Widerstands-Netzwerk berechnen (Gleichungssystem nicht lösbar)

Warum so kompliziert? Löse es durch Überlagerung. Also Ströme für beide 
Spannungsquellen getrennt ermitteln und dann addieren.

Thomas schrieb:

> ich versuche grade ein Widerstandsnetzwerk aus 3 Maschen und 2 Knoten zu
> berechnen:

> Allerdings ist das Gleichungssystem nicht lösbar weil die Determinante 0
> ist.

Widerstandsnetzwerke lassen sich recht bequem durch Stern <-> Dreieck-
Umwandlungen vereinfachen und dann berechnen. Ich vermute mal, das
die Herleitung der entsprechenden Formeln nicht ganz einfach ist, aber
man findet die fertigen Formeln in jeder besseren Formelsammlung. :-)

I1 + I2 + I3 = 0
I3 + I4 + I5 = 0

R1*I1 - R2*I2 -U1 = 0
R2*I2 - R3*I3 + R4*I4 = 0
-R4*I4 + R5*I5  +U2 = 0

Du musst einmal die Stromrichtung festlegen und dann immer beibehalten.
Beispiel I3: Der zeigt in den linken Knoten und kommt aus dem rechten 
Knoten.


Nachtrag
Ich habe beim kopieren übersehen, dass ich eine riesige Zeichenfläche 
hatte. Leider kann man Anhänge nicht löschen.

Meine Formeln mit Stromrichtung siehe Anhang.

I1 + I2 + I3 = 0
I3 + I4 + I5 = 0

R1*I1 - R2*I2 -U1 = 0
R2*I2 - R3*I3 + R4*I4 = 0
-R4*I4 + R5*I5  +U2 = 0

Mit meinen Formeln berechnet.

GNU Octave

>> R1=1;R2=2;R3=3;R4=4;R5=5;U1=1;U2=2;
>> G=[1,1,1,0,0;0,0,1,1,1;R1,-R2,0,0,0;0,R2,-R3,R4,0;0,0,0,-R4,R5]
G =

   1   1   1   0   0
   0   0   1   1   1
   1  -2   0   0   0
   0   2  -3   4   0
   0   0   0  -4   5

>> U=[0;0;U1;0;-U2]
U =

   0
   0
   1
   0
  -2

>> I=inv(G)*U
I =

   0.308176
  -0.345912
   0.037736
   0.201258
  -0.238994


Das Ganze dann noch mit LTspice zur Kontrolle simuliert. Beachte die 
Stromanzeige von I1 in der Statusleiste.
Mit der Schaltplandatei(.asc) kannst du selber simulieren.
Die Widerstände habe ich so rotiert, dass LTspice die gleiche 
Stromrichtung annimmt wie in meiner Definition in Aufgabe.gif.

Nachtrag
In LTspice kann man auch die Ströme und Spannungen noch einblenden.

Thomas schrieb:
> Ich dachte es müsste einen Weg geben, die Lösung immer über die
> Cramersche Regel zu berechnen, aber das geht anscheinend nicht immer.

Jedes eindeutig lösbare LGS ist sowohl mittels Cramerscher Regel als 
auch mittels direkter Berechnung per Inverser lösbar (die beiden 
Verfahren sind identisch).

Bei einer 5x5 Matrix macht es keinen Spass das mit Cramerscher Regel 
oder inverser Matrix von Hand zu rechnen. Wenn man wirklich von Hand 
rechnen soll, dann mit der Gaußschen Eliminationsmethode. Mit der 
Methode lässt sich das mit erträglichem Aufwand berechnen.

Die Cramersche Regel habe ich nur während meiner Schulausbildung 
benutzt. Damals dachte ich noch das wäre ja ein Superverfahren. 
Spätestens bei E-Technik Aufgaben stellt man dann fest das das völlig 
unübersichtlich wird. Viel praxisgerechter ist das Gaussche 
Eliminationsverfahren. Deshalb empfehle ich das für alle 
Gleichungssysteme egal ob mit 2 oder mehr Unbekannten.

Loddar schrieb:
> Thomas schrieb:
>> Allerdings bleibt es auch mit
>> Vorzeichen unlösbar wenn man die Cramersche Regel verwendet.
>
> dann hast du beim Berechnen der Determinante einen Fehler gemacht.

Das liegt daran, dass das Gleichungssystem von Thomas 
(Vorzeichen-)Fehler hat.

In meinem Zahlenbeispiel ist die Determinante ungleich 0.

>> det(G)
ans =  159

> Thomas schrieb:
>> Ok. Ich hab nochmal mit den richtigen Vorzeichen gerechnet und dann ist
>> das LGS mit dem Gauß-Algorithmus eindeutig lösbar.

Das bedeutet nur, dass jetzt das LGS vermutlich stimmt. Er hat es aber 
nicht nochmals mit der Determinantenmethode berechnet, weil das unnötig 
aufwendig ist.

Helmut S. schrieb:

> Das bedeutet nur, dass jetzt das LGS vermutlich stimmt. Er hat es aber
> nicht nochmals mit der Determinantenmethode berechnet, weil das unnötig
> aufwendig ist.

Mich würde mal interessieren, ob diese eher aufwendigen Rechenverfahren
das gleiche Ergebnis wie die triviale Berechnung per Sterndreieck-
Umwandlung ergeben.

Die Berechnung mittels Überlagerungsverfahren wäre wahrscheinlich die 
schnellste Methode bei dieser Aufgabe. Allerdings war es das Ziel diese 
Aufgabe mit den allgemeinen Kirchhoffschen Regeln zu lösen.