Widerstand zwischen zwei Punkten

NN schrieb:
> Wahrscheinlich 0
Wahrscheinlich nicht...
Bzw. nur, wenn bestimmte Widerstände 0 sind...

z. B. http://www.mathpages.com/home/kmath668/kmath668.htm

Es wurde nach der Diagonale über zwei benachbarte Quadrate gefragt; ich 
möchte hier jedoch nur mal die Diagonale über ein Quadrat betrachten und 
habe mit exakten Werten für endliche "Schachbretter" begonnen. Leider 
kann ich die Gesetzmässigkeit nicht erkennen (und erst recht nicht 
herleiten).
Die Diagonale des Quadrates in der Mitte des 3×3-R-Gitters hat z. B. den 
Widerstand Rdiag = 5÷7 ·R.
Die zweite Spalte enthält jeweils die Anzahl Widerstände R.

1

+-+---------+----------------+--------+

2

|n|2·n·(n+1)|           Rdiag| Rdiag÷R|

3

+-+---------+----------------+--------+

4

|1|        4|      1      ·R |1.000...|

5

|3|       24|     5÷7     ·R |0.714...|

6

|5|       60|   331÷495   ·R |0.668...|

7

|7|      112|235623÷360161·R |0.654...|

8

| |         |                |        |

9

|∞|         |     2÷π     ·R |0.636...|

10

+-+---------+----------------+--------+

Es ist zu erkennen, wie der Diagonalwiderstand des zentralen Quadrates 
mit wachsender Seitenlänge n gegen den Grenzwert Rdiag = 2÷π ·R strebt.

Guten Tag
Jetzt (~ 6½ Jahre später) habe ich die Berechnung des Widerstandes über 
die Diagonale (innerhalb eines) Quadrates nachvollziehen können. #7
https://www.techniker-forum.de/thema/widerstandsnetzwerk.107858/
schönen Tag

Hoho schrieb:
> Weshalb misst denn keiner einfach mal nach?

Die Praktiker sind noch alle beim Löten eines unendlich ausgedehnten 
Widerstandsnetz.

Nein, ich werde es nicht tun.
Nein, ich werde das 3fache Integral nicht auswerten.
Nein, ich werde es nicht tun.
Eher friert die Hölle zu.

Ja, dann kann ich mich bei Gockel bewerben und hab dann gratis Frühstück 
und Sch!*?... -Salär.
schönen Abend

Viel Spass!

Guten Tag
Zum dem in Posts zuvor erwähnten, unendlichen, kubischen 3D-Gitter wird 
hier 
https://physics.stackexchange.com/questions/167870/variation-of-infinite-grid-of-ideal-one-ohm-resistors-what-would-be-the-equival 
ein Papier von cserti 2000 zitiert.
Selbst bin ich beim Versuch, den Widerstand zwischen den Knoten 
beidseits einer Würfel-Diagonale zu berechnen, nur so weit wie im Bild 
anbei dargestellt gekommen. Dabei kann ich das mittlere Integral (über 
ß) wegen dem Parameter cos(alpha) nicht auswerten.
schönen Tag

Ich habe mal LTspice mit endlichen Widerstandswürfeln unterschiedlicher
Größe gefüttert und aus dem Simulationsergebnis den Gesamtwiderstand für
ein mittig liegendes Punktepaar bestimmt, das in x-, y- und z-Richtung
jeweils den Abstand 1 hat, also die Raumdiagonale eines Elementarwürfels
bildet.

Damit dieser Elementarwürfel mittig im Gesamtwürfel liegen kann, habe
ich nur ungeradzahlige Kantenlängen betrachtet: n = 1, 3, 5 ... 19.

Jeden dieser Würfel habe ich in zwei Varianten rechnen lassen:

1. Der normale Würfel mit 3·(n+1)²·n Einzelwiderständen, im Folgenden
   "offen" genannt. Dessen Gesamtwiderstand fällt streng monoton mit n,
   da das Hinzufügen weiterer Einzelwiderstände den Gesamtwiderstand nur
   verkleinern kann.

2. Der gemäß Ralfs Vorschlag vom 24.04. 15:50 zu einem vierdimensionalen
   Torus zusammengerollte Würfel mit 3·(n+1)³ Einzelwiderständen, im
   Folgenden "geschlossen" genannt. Dieser wächst für n≥3 streng
   monoton. Einen Beweis dafür habe ich zwar nicht, bin mir aber
   trotzdem sicher ;-)

Auf Grund der genannten Monotonieeigenschaften ist der Gesamtwiderstand
des offenen Würfels eine obere und der des geschlossen eine untere
Schranke für den Gesamtwiderstand des unendlichen Würfels. Wie man im
Diagramm erkennen kann, scheinen zudem beide gegen einen gemeinsamen
Grenzwert bei etwa 0,418 zu konvergieren.

Für n=20 liegen die beiden Werte (offen 0,418596, geschlossen 0,418182)
nur 0,1% auseinander, sie stellen also schon eine gute Näherung für den
unendlichen Würfel dar. Noch genauer ist der Mittelwert aus beiden. Er
beträgt 0,418389 und liegt damit nur 0,02% neben dem im Artikel von
Cserti genannten Wert von 0,418305.

