Autokorrelationssequenz eines verrauschten Sinussignals

Schönen guten Tag zusammen.

Ich habe für die Uni eine Aufgabe zu lösen und zu präsentieren, bei der 
ich einfach nicht weiter komme. Zunächst gebe ich die Aufgabenstellung:

Ein Signal mit überlagertem weißem Rauschen der Form

$$x[n]=A\cos(\omega_0*n+\theta)+e[n]$$

mit

$$A \in R, \omega \in R.$$

Die Phasenverschiebung theta ist eine gleichverteilte Zufallsvariable im 
Bereich zwischen 0 und 2*\pi. Weiterhin wird angenommen, dass e[n] ein 
weißes Rauschen mit dem Mittelwert 0 und der Varianz (sigma_e)² ist.

a) Zeigen Sie, dass mit diesen Annahmen die Autokorrelationssequenz von 
x[n]

$$r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=\frac{ A^{ 2 } }{ 2 }\cos(\omega_0m)+\sigma_e^{2}\delta[m]$$

ist.

b) Zeigen Sie, dass mit den Ergebnissen aus a) das 
Leistungsdichtespektrum von x[n] im Frequenzbereich für eine Periode

$$P_x(\omega)=\frac{ A^{ 2 }\pi }{ 2 }[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]+\sigma_e^{2}, |\omega|\leq\pi$$

ist.



Ich beginne damit, dass ich für den Erwartungswert einsetze:

$$r_x[m]=E\{x[n]x[m+n]\}=E\{A^{2}\cos(\omega_0(n+m)+\theta)\cos(\omega_0n+\theta)\}$$

Nun hab ich das erste Problem. Ich kann entweder den Erwartungswert als 
Mittelwert des Signals berechnen:

$$E\{...\}=\frac{ 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi } A^{ 2 } \cos(\omega_0(n+m)+\theta)\cos(\omega_0n+\theta)d\theta$$

Hier bin ich mir vor allem mit dem Operator dtheta unsicher. Muss ich 
hier überhaupt über theta integrieren?
Ich könnte den Erwartungswert auch über die 
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bestimmen mit alpha = n:

$$E\{...\}= \int _{0}^{2\pi} \alpha f(\alpha)d\alpha$$

Da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Cosinusfunktion aber 
gleich 0 ist, komme ich damit ja auch nicht weiter.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben 
könnte.

Viele Grüße und vielen Dank,
Bastian