Wenn dein Heimrouter Pakete ins Internet schickt, dann tragen die als Senderadresse die Adresse(n), die dir dein Provider gegeben hat. Nicht übermäßig anonym, man kann dich zumindest wiedererkennen.
Wenn ein Proxy dazwischen geschaltet ist, dann ändert er diese Adresse(n) in seine um. Also können Empfänger weiter draußen nicht mehr erkennen, woher die Pakete kommen. Für Empfänger sieht es so aus als wäre der Proxy die "Endstelle", von der die Pakete kommen. In Wahrheit kommen sie aber von deinem Heimrouter.
Das ist die Grundfunktion, von der der Proxy seinen Namen hat (engl. proxy = Stellvertreter), alles andere sind Optionen, Variationen oder Zusätze. Die Grundfunktion arbeitet auf Layer 3, genau wie die eines Routers. Höhere Layer sind aber möglich.
Ebenso wie bei Proxies gibt es auch bei Routern diverse Optionen, Variationen oder Zusätze. Und auch Mischformen zwischen beiden. Ein Vergleich zwischen "dem" Router und "dem" Proxy ist deswegen müßig: "Proxy" und "Router" sind Gummiwörter. Oft spielen auch noch Switchs (Layer 2) mit hinein: Dein Heimrouter enthält sehr wahrscheinlich einen.
Um genau zu verstehen, was diese drei Dinger im jeweiligen Einsatzfall tun, musst du wohl oder übel Fachliteratur studieren, zunächst mal welche über die Protokolle IP, UDP und TCP. Mit zwei oder drei Fragen und Antworten kommst du nicht weit, da bleibt es beim Spielen mit Vokabeln.