Das Ganze stellt einen ausgesprochenen Härtetest für LTspice dar: Für
n=19 besteht der Würfel aus 22800 (offen) bzw. 24000 (geschlossen)
Einzelwiderständen. Entsprechend lang waren die Rechenzeiten, nämlich
1,5h (offen) bzw. 6h (geschlossen). Dass der offene Würfel trotz der
gleichen Anzahl von Knoten und der ähnlichen Anzahl von Widerständen um
den Faktor 4 schneller als der geschlossene berechnet wird, hängt wohl
damit zusammen, dass im offenen Fall das System durch eine Bandmatrix
beschrieben werden kann, für deren Berechnung es optimierte Verfahren
gibt.

LTspice macht offensichtlich von solchen Verfahren Gebrauch und hat sich
auch bzgl. Speicherverbrauch sehr gut geschlagen. Deswegen in Hoch auf
die Entwickler von Spice und LTspice!

Damit ist der Raum-Diagonal-Wert 0.418305 mehrfach bestätigt: wertvoll 
für Vergleiche mit anderen Methoden.
Hier ist der von Yalu X. zuvor erwähnte Cserti-Artikel: 
https://arxiv.org/abs/cond-mat/9909120
pdf S. 8, (1,1,1): 0.418305.

BTW, inzwischen versuchte ich, für die Auswertung des einige posts zuvor 
(25.04.2017 12:40) erwähnten 3fach -Integrals die {hierfür 
prädestinierte} Residuen-Methode anzuwenden, was für das innerste 
Integral funktioniert, aber beim mittleren Integral über ß komme ich 
wegen der Wurzeln im Nenner immer noch nicht weiter...

Danke Erich. Der Wert für (1,1,1) 0.418305 ist in dem von Dir erwähnten 
Papier auf S. 60 ebenfalls zu finden. Auf S. 62 wird erwähnt, dass der 
exakte Ausdruck das (als Pozenzreihe darstellbare) vollständige 
https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptisches_Integral K(...) (im Quadrat) 
enthält. Möglicherweise werde ich ein Programm schreiben, welches diesen 
Ausdruck numerisch ermittelt.

1

#include <stdio.h>

2

#include <math.h>

3

4

    /* g++ hw.cpp -o hw ; ./hw   ; rm hw */ 

5

6

7

  double K (double k) 

8

  { /* complete elliptic integral K(k) = F(pi/2;k) first kind */

9

    double const pi   = atan2 (0.0e0, -1.0e0);

10

    double       fn   = 1.0e0;   /*   n!  */

11

    double       f2n  = 1.0e0;   /* (2n)! */

12

    double       p2n  = 1.0e0;   /* 2^(2*n) */

13

    double       k2n  = 1.0e0;   /* k^(2*n) */

14

    double       _n   = 0.0e0;   

15

    double       _2n  = 0.0e0;   /* 2*n */

16

    double       res  = 0.0e0;

17

    for (int n = 0;   16 > n;  ++ n) {  /* converges fast */

18

      double const quo = f2n / (p2n * fn * fn);

19

      res += quo * quo * k2n;

20

      _2n += 1.0e0;

21

      f2n *= _2n;

22

      _2n += 1.0e0;

23

      f2n *= _2n;

24

      k2n *= k * k;

25

      p2n *= 4.0e0;

26

      _n  += 1.0e0;

27

      fn  *= _n;

28

   /* (void) fprintf (stdout, "n: %02d, res:  %0.14lf\n", n, res);  */

29

    }  /* n */

30

31

    res *= 0.5e0 * pi;

32

    return res;

33

  }  /* K */

34

35

  int main (int argc, char const * argv [])

36

  {

37

    double const pi = atan2 (0.0e0, -1.0e0);

38

    double const p1 =  9.0e0/8.0e0; 

39

    double const p2 = -3.0e0/4.0e0; 

40

    double const p3 =  0.0e0;

41

    double const k0 = (2.0e0-sqrt(3.0e0)) * (sqrt(3.0e0)-sqrt(2.0e0)); 

42

    double const K_k0 = K (k0);

43

    double const g0 = 4.0e0/(pi*pi) * (18.0e0 +12.0e0*sqrt(2.0e0) -10.*sqrt(3.0e0) -7.0e0*sqrt(6.0e0)) * K_k0*K_k0;

44

    double const r111 = p1 * g0 + p2 /(pi*pi*g0) + p3;

45

 /* (void) fprintf (stdout, "pi:    %0.14lf\n", pi);   */

46

 /* (void) fprintf (stdout, "k0:    %0.14lf\n", k0);   */

47

 /* (void) fprintf (stdout, "K_k0:  %0.14lf\n", K_k0); */

48

    (void) fprintf (stdout, "g0:    %0.14lf\n", g0); 

49

    (void) fprintf (stdout, "r111:  %0.14lf\n", r111); 

50

51

    return 0;

52

  }  /* main */

output:

1

g0:    0.50546201971733  

2

r111:  0.41830531092188

Die Werte entsprechen denen in von Erich zitiertem script S. 61 bzw. 60.