Umkehrfunktion von Sinus

Die Umkehrfunktion vom sin ist der asin, aber das hilft dir wegen dem x 
hier nicht viel. Ich glaube nicht dass die Gleichung analytisch lösbar 
ist. Mach eine Tabelle oder verwende ein numerisches Verfahren.

Helfer schrieb:
> Stelle die Funktion nach x um.
Das geht halt nicht.

> Ist dies nicht möglich so gibt es eine
> Umkehrfunktion.. Du hast y(x) und möchtest x(y) haben.
Die gibt es natürlich weil die Funktion injektiv ist aber es gibt keinen 
analytischen Ausdruck für diese Funktion.

Georg schrieb:
> y=0.5*x - 0.5*sin(x)   im Bereich von 0 bis Pi

Wie genau?

Ich würde mit Excel C-Code für 'ne Lookup-Tabelle generieren. Falls man 
keinen Bock auf Mathe hat, geht vielleicht auch "Zielwertsuche".

PS: Schon mal nach "Umkehrfunktion sin (x) + x" gesucht? Ich habe 
spontan nix fertiges gefunden.

Georg schrieb:
> Aber ich benötige eine große Auflösung
Gibts das "große" auch in Zahlen? Wie genau willst du rechnen? Oder 
besser: wie genau musst du rechnen?

So wie ich das sehe, kann man bei dieser Funktionsehr gut mit 
Stützpunkten und linearer Interpolation rechnen. Dann muss die Tabelle 
nicht 64k Stützpunkte für 16 Bit Genauigkeit haben...

Possetitjel schrieb:
> Georg schrieb:
> Nochmal kurz zum Urschleim zurück: Die rein mathematische
> Lösung Deines Problems ist ganz sicher über eine Reihen-
> entwicklung (Taylor-Reihe) machbar.
>
> Deine Umkehrfunktion käme dort auch in Form einer Potenzreihe
> heraus - aber das würde Dir nicht viel nützen, weil es recht
> langatmig sein kann, jedesmal x Glieder dieser Potenzreihe
> auszurechnen und zu addieren.
Die Potenzreihe wird aber vermutlich nicht global konvergieren. 
Mindestens mal nicht in 0, da ist die Umkehrfunktion nämlich glaube ich 
nicht stetig. Außerdem konvergieren Potenzreihen typischerweise sehr 
langsam wenn man weit vom Entwicklungspunkt entfernt ist, sodass man 
mindestens mehrere Potenzreihen braucht. Ich halte diese Strategie in 
der gebenen Situation für generell ungeeignet.

> Ich würde daher die Hau-Ruck-Lösung für den harmonischen
> Grobschmied bevorzugen: (Wenige) Stützstellen tabellieren
> und zwischen den Stützstellen interpolieren.
> Die Idee läuft - anders formuliert - darauf hinaus, Deine
> Umkehrfunktion bereichsweise durch Geraden bzw. durch
> Parabeln 3. Grades anzunähern.
Also eine Tabelle.

Ein Problem ist dass die Umkehrfunktion für x=y=0 eine Singularität 
(Verzweigungspunkt) hat:

divergiert für x = 0

Es gibt keine geschlossene Lösung für diese Gleichung. Weiß ich. ;)

Johann L. schrieb:
> Ein Problem ist dass die Umkehrfunktion für x=y=0 eine Singularität
> (Verzweigungspunkt) hat:
>

> divergiert für x = 0

...die Singularität in (0,0) kann vermieden werden, wenn stattdessen 
folgende Funktion betrachtet wird:
 

Dieses f stimmt gut mit einer Ursprungsgeraden überein; die 
entsprechende Umkehrfunktion ist also gut katalogisierbar :-)

Welchen Zweck hat denn diese Funktion?
Vielleicht gibt es ja eine andere, umkehrbare Funktion, die den gleichen 
Zweck erfüllt?

Möglich ist auch eine Iteration wie z.B:
 

Vorteil:  Einfach auszuwerten
Nachteil: Funktioniert nicht für y=0
          Funktioniert nicht gut für kleine y
          Nur lineare Konvergenz

______________________________________

 

Vorteil:  Quadratische Konvergenz
Nachteil: Funktioniert nicht für y=0
          Funktioniert nicht gut für kleine y
          Komplizierter auszuwerten als 1. Iteration


Mit der 2. Iteration findet man z.B. mit einer Genauigkeit von 1e-8 
dass:

f(1.083692) = 0.1  in 6 Iterationen
f(1.934563) = 0.5  in 5     "
f(2.554196) = 1.0  in 4     "
f(3.070767) = 1.5  in 2     "

Georg schrieb:

> DAn eine Tabelle habe ich auch
> schon gedacht. Aber ich benötige eine große Auflösung, sodass die
> Tabelle sehr groß werden würde

Tabelle plus Interpolation? Und nicht vergessen:
Auflösung ist nicht gleich Genauigkeit.

Johann L. schrieb:
>

> Vorteil:  Quadratische Konvergenz
> Nachteil: Funktioniert nicht für y=0
>           Funktioniert nicht gut für kleine y

Das Problem für kleine y lässt sich mit einem anderen Startwert lösen:

Damit erhält man ein effektives numerisches Verfahren zur Invertierung 
von f(x) = (x - sin x)/2.  Offenbar erlaubt f eine Darstellung der 
Gestalt

mit einer rationalen Potenzreihe g(x).  Die Koeffizienten von g erhält 
man durch Ensetzung von g in f und Koeffizientenvergleich:

Indem man dann x durch die Kubikwurzel von 12x ersetzt ergibt sich eine 
Entwicklung für die Umkehrfunktion von f:

Cooles Forum. ;-) Seit dem 24.02.2016 hat man vom TO "Georg (Gast)" nix 
mehr gehört, aber über Google kommt man über "Umkehrfunktion von Sinus" 
trotzdem nicht hierher, obwohl sich Johann L. (danke) so viel Mühe 
gegeben hat.