Für ein Scannersystem habe ich vor Jahren eine Rotationsabbildung
generiert, die einen Punkt mit möglichst hoher Geschwindigkeit über eine
Fläche führen kann, weil die existente Lösung minderwertig war. Das habe
ich aktuell wieder hervorgeholt, um die Vorschrift für ein darstellendes
System zu nutzen. Es geht um die Erzeugung eines wachsenden Kreises,
bzw. eines rotierenden Punktes.
Herausgekommen ist eine Schnecke, deren Punkte eine überraschend
regelmässige Position besitzen. Es gibt mehrere Geraden durch die Punkte
und obwohl es eine binäre Zahl ist, beginnen die Punkte 64, 128 und 256
jeweils am Beginn eines Viertels.
Die sich aus der Bildungsvorschrift ergebenden Parameter sahen mir sehr
verdächtig aus und intuitiv kam ich auf folgendes Resultat für
äquidistante Punkte, die sich nicht überlappen und die Fläche
gleichmässig füllen.
Die Frage ist nun, ist das Zufall oder Einbildung oder ist der
Zusammenhang zwangsläufig?
Wer kennt sowas oder kennt Bildungsvorschriften für solche Fälle?
Ich habe mal recherchiert und nichts gefunden.
Ich habe es nun auch für ein 512er-System durchgespielt. Erstaunlich
finde ich die optischen Wölbungseffekte, die entstehen, wenn man
rechteckige Marker einsetzt. Dort setzt sich die Regelmässigkeit auch
fort, allerdings ist der Startpunkt der 512 nicht mehr an einer
Viertelbegrenzung. Also das scheidet als Regel erstmal aus.
Ich habe bei der Vorgabe von PI und der Eulerzahl ein wenig grosszügig
gerundet und gefunden, dass die Schnecke minimal rotiert, wenn man
exaktere Werte einsetzt. Ich bin jetzt nicht mehr so sicher, ob das
deterministische Werte sind - jedenfalls, was die Regelmässigkeit
gegenüber Binärzahlen angeht. Diese bedürfen einer Multiplikation, die
geringfügig unterhalb des Wertes Pi*Pi/e liegt.
In jedem Fall eignet sich die so entstehende Schnecke schon mal als als
Positionsvorgabe für eine entsprechende LED-Applikation, wer sowas
braucht.
Wie man sie ins EAGLE reinkriegt, steht hier:
Beitrag "Re: EAGLE: Bauteile schneckenförmig platzieren"
Ja, freilich - man braucht nur genügend krumme Werte nehmen. Dann
bekommt man aber nicht mehr das, was ich haben wollte. Der eigentliche
Ansatz war, die Punkte so zu verteilen, dass sie praktisch in allen
Richtungen äquidistant sind. Es geht da um die statistische
Flächenabdeckung. Der Vortrieb im Radius pro Schleife muss also der
anteiligen Kreisbogenlänge entsprechen. Dass das herzustellen sein muss,
ist klar und dass dort Kreiszahlen auftauchen auch. Verwunderlich fand
ich nur, dass ausgerechnet zu den binären Startwerten 90 Grad-Winkel
getroffen worden zu sein schienen. Ausserdem ergaben sich die
geradzahligen Durchlaufwerte für eine Runde zu 6,12,18,24 ,,,
Bezüglich der schönen mathematischen Zusammenhänge muss ich aber etwas
zurückrudern- irgendwie scheint da ein kleiner Offset drinzustecken. Es
kann aber auch sein, dass Excel den Sinus nicht richtig berechnet. Muss
mal weiter probieren.
Habs mir nochmal angeschaut, die Parameter aus dem OP fallen komplett
vom Himmel und scheinen schlicht und einfach geraten :-)
Für die optimale Überdeckung mit n quadratischen Kacheln der
Kantenlänge h stellt sich die Kreisfläche A folgendermaßen dar:
Somit gilt für den Raduis:
Für den Winkel gilt
und damit
Der Winkel ist also unabhängig von h, welches nur als Skalenfaktor
agiert — ein größeres h wirkt wie ein Zoom.
Wie man am angehängten Bild sieht, ergeben die Kacheln keine geraden
Linien.
Der Vollständigheit wegen hier noch die Herleitung des Parameters für
die regelmäßige Anordnung der Punkte.
Bei der regelmäßigen Anordnung kommen pro Umlauf 6 Punkte hinzu. Für die
Anzahl n bedeuted das:
Wegen
ergibt sich für n
Vernachlässigung der Terme erster Ordnung und Umstellen nach φ bringt:
Die Punkte im OP liegen ähnlich, weil — warum auch immer — gilt
Der andere Skalenfaktor bei r, nämlich 2/π anstatt 1/sqrt(π), bewirkt
wie oben erklärt nur eine lockerere Anordnung der Punkte im Sinne eines
Zoomfaktors. Wegen
sitzen die Punkte weiter auseinander als bei der optimalen Anordnung.
Anbei nochmal das Bild mit optimaler Anordnung der Punkte, jedoch so
eingefärbt wie bei der regelmäßigen Anordnung. Die braunen Linien sind
zu Spiralarmen verzogen wegen
Johann L. schrieb:> Habs mir nochmal angeschaut, die Parameter aus dem OP fallen komplett> vom Himmel und scheinen schlicht und einfach geraten :-)
Ja und Nein, sie ergaben sich einst aus einer Optimierung für eine
konkrete Anwendung. Dabei kommt es infolge der Vorwärtsbewegung zu einer
optischen Verschmierung in Richtung der Schnecke und einer nur geringen
Unschärfe zwischen den Bahnen i. A. der Belichtungszeit. Daher auch
dies:
>sitzen die Punkte weiter auseinander als bei der optimalen Anordnung.
Die Parameter habe ich dann optisch eingestellt, soweit Excel das
zuliess und spontan gesehen, dass sich scheinbar die o.g. Verhältnisse
ergeben. Beim Ausprobieren entstand dann das erste Muster. Es war halt
auffällig, dass ausgerechnet die Binärzahlen auf ganzzahligen
90Grad-Stellen zu sietzen schienen. Das stammt allerdings für höhere
Werte nicht mehr.
Und wie Du aufgezeigt hast, sehen die Werte für den mathematisch
sauberen Fall der unendlichen Schnecke etwas anders aus.
Allerdings ergbenen sich dabei auch nur scheinbar perfekte Strukturen:
Die Spiralen in Deinem untersten braunen Diagramm zeigen das Problem:
Bei einem Umlauf von Spirale zu Spirale gibt es immer irgendwo einen
Bruch. Verfolgt man z.B. die Abstände zwischen den jeweils 2.ten Punkten
der dunkelbraunen Spiralarmen, so ist immer ein Abstand von 1
dazwischen, aber links oben sind es 2. Wäre es nicht so, wäre es ja auch
ein geschlossenes System aus Ringen.
Eine eigene Frage?
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Stell sie in einem eigenen Thread – dort lesen mehr Leute mit, und sie wird öfter und schneller beantwortet.
binaere-led-schnecke.gif
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