Diskrete Fouriertransformation - Kann rechnerischer Fehler nicht finden (ausführlich gerechnet)

Muss folgende Zeitfunktion allgemein diskret transformieren:

$$h[n]=\beta(-\alpha)^{n-L}\sigma[n-L]$$

Es handelt sich um den Fall, dass L > N ist.

Habe dies berechnet:

$$H[k]=\sum_{n=0}^{N-1}h[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}=\sum_{n=0}^{N-1}\beta (-\alpha)^{n-L}\sigma[n-L]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}$$

Dann die Grenzen geändert und den Sprung weggelassen:

$$H[k] = \beta \sum_{n=L}^{N-1}(-\alpha)^{n-L}e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}$$

Dann Grenzen wieder verschoben:

$$H[k] = \beta \sum_{n=0}^{N-1-L}(-\alpha)^{n}e^{-j\frac{2\pi k(n+L)}{N}}$$

Jetzt den Konstanten Teil der e Schwingung herausgehoben und den rest in 
der Wurzel eingeklammert unter einer Potenz geschrieben:

$$H[k] = \beta e^{-j\frac{2\pi kL}{N}} \sum_{n=0}^{N-1-L}\left(-\alpha e^{-j\frac{2\pi k}{N}} \right)^{n}$$

Jetzt habe ich die Summenformel für die endliche geometrische Reihe 
verwendet und die konstante Schwingung wieder hineinmultipliziert:

$$H[k] = \beta \frac{e^{-j\frac{2\pi kL}{N}}-(-\alpha)^{N-L}\left( e^{-j\frac{2\pi k}{N}} \right )^{N-L} e^{-j\frac{2\pi kL}{N}}}{1+\alpha e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}$$

Und zuguterletzt kürzen sich die E-Schwingungen im rechten Summanden des 
Zählers raus und es kommt insgesamt raus:

$$H[k] = \beta \frac{e^{-j\frac{2\pi kL}{N}}-(-\alpha)^{N-L}}{1+\alpha e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}$$

Ich habe dieses Beispiel jetzt 3 mal unabhänging voneinander gerechnet 
und das mit großer Aufmerksamkeit!! Jedoch behauptet die Lösung immer 
noch das Ergebnis sei:

$$H[k] = \beta \frac{e^{-j\frac{2\pi kL}{N}}+\alpha}{1+\alpha e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}$$

In diesem Fall habe ich alles Schritt für Schritt erläutert und bin auf 
eure Hilfe angewiesen. Ich kann nicht weiter vereinfachen auf diesem 
Niveau, also muss irgendwo ein Rechenfehler sein. Ich bin aber davon 
überzeugt, dass meine mathematischen Züge gerechtfertigt waren und alle 
gut begründet sind.

Hat irgendjemand eine Idee wo hier etwas falsch sein könnte?