Wieso schwingt ein LC-Schwingkreis mit der Resonanzfrequenz

ich weiss nicht was du jetzt erwartest...

jedes schwingungsfähige system hat eine eigenfrequenz: pendel, brücken, 
ein ball in einer kuhle, das weinglas das beim gesang zerspringt etc.

mathematische beruht das auf lösungen linearer gewöhnlicher dgl'en. das 
wird dir keiner mal kurz in 2 sätzen erklären können.

man sagt übrigens nicht e-potenzförming sondern exponentiell.

wenn du ein system ordnung >=2 (ordnung = anzahl energiespeicher) mit 
einem sprung (heaviside) anregst bekommt man mathematisch als lösung den 
sogenannten inhomogenen bzw transienten, also zeitlich begrenzten 
anteil. der ist deine angesprochene e-funktion.
die homogene lösung ist ein sinus oÄ. dieser beinhaltet dann die 
resonanz oder eigenfrequenz.
eigenvektoren, eigenwerte und das ganze gedöns, ist nicht ohne aber man 
kann es sich durchaus selber beibringen.
 "eigen" kommt übrigens vom herr eigen. so heisst das teil im englischen 
auch "eigenvalue".

korrigiert mich wenn ich falsch liege, ist schon etwas her ^^

> Wieso schwingt der Schwingkreis aber genau mit der Resonanzfrequenz?

Das kommt aus der Definition der Resonanzfrequenz: Wenn etwas periodisch 
schwingen kann, dann schwingt das mit irgend einer bestimmten Frequenz. 
Und diese Frequenz wird als Resonanzfrequenz bezeichnet.

Es ist also nicht zufällig so, dass ein Schwingkreis mit seiner 
Resonanzfrequenz schwingt die Resonanzfrequenz wird so definiert.

> Wie lasst sich das mathematisch und vom Verständnis her erklären?

Mathematisch kann man das am einfachsten mit der zugehörigen 
Differentialgleichung zeigen.

Vom Verständnis her ist es so, dass bei der Resonanzfrequenz der 
induktive und der kapazitive Blindwiderstand gleich groß sein müssen. 
Ein (idealer) Parallelschwingkreis ist dann unendlich hochohmig, ein 
Reihenschwingkreis entspricht bei Resonanz einem Kurzschluss.
Mit den Formeln X=2*Pi*f*L und X=1/(2*Pi*f*C) kann man die 
Resonanzfrequenz berechnen.

Man sollte sich die Sprungantwort so vorstellen : Ein Pendel wird 
ausgelenkt und losgelassen. Von da bestimmt die Differentialgleichung 
des Pendels was geschieht. In dem Fall bestimmt die Laenge die Frequenz, 
und das Gewicht bestimmt die Guete.

Die Schwingbedingung kann nicht, wie hier jetzt mehrmals zu lesen war, 
aus der Anzahl der unabhängigen Energiespeicher abgeleitet werden. Ein 
System zweiter Ordnung kann absolut stabil sein. Zwei Energiespeicher 
z.B. zwei Kondensatoren über einen Verstärker gekoppelt sind auch 
stabil. Die Schwingbedingung lautet vielmehr, dass zwischen den beiden 
unabhängigen Energievariablen eine Phasenverschiebung von 90 Grad 
existieren muss. Die Resonanzfrequenz ergibt sich dann aus der 
Änderungsgeschwindigkeit mit der diese beiden Energiespeicher umgeladen 
werden können, d.h. die Energie „pendelt“ immer zwischen beiden 
Energiespeichern. Kommt ein dissipatives Bauelement dazu, z.B. Ein 
Widerstand oder Reibung, dann wird die Energie während des 
Umladeprozesses in Wärme gewandelt. Sie geht also den Energiespeichern 
verloren. Einen Sprung kannst du dir etwa so vorstellen, als ob zu Begin 
der Schwingung ein Energiespeicher etwas mehr gefüllt wird als der 
andere. Dann wird das System „losgelassen“. Ohne Dissipation beginnt nun 
wieder der Austauschvorgang beider Energiespeicher bis zur 
ursprünglichen Sprunghöhe. Mathematisch kann das natürlich alles in 
Dgl’s. gefasst werden. Der eigentliche physikalische Zusammenhang oder 
das physikalische Verständnis tut sich jedoch mit einer solchen 
abstrakten Dgl. viel schwerer als mit einer anschaulichen Erklärung.

