end{align*}$$

dann noch die untere Gleichung (fᵣ) in die obere, und schon hast du die (komplexe) Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von ωₙ.

Für R1, R2 und R3 kannst du natürlich auch die Zahlenwerte einsetzen, das ist aber mehr Schreiberei und hier nicht erforderlich.

Für den Amplitudengang musst du jetzt nur noch den Betrag bilden, was bei der einfachen Funktion nicht schwer ist. Hast du alles richtig gemacht, erhältst du

$$|A(\omega_\mathrm n)|=\frac{\omega_\mathrm n}{\sqrt{1-\omega_\mathrm n^2+\omega_\mathrm n^4}}$$

ωₙ ist dabei ω/ωᵣ, also die auf die Resonanzfrequenz normierte Frequenz. Mit ωₙ=1 erhältst du die Amplitude an der Resonanzfrequenz, mit ωₙ=3 die der 3. Harmonischen. Wie man das Verhältnis aus beiden in dB umrechnet, ist dir sicher bekannt.

Ich erhalte als Ergebnis -9,1dB was von den angegebenen -20dB ziemlich weit weg liegt. Mögliche Ursachen für diese Diskrepanz:

• Ich habe die Aufgabe falsch verstanden.

• Ich habe mich verrechnet (wenig wahrscheinlich, da die Simulation das gleiche Ergebnis liefert).

• Die Aufgabenstellung enthält einen Fehler.

Katja F. schrieb:

C-hater und was machst du so in deiner Freizeit? :D

Hassen, hassen, hassen ...

Jeder hat halt sein Hobby, und manche pflegen es so leidenschaftlich, dass sie es sogar in ihrem Nick kundtun :D

Yalu X. schrieb:

Ich erhalte als Ergebnis -9,1dB was von den angegebenen -20dB ziemlich weit weg liegt. Mögliche Ursachen für diese Diskrepanz:

Doch - das Ergebnis ist korrekt. Die Bandpass-Güte ist ja nur Q=1. Also kann man bei der vierfachen Mittenfrequenz gerade mal 12 dB erwarten.

Katja F. schrieb:

Ich habe bereits einen aktiven Bandpass mit Mehrfachgegenkopplung vorliegen, dieser soll die 3. Harmonische mit -20dB dämpfen

-20dB gegenüber was? Geht es um 20dB Dämpfung gegenüber der Grundfrequenz/Bandmitte oder gegenüber dem Eingangssignal. Nur wenn die Transmission bei der Mittenfrequenz 1 ist, wären beide Betrachtungsweisen gleichwertig ;-)

Robert K. schrieb:

Du suchst nicht den gesamten Frequenzgang, sondern nur einen einzigen Punkt.

Wenigstens sollte man sich vergewissern, dass diese Annahme stimmt. Und schon ist man bei zwei Punkten.

Yalu X. schrieb:

Setze folgendes in die Gleichungen 13.30 ein

$$> \begin{align*} > R_1&=R_3=R \\ > R_2&=2R \\ > \omega_\mathrm r&=2\pi f_\mathrm r \\ > s_\mathrm n&=\mathrm j\omega_\mathrm n > \end{align*} >$$

dann noch die untere Gleichung (fᵣ) in die obere, und schon hast du die (komplexe) Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von ωₙ.

Für R1, R2 und R3 kannst du natürlich auch die Zahlenwerte einsetzen, das ist aber mehr Schreiberei und hier nicht erforderlich.

Für den Amplitudengang musst du jetzt nur noch den Betrag bilden, was bei der einfachen Funktion nicht schwer ist. Hast du alles richtig gemacht, erhältst du

$$> |A(\omega_\mathrm n)|=\frac{\omega_\mathrm n}{\sqrt{1-\omega_\mathrm > n^2+\omega_\mathrm n^4}} >$$

ωₙ ist dabei ω/ωᵣ, also die auf die Resonanzfrequenz normierte Frequenz. Mit ωₙ=1 erhältst du die Amplitude an der Resonanzfrequenz, mit ωₙ=3 die der 3. Harmonischen. Wie man das Verhältnis aus beiden in dB umrechnet, ist dir sicher bekannt.

