Kettenregel auf Wurzelfunktion anwenden

[Toadie R. (marcel_r)]

Hallo,

kann mir jemand einen Tip geben, oder erklären, wie ich die Kettenregel 
auf folgende Funktion anwende?

Ich weiß, wie die KR funktioniert und verstehe auch die einfachen 
Beispiele, aber hier finde ich irgendwie keinenj Anfang...

$$\frac{1}{3}\sqrt{(x^2-9)^3}$$

[Captain S. (captainsubtext)]

$$\sqrt{x} == x^{(\frac{1}{2})}$$

Damit sollte die Sache dann kein Problem mehr darstellen, oder?


Falls doch:
Du kannst das Ganze vereinfachen und erhältst

$$\frac{1}{3}\cdot (x^2 - 9)^{(\frac{3}{2})}$$

Ab hier ist es wirklich ein Lehrbuch-Beispiel.

[Toadie R. (marcel_r)]

welchen Teil würdest Du aus deiner Formel substituieren?

[Captain S. (captainsubtext)]

Ich habe heute meine Samariter-Nacht, außerdem kann ich die Sache für 
einen eigenen Mathe-Patienten gebrauchen:

Also:

$$f(x) = \frac{1}{3}\cdot\sqrt{{(x^2-9)}^{3}}$$

Erst einmal schreibe ich die Wurzel in Potenzschreibweise:

$$f(x) = \frac{1}{3}\cdot({{(x^2-9)}^{3}})^\frac{1}{2}$$

Nun fasse ich die beiden Potenzen zusammen:

$$f(x) = \frac{1}{3}\cdot{(x^2-9)}^{\frac{3}{2}}$$

Das ist nun wirklich ein Bilderbuch-Beispiel.
Eine Klammer, innendrin steht etwas simples mit x, außerhalb der Klammer 
sind nur Konstanten: Die Klammer bettelt doch nahezu um Aufmerksamkeit!

Setzt du genau hier an, bekommst du "innen" ein ganz simples Polynom und 
"außen" auch, schöner geht es gar nicht*!

Also tun wir genau das:

$$u(v) = \frac{1}{3}\cdot (v)^\frac{3}{2}$$

und

$$v(x) = x^2-9$$

Jetzt können wir die Kettenregel anwenden, v(x) schreibe ich für eine 
bessere Lesbarkeit einfach als v.

$$f'(x) = [u'(v)]\cdot[v'(x)]$$

Ich leite u(v) und v(x) ab und setzte die beiden Resultate ein:

$$f'(x) = [\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot{(v)}^{\frac{1}{2}}] \cdot [2x]$$

Resubstituiere v(x):

$$f'(x) = [\frac{1}{2}\cdot{(x^2-9)}^{\frac{1}{2}}] \cdot [2x]$$

Schreibe die Wurzel wieder in "lesbarer" Form:

$$f'(x) = \frac{1}{2}\cdot{\sqrt{(x^2-9)}} \cdot 2 \cdot x$$

Und rechne die konstanten Faktoren zusammen:

$$f'(x) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot{\sqrt{(x^2-9)}} \cdot x$$

$$f'(x) = \sqrt{(x^2-9)} \cdot x$$

Die Lösung wäre dann:

$$f'(x) = x \cdot \sqrt{(x^2-9)}$$

Disclaimer: Wenn irgendwelche Fehler drin sind, schieb' es entweder auf 
die Uhrzeit oder auf das Dschungelcamp, das im Hintergrund läuft!
Zitat Sarah in der Dschungelprüfung: "Zehn durch fünf, Jungs, was ist 
zehn durch fünf?"

*Na gut, die e-Funktion mal ausgenommen! ;-)

[Toadie R. (marcel_r)]

Danke, das hat mir jetzt wirklich sehr geholfen! So ist das wirklich 
verständlich und gut erklärt. Hast du häufiger solche Samariter-Nächte? 
;-)

[Captain S. (captainsubtext)]

Bitte!
So freundlich bin ich auch nur, wenn ich auf "My Name is Earl" warte.
Karma, Baby!