Wolfgang Horn schrieb:
> Das tat auch kein Planet mit seiner Umlaufperiode um die Sonne in all
> den Jahrmilliarden vor der Schwingungsformel.
>
> Nein, all die Planeten stürzen nur vorwärts, weil die anderen in den
> übrig gebliebenen aufgeschlagen haben.

Also so eine Art Ausleseprinzip wie in der Evolution?

> Dasselbe mit Schwingkreisen.

D.h. in den Urzeiten der Elektronik haben sich alle Schwingkreise, deren
Resonanzfrequenz größer oder kleiner als als 1/(2π√LC) war, zu Tode
geschwungen. Überlebt haben nur diejenigen, die sich an die Formel
gehalten haben, und nur deswegen stimmt diese Formel heute ;-)

Mit hilfe eines Sinusgenerator, einem Lautsprecher und einem Verstärker 
kann man den Schwinkreis ganz gut verdeutlichen. Die Resonanzfrequenz 
ist eine Vorgabe der räumlichen Dimensionen und der Geometrie. Wenn ich 
jetzt den Sinusgenerator an den Verstärker samt Lautsprecher anschließe, 
und bei 1Hz nach oben offen die Frequenz erhöhe, dann werde ich 
irgendwann einen Ton lauter, als alle anderen hören. Das ist die 
Resonanzfrequenz. Oder anders: Das ist die Frequenz, bei der das System 
"Raum" in Resonanz ist. Nur bei genau dieser Frequenz ist der Ton 
lauter.

Bei einem Parallelschwingkreis ist das nichts anderes. Die 
Resonanzfrequenz bestimmt sich aus der Kapazität des Kondensators, und 
der Induktivität der Spule.

Das liegt ganz einfach daran, dass ein Kondensator im Einschaltmoment 
ein Kurzschluss, eine Spule ein unendlich hoher Widerstand ist. Duch den 
Kurzschluss des Kondensators liegt keine Spannung über der Spule an. 
Zuerst fließt also ein großer Strom in den Kondensator, während dieser 
sich auflädt. Nun steigt die Spannung über den Kondensator und damit 
auch über der Spule. Die Spule bleibt allerdings hochohmig, denn der 
Stromfluss in die Spule erzeugt eine Induktion in sich selbst und somit 
ein entgegengerichtetes Feld. Dieses ist allerdings kleiner, sodass sehr 
langsam die gesamte Spule ein gemeinsames Feld aufbaut. Ab diesem Moment 
ist die Spule ein Kurzschluss, der Kondensator ein unendlich hoher 
Widerstand. Der Kondensator pumpt nun seine Ladung durch die Spule, denn 
er möchte die Ladungsträgerverschiebung abbauen. Der Kondensator ist nun 
vollständig entleert. Es steht der Spule kein Strom mehr zum 
Aufrechterhalten des magnetischen Feldes mehr zur Verfügung. Um den 
Fluss aufrecht zu erhalten, muss die Spule also ihrerseits für einen 
Stromfluss sorgen. Die Ladung wird also wieder in den Kondensator 
geschoben, diesmal mit gedrehtem Vorzeichen. Irgendwann ist die Spule 
leer, der Kondensator voll und so geht dass dann immer hin und her.

Die Erklärung sollte Dir jetzt reichen. Nachdem Du aber sehr 
interessiert an diesem Thema bist, und wir hier nicht Deine Hausaufgaben 
machen, solltest du die paar kleinen Fehler finden, die ich eingebaut 
habe. Ich bin gespannt ;-)

Wolfgang Horn schrieb:
> Aber so könnte ich Dir Recht geben: Wenn wir eine Spule und eine
> Kapazität zusammen schalten und diese mit einem Dirac-Stoss anregen,
> dann ist das definitionsgemäß ein unendlich breites Spektrum.
> Die meisten Schwingungsmodi sind schnell ausgestorben, "ausselektiert",
> der übrige schwingt noch etwas länger.

Woher kommt denn diese Weisheit bzw. was sollte der physikalische 
Hintergrund dafür sein?
Sicher hat ein Dirac-Impuls ein Spektrum in dem alle Frequenzen mit 
gleicher Amplitude auftreten. Aber warum sollten bei einem idealen 
Schwingkreis alle Frequenzen NEBEN der Resonanzfrequenz erst nach 
endlicher Zeit abgeklungen sein? Der Schwingkreis „selektiert“ nichts 
aus. Dieses System wird einfach nicht auf den anderen Frequenzen 
angeregt, nicht mehr und nicht weniger. Zur Veranschaulichung stelle man 
sich einen Schwingkreis mit einer Resonanzfrequenz von 1 Hz vor. Aus dem 
Dirac-Impuls nehmen wir mal nur eine Frequenz z.B. 1 MHz. Diese 1 MHz 
regen den 1 Hz Schwingkreis nicht an.

Nach so viel mehr oder weniger wissenschaftlicher "Erklärung", die dem 
OP wahrscheinlich eher wenig nützt, hier mal ein bildhafter Vergleich 
ala Sendung mit der Maus.

Ein Schwingkreis ist immer eine Kombination aus einem statischen und 
dynamischen Energiespeicher. So ähnlich wie Yin und Yang.

Kann man vergleichen mit einer Kugel, die in einer Rohrhälfte, aka 
Halfpipe, hin- und her rollt. Zunächst wird die Kugel nach oben an den 
Rand gelegt. Dabei wird ihre potentielle Energie (statisch) erhöht. 
Lässt man sie nun losrollen, wird diese in kinetische (dynamische) 
Energie umgewandelt. In der Mitte der Halfpipe hat keine potentielle 
Energie mehr, die ist komplett in kinetische umgewandelt 
(Geschwindigkteit).

Im elektrischen Schwingkreis ist das sehr ähnlich. Ein Kondensator ist 
ein statischer Energiespeicher. Ist er geladen, liegt eine hohe Spannung 
an aber es fließt kein Strom. Die Spule ist das Gegenstück, der 
dynamische Energiespeicher. Sie ist "geladen", wenn ein Strom durch sie 
fließt, die Spannung ist dann Null. (Nicht gleich schreien liebe 
Mitleser, über du/dt reden wir spräter).

Lädt man nun einen Kondensator und schließt ihn über einen Schalter an 
eine Spule an, passiert das gleiche wie mit der Kugel in der Halfpipe. 
Die potentielle Energie das Kondensators entlädt sich in die Spule, der 
Strom steigt bis zum Maximum, dann ist die Spannung Null. Nun kann aber 
keiner bremsen, ebenso wie die Kugel, die Spule entlädt sich jetzt mit 
umgekehrter Spannung wieder in den Kondensator.

Und da überall ein wenig Verluste mitspielen, ist die Schwingung 
gedämpft und klingt langsam ab.

MfG
Falk

Klingt komisch, ist aber so.

:-)

Falk Brunner schrieb:
> Ein Schwingkreis ist immer eine Kombination aus einem statischen und
> dynamischen Energiespeicher. So ähnlich wie Yin und Yang.

Tatsächlich? Wir machen mal folgende Annahme:
Ein Kondensator (statischer Energiespeicher) entlädt sich über einen 
Motor. Der Motor treibt wiederum eine Pumpe an und pumpt Wasser in einen 
Tank (statischer Energiespeicher). Der Wirkungsgrad von Pumpe und Motor 
sollen mal beide eins betragen. Ist eh unerheblich da sie nur beide 
Energiewandler aber keine Speicher sind. Ist der Tank voll, so fließt 
das Wasser über die Pumpe im Turbinenbetrieb, der Motor im 
Generatorbetrieb lädt wieder den Kondensator. Ein schwingungsfähiges 
System mit ZWEI statischen Speichern.

Simon Huwyler schrieb im Beitrag #2206031:
> Es wird sich ein Gleichgewicht einstellen.

Gut erkannt, oder man fügt eine Phasenverschiebung von 90 Grad ein wie 
ich oben beschrieben habe. In einem physikalischen System (elektrisch / 
elektrisch oder mechanisch /mechanisch oder... oder...) ist die 
Phasenverschiebung zwischen den beiden unabhängigen Energievariablen 
gerade 90 Grad.
Bsp.: Elektrotechnik  Spannung (statisch), Strom (dynamisch).
Bsp: Mechanik Geschwindigkeit (statisch), Kraft (dynamisch)
Bsp.: Hydraulik Druck (statisch), Massenstrom (dynamisch)

Nach meinem Bauchgefühl wird dieses sehr theoretische System zu einem 
Gleichgewicht führen, es sei denn, Du steuerst mit irgendwelchen 
externen Komponenten (Ventile etc.) das System so, dass wirklich zuerst 
das ganze Wasser hochgepumpt wird, und erst dann wieder runterfliesst. 
Das hat dann aber nichts mehr mit 'nem Schwingkreis zu tun, denn dann 
wäre ich, der 'nen Lichtschalter immer wieder ein- und ausschalte, auch 
ein Schwingkreis.

Eine Pumpe mit Motor mit Wirkungsgrad 1 (sehr sehr theoretisch) würde 
einfach so lange Wasser raufpumpen, bis ein bestimmter Pegel erreicht 
ist. Dann würde sie stoppen. Wenn ein Mikroliter wieder runterfliessen 
würde, würde dieser Mikroliter wieder raufgepumpt --> das System stünde 
still. Wie zwei parallele Kondensatoren sich auf eine gemeinsame Ladung 
einigen.

Wie gesagt, die Abstrusität dieser Vorstellung rührt von der Abstrusität 
einer Pumpe mit 100% Wirkungsgrad (zumindest bei einer Kreiselpumpe kaum 
vorstellbar)

P.S. sorry für's vorherige Löschen meines Beitrags - hatte zu schnell 
gelesen.

Joe G. schrieb:
> oder man fügt eine Phasenverschiebung von 90 Grad ein wie
> ich oben beschrieben habe

Damit simulierst Du dann eben einen dynamischen Speicher. Man kann auch 
aktive Schwingkreise erzeugen, OpAmps können sich wie Spulen 
verhalten....

Nun Speicher sind und bleiben Speicher. Eine Phasenverschiebung kann 
jedoch durch Integration oder Differentation erreicht werden. Aktive 
Bauelemente sind einfach nur Wandler. Wenn man sie noch mal unterteilen 
möchte, meinetwegen in Wandler mit transformatorischen Eigenschaften und 
Wandler mit gyratorischen Eigenschaften. Opamps werden sich also NICHT 
wie Spulen verhalten, jedoch können Kapazitäten bei einem gyratorischen 
Wandler (OPV Schaltung) als Induktivitäten auf den Wandlereingang 
transformiert werden.

Schon richtig, aber nach Deinem Beispiel wäre ja dann jedes 
Pumpspeicherkraftwerk ein Schwingkreis. Und die Grösse des Stausees muss 
so dimensioniert werden, dass sich eine Resonanzfrequenz ergibt, die dem 
Bedarf im Netz entspricht (ich demke mal Resonanzfrequenz = 24