Guten Morgen!

Ich muss mich entschuldigen. Ich habe gedacht es gäbe eine allgemeine Lösung und habe das Bild vom Bandpass nur als Beispiel hochgeladen. Denn bei einem anders dimensionierten Bandpass (wenn R1 ungleich R3 usw. ist) funktioniert deine Lösung ja nicht mehr, jedenfalls bin ich scheinbar zu dumm dafür :/ In meinem Fall ist R1 = 64,9k R2 = 158k R3 = 64,9k Dieser Bandpass hat eine Güte von 5 und in der Simulation komm ich auch auf die -20dB.

C-hater schrieb:

Trivialste Trivialitäten. Wer sowas auch nur zu fragen wagt, kann eigentlich nur ein Troll sein. Und wenn er sich dann auch noch "Katja F." nennt, ist der Troll-Versuch doch mehr als überdeutlich.

Ja scheinbar sind meine Matheskills nicht ausreichend, dass ich solche trivialen Fragen stellen muss, aber wenn nicht im Forum, wo denn dann?

Rainer W. schrieb:

-20dB gegenüber was? Geht es um 20dB Dämpfung gegenüber der Grundfrequenz/Bandmitte oder gegenüber dem Eingangssignal.

Es geht um die Dämpfung gegenüber dem Eingangssignal :)

Rainer W. schrieb:

Katja F. schrieb:

Ich habe bereits einen aktiven Bandpass mit Mehrfachgegenkopplung vorliegen, dieser soll die 3. Harmonische mit -20dB dämpfen

-20dB gegenüber was? Geht es um 20dB Dämpfung gegenüber der Grundfrequenz/Bandmitte oder gegenüber dem Eingangssignal. Nur wenn die Transmission bei der Mittenfrequenz 1 ist, wären beide Betrachtungsweisen gleichwertig ;-)

Vorschlag: Logisch überlegen, was Sinn macht. Annahme: Eingang ist symm. Rechteck Puls mit der dritten Harmonischen, die etwa 9dB unter der Grundwelle fo liegt. Diese 3. Harmonische f3 soll durch ein Filter um mindestens 20 dB gegenüber fo gedämpft am Ausgang erscheinen. Dafür soll ein Bandpass eingesetzt werden. Da das Ausgangssignal durch Reduzierung der Amplitude von f3 "verbessert" werden soll, bleibt als einzig sinnvolle Interpretation doch nur die Reduzierung von f3 gegenüber fo am Ausgang des Filters - also in Bezug auf die Ausgangswelle fo - übrig, oder?
Dass "gefilterte" Spektrum am Ausgang soll doch die hier geforderten Eigenschaften aufweisen.

(Klar, im vorliegenden Fall mit der Mittenverstärkung von 0dB fällt der Unterschied weg - die Fragestellung ist aber doch auch von allgemeiner Bedeutung; jedenfalls wurde das hier ja als fehlende Info kritisiert)

Katja F. schrieb:

Denn bei einem anders dimensionierten Bandpass (wenn R1 ungleich R3 usw. ist) funktioniert deine Lösung ja nicht mehr, jedenfalls bin ich scheinbar zu dumm dafür :/

Wenn die Widerstände krumme Werte haben:

Yalu X. schrieb:

Für R1, R2 und R3 kannst du natürlich auch die Zahlenwerte einsetzen

Man kann das natürlich auch allgemein für beliebige R1, R2 und R3 ausrechnen, aber dann kommt bei der Bildung des Betrags der komplexen Übertragungsfunktion ein ziemlich unhandlicher Term heraus.

Katja F. schrieb:

In meinem Fall ist R1 = 64,9k R2 = 158k R3 = 64,9k Dieser Bandpass hat eine Güte von 5 und in der Simulation komm ich auch auf die -20dB.

Sicher, dass du diese Widerstandswerte richtig abgetippt hast? Mit den von dir angegebenen Werten komme ich weder auf die -20dB noch auf eine Güte von 5.

Nein, oh man natürlich hab ich da einen Fehler gemacht.

R2 = 1,62k

Katja F. schrieb:

R2 = 1,62k

Passt immer noch nicht. Mit welcher Formel hast du die Güte berechnet? Mit der aus dem Tietze & Schenk?

C-hater schrieb:

Nur partiell. Ich hasse gundsätzlich nur C und Idioten. Alles andere in dieser Welt hasse ich nicht, jedenfalls nicht von Hause aus.

Ich stimme dir bzgl. C 100% zu, bei den Idioten liesse sich noch handeln. ;-)

73 Wilhelm

Oh wow ok, hab für komplette Verwirrung gesorgt, ich bin es selber scheinbar auch! Ich habe zwei verschiedene Quellen, wo die Widerstände unterschiedlich beschriftet sind. Also nochmal von vorn:

R1 = 64,9k R2 = 158k R3 = 1,62k

Und ja, habe mit der Formel aus dem Tietze & Schenk gerechnet.

Katja F. schrieb:

Oh wow ok, hab für komplette Verwirrung gesorgt, ich bin es selber scheinbar auch! Ich habe zwei verschiedene Quellen, wo die Widerstände unterschiedlich beschriftet sind. Also nochmal von vorn:

R1 = 64,9k R2 = 158k R3 = 1,62k

Und ja, habe mit der Formel aus dem Tietze & Schenk gerechnet.

Katja - ist es wirklich so schwer, den Bandpass mit den richtigen und aktuellen Werten hier zu zeigen? Zuvor hast Du ganz andere Zahlenwerte genannt, die zur Güte Q=1 führen. Jetzt plötzlich wieder neue Zahlenwerte. Jetzt hab ich keine Lust mehr - und auch keine Zeit, um dauernd neu zu rechnen...sorry-

Hey ich glaube das ist hier alles auf freiwilliger Basis oder? Oder gibt es Geld oder sonstiges pro Antwort?

Sorry, ich weiß es war eine Verwirrung und auch alles sehr umständlich und ich bin auch dankbar für jede Hilfe aber wer keine Lust hat zu rechnen oder zu helfen oder was auch immer, dann fühl dich frei meinen Beitrag zu ignorieren.

Katja F. schrieb:

R1 = 64,9k R2 = 158k R3 = 1,62k

Ah, so sieht das schon ganz anders aus. In deinem letzten Beitrag schriebst du noch:

R2 = 1,62k

Yalu X. schrieb:

Man kann das natürlich auch allgemein für beliebige R1, R2 und R3 ausrechnen, aber dann kommt bei der Bildung des Betrags der komplexen Übertragungsfunktion ein ziemlich unhandlicher Term heraus.

Das nehme ich zurück. Die allgemeine Berechnung erfordert auch nicht viel mehr Schreiberei (halbe A4-Seite) als die Berechnung mit eingesetzten Werten. In der heutigen Zeit bietet sich aber auch der PC als Rechenhilfe an.

Das Ergebnis:

$$|A(\omega_\mathrm n)|=R_2\omega_\mathrm n\sqrt{\frac{R_3}{R_1(R_2(R_1+R_3)(\omega_\mathrm n^2-1)^2+4R_1R_3\omega_\mathrm n^2)}}$$

Bei ωₙ=3 ist die Dämpfung mit den obigen Widerstandswerten 20,8dB. Das sagt auch die Simulation.

Yalu X. schrieb:

Bei ωₙ=3 ist die Dämpfung mit den obigen Widerstandswerten 20,8dB. Das sagt auch die Simulation.

Gegenüber der Verstärkung bei fo=1kHz (etwa +2dB) gibt das dann sogar eine Unterdrückung von f3 um 22,8 dB.