Facharbeit: vollst. Induktion anhand exempl. Beispiele

vllt. habt ihr etwas aus: Analysis, Stochastik, ...
Arithmetik (Unendliche Menge von Primzahlen) und
Geometrie (Diagonalen eines konvexen n-Ecks) habe ich schon

Mir ist da dunkel aus dem Mathematikunterricht in Erinnerung, dass es
hier nicht um die elektromagnetische Induktion geht , sondern um eine
mathematische Beweisführung für eine Behauptung, nach der Methode:
 1. Beweis der Gültigkeit für kleine n
 2. Schluß von n auf n+1
 3. damit der Nachweis, dass es für beliebig große n gilt
ist das so korrekt?

Jupp, sollte hinkommen. Beliebt sind doch immer Summenformeln, wie
1+2+3+...n oder 1+2²+3²+...+n²

Stimmt, aber ich dachte, 2 Quellen sind besser als eine, oder?

@Cristoph, stimmt

@Frank, danke gutes Beispiel

Hallo

In einen Koffer passen unendlich viele Briefmarken.
Beweis:

1 Marke passt hinein.
Ist der Koffer voll gepackt = n, dann passt bestimmt noch eine hinein =
n+1

Also passen unendlich viele hinein. q.e.d.

bg

Alle ungeraden Zahlen natürlichen Zahlen > 2 haben sind prim.

3? Stimmt.
3+2? Stimmt.
3+2+2? Stimmt.
3+2+2+2? Stimmt.
3+2+2+2+2? Stimmt.
3+2+2+2+2+2? Stimmt.

q.e.d.

Das schöne ist: Bei der Induktion kann man sogar schon eher aufhören
breitgrins

@mh : 3 + 2 + 2 + 2 = 6 und das ist bei mir keine Primzahl ;-)

Viel Schöner ist doch diese Beispiel :
Ein Läufer und eine Schildkröte machen ein Rennen über die 100 m. Da
die Schildkröte nur 1/3 so schnell laufen kann, wie der Läufer bekommt
sie 30m Vorsprung.
Der Startschuss fällt und es geht los. Wenn der Läufer jetzt an der
Stelle ankommt, wo vorher die Schildkröte war, dann ist die ja schon
1/3 * 30m = 10m weiter. Gut, wenn der Öäufer dann 10m weiter ist, dann
ist die Schildkröte schon wieder 10/3m weiter vorne. Das geht jetzt
immer so weiter.
Fazit : Der Läufer holt die Schuildkröte niemals ein !

Stimmt das wohl ?!

MfG, Daniel.

Äh wollte sagen 3 + 2 + 2 + 2 = 9 !
Schlimmer Fehler !

MfG, Daniel.

Wie wär's damit:

x^n+y^n=z^n hat keine Lösungen für n>2.

Das kann man bestimmt auch über Induktion lösen. ;-) Müsstest du nur
selbst herleiten.

Hallo

zu den Primzahlen: 9 ist ein Messfehler!

@Daniel:

Natürlich holt der Läufer die Schildkröte ein:


  s_n = Position der Schildkröte zum Zeitindex 'n'
  l_n = Position des Läufers zum Zeitindex 'n'.
  t_n = Verstriche Zeit seit dem Start
  v   = Geschwindigkeit Läufer
  1/3 v = Geschwindigkeit Schildkröte


Startbedingung:


  s_0 = 30

  l_0 = 0

  t_0 = 0


Zustand zum Zeitindex 'n':


            s_(n-1) - l_(n-1)
  delta_n = -----------------
                  v

  t_n = t_(n-1) + delta_n

  s_n = s_(n-1) + delta_n * 1/3 * v

  l_n = l_(n-1) + delta_n * v


Das ganze für 'n -> oo' ergibt:


  t_oo = 45 / v

  s_oo = l_oo = 45


Nach 45 Meter ist die Schildkröte vom Läufer eingeholt worden. Das
dauert eben 45 / v.