Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Widerstands-Netzwerk berechnen (Gleichungssystem nicht lösbar)


von Thomas (Gast)


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Guten Tag,

ich versuche grade ein Widerstandsnetzwerk aus 3 Maschen und 2 Knoten zu 
berechnen:
1
          R1           R3           R5
2
         ___          ___          ___
3
     | -|___|----o---|___|---o----|___|---|
4
     |           |           '            |
5
    /+\         .-.         .-.          /+\
6
   (   )      R2| |       R4| |         (   )
7
    \-/         | |         | |          \-/ U2
8
  U1 |          '-'         '-'           |
9
     |           |           |            |
10
     |-----------o-----------o--------- --|
11
(created by AACircuit v1.28.6 beta 04/19/05 www.tech-chat.de)

ich komme dabei auf folgende 5 Gleichungen:
1
I1 + I2 + I3 = 0
2
I3 + I4 + I5 = 0
3
R1*I1 + R2*I2 = -U1
4
R2*I2 + R3*I3 + R4*I4 = 0
5
R4*I4 + R5*I5 = -U2

Allerdings ist das Gleichungssystem nicht lösbar weil die Determinante 0 
ist.

Koeffizentmatrix:
1
1  1  1  0  0   0
2
0  0  1  1  1   0
3
R1 R2 0  0  0   -U1
4
0  R2 R3 R4 0   0
5
0  0  0  R4 R5  -U2

Was mach ich falsch?

Im Internet finde ich nur 2 Maschen + 1 Knoten, was ich gelöst bekomme.
Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir helfen könntet.

Thomas

: Verschoben durch User
von Georg G. (df2au)


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Warum so kompliziert? Löse es durch Überlagerung. Also Ströme für beide 
Spannungsquellen getrennt ermitteln und dann addieren.

von Harald W. (wilhelms)


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Thomas schrieb:

> ich versuche grade ein Widerstandsnetzwerk aus 3 Maschen und 2 Knoten zu
> berechnen:

> Allerdings ist das Gleichungssystem nicht lösbar weil die Determinante 0
> ist.

Widerstandsnetzwerke lassen sich recht bequem durch Stern <-> Dreieck-
Umwandlungen vereinfachen und dann berechnen. Ich vermute mal, das
die Herleitung der entsprechenden Formeln nicht ganz einfach ist, aber
man findet die fertigen Formeln in jeder besseren Formelsammlung. :-)

von Thomas (Gast)


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Das geht natürlich auch. Aber ich würde ganz gerne verstehen was ich 
hier falsch mache. Wahrscheinlich beim aufstellen der Gleichungen.

von Helmut S. (helmuts)


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I1 + I2 + I3 = 0
I3 + I4 + I5 = 0

R1*I1 - R2*I2 -U1 = 0
R2*I2 - R3*I3 + R4*I4 = 0
-R4*I4 + R5*I5  +U2 = 0

Du musst einmal die Stromrichtung festlegen und dann immer beibehalten.
Beispiel I3: Der zeigt in den linken Knoten und kommt aus dem rechten 
Knoten.


Nachtrag
Ich habe beim kopieren übersehen, dass ich eine riesige Zeichenfläche 
hatte. Leider kann man Anhänge nicht löschen.

: Bearbeitet durch User
von Loddar (Gast)


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Georg G. schrieb:
> Warum so kompliziert? Löse es durch Überlagerung. Also Ströme für beide
> Spannungsquellen getrennt ermitteln und dann addieren.

vielleicht will er einfach üben

@Thomas
du beachtest die Vorzeichen der Ströme überhaupt nicht,
mal dir erst Mal überall die Stromrichtungen an und setz dann noch mal 
die Gleichungen an

von Thomas (Gast)


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Die Richtung der Ströme müsste doch erstmal egal sein, da das ja nur ein 
paar Vorzeichen ändert. Das Problem müsste doch eigentlich sein, dass zu 
viele Nullen in der Koeffizienten Matrix vorkommen.

Aber trotzdem Danke, daran hatte ich gar nicht gedacht.

von Loddar (Gast)


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Thomas schrieb:
> Die Richtung der Ströme müsste doch erstmal egal sein, da das ja nur ein
> paar Vorzeichen ändert.

die ist auch egal, aber du musst sie beim aufstellen der Gleichungen 
beibehalten

von Jawa (Gast)


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Und dann sind's 3 Maschen und 3 Knoten.

von Loddar (Gast)


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Jawa schrieb:
> Und dann sind's 3 Maschen und 3 Knoten.

und damit
k....Anzahl der Knoten
z....Anzahl der Zweige
k-1.......Anzahl der unabhängigen Knotengleichungen
z-k+1...Anzahl der unabhängigen Maschengleichungen

Zweige sind übrigens nicht die Maschen

von Thomas (Gast)


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Ok. Ich hab nochmal mit den richtigen Vorzeichen gerechnet und dann ist 
das LGS mit dem Gauß-Algorithmus eindeutig lösbar. Ohne Vorzeichen gibt 
es unendlich viele Lösungen (logisch). Allerdings bleibt es auch mit 
Vorzeichen unlösbar wenn man die Cramersche Regel verwendet.

Ii = det(Ai) / det(A)

Ich dachte es müsste einen Weg geben, die Lösung immer über die 
Cramersche Regel zu berechnen, aber das geht anscheinend nicht immer.

Vielen Dank an Alle.
mfg Thomas

von Helmut S. (helmuts)


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Meine Formeln mit Stromrichtung siehe Anhang.

I1 + I2 + I3 = 0
I3 + I4 + I5 = 0

R1*I1 - R2*I2 -U1 = 0
R2*I2 - R3*I3 + R4*I4 = 0
-R4*I4 + R5*I5  +U2 = 0

Mit meinen Formeln berechnet.

GNU Octave

>> R1=1;R2=2;R3=3;R4=4;R5=5;U1=1;U2=2;
>> G=[1,1,1,0,0;0,0,1,1,1;R1,-R2,0,0,0;0,R2,-R3,R4,0;0,0,0,-R4,R5]
G =

   1   1   1   0   0
   0   0   1   1   1
   1  -2   0   0   0
   0   2  -3   4   0
   0   0   0  -4   5

>> U=[0;0;U1;0;-U2]
U =

   0
   0
   1
   0
  -2

>> I=inv(G)*U
I =

   0.308176
  -0.345912
   0.037736
   0.201258
  -0.238994


Das Ganze dann noch mit LTspice zur Kontrolle simuliert. Beachte die 
Stromanzeige von I1 in der Statusleiste.
Mit der Schaltplandatei(.asc) kannst du selber simulieren.
Die Widerstände habe ich so rotiert, dass LTspice die gleiche 
Stromrichtung annimmt wie in meiner Definition in Aufgabe.gif.

Nachtrag
In LTspice kann man auch die Ströme und Spannungen noch einblenden.

: Bearbeitet durch User
von Marian (phiarc) Benutzerseite


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Thomas schrieb:
> Ich dachte es müsste einen Weg geben, die Lösung immer über die
> Cramersche Regel zu berechnen, aber das geht anscheinend nicht immer.

Jedes eindeutig lösbare LGS ist sowohl mittels Cramerscher Regel als 
auch mittels direkter Berechnung per Inverser lösbar (die beiden 
Verfahren sind identisch).

von Helmut S. (helmuts)


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Bei einer 5x5 Matrix macht es keinen Spass das mit Cramerscher Regel 
oder inverser Matrix von Hand zu rechnen. Wenn man wirklich von Hand 
rechnen soll, dann mit der Gaußschen Eliminationsmethode. Mit der 
Methode lässt sich das mit erträglichem Aufwand berechnen.

Die Cramersche Regel habe ich nur während meiner Schulausbildung 
benutzt. Damals dachte ich noch das wäre ja ein Superverfahren. 
Spätestens bei E-Technik Aufgaben stellt man dann fest das das völlig 
unübersichtlich wird. Viel praxisgerechter ist das Gaussche 
Eliminationsverfahren. Deshalb empfehle ich das für alle 
Gleichungssysteme egal ob mit 2 oder mehr Unbekannten.

: Bearbeitet durch User
von Loddar (Gast)


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Thomas schrieb:
> Allerdings bleibt es auch mit
> Vorzeichen unlösbar wenn man die Cramersche Regel verwendet.

dann hast du beim Berechnen der Determinante einen Fehler gemacht.

von Helmut S. (helmuts)


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Loddar schrieb:
> Thomas schrieb:
>> Allerdings bleibt es auch mit
>> Vorzeichen unlösbar wenn man die Cramersche Regel verwendet.
>
> dann hast du beim Berechnen der Determinante einen Fehler gemacht.

Das liegt daran, dass das Gleichungssystem von Thomas 
(Vorzeichen-)Fehler hat.

In meinem Zahlenbeispiel ist die Determinante ungleich 0.

>> det(G)
ans =  159

von Loddar (Gast)


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Helmut S. schrieb:
> Das liegt daran, dass das Gleichungssystem von Thomas
> (Vorzeichen-)Fehler hat.

kann nicht sein den er schrub:

Thomas schrieb:
> Ok. Ich hab nochmal mit den richtigen Vorzeichen gerechnet und dann ist
> das LGS mit dem Gauß-Algorithmus eindeutig lösbar.

von Helmut S. (helmuts)


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> Thomas schrieb:
>> Ok. Ich hab nochmal mit den richtigen Vorzeichen gerechnet und dann ist
>> das LGS mit dem Gauß-Algorithmus eindeutig lösbar.

Das bedeutet nur, dass jetzt das LGS vermutlich stimmt. Er hat es aber 
nicht nochmals mit der Determinantenmethode berechnet, weil das unnötig 
aufwendig ist.

von Harald W. (wilhelms)


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Helmut S. schrieb:

> Das bedeutet nur, dass jetzt das LGS vermutlich stimmt. Er hat es aber
> nicht nochmals mit der Determinantenmethode berechnet, weil das unnötig
> aufwendig ist.

Mich würde mal interessieren, ob diese eher aufwendigen Rechenverfahren
das gleiche Ergebnis wie die triviale Berechnung per Sterndreieck-
Umwandlung ergeben.

von Loddar (Gast)


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Harald W. schrieb:
> Mich würde mal interessieren, ob diese eher aufwendigen Rechenverfahren
> das gleiche Ergebnis wie die triviale Berechnung per Sterndreieck-
> Umwandlung ergeben.

wenn ein Widerspruch rauskäme wäre mindestens eines der beiden Verfahren 
falsch.

Und wie berechnet man mit der Sterndreieck-Umwandlung z.B. den Strom 
durch R3

Das Verfahren mit Maschen- und Knotengleichungen wird man natürlich 
nicht von Hand ausrechnen, aber dafür wurden ja Computer erfunden.

von Helmut S. (helmuts)


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Die Berechnung mittels Überlagerungsverfahren wäre wahrscheinlich die 
schnellste Methode bei dieser Aufgabe. Allerdings war es das Ziel diese 
Aufgabe mit den allgemeinen Kirchhoffschen Regeln zu lösen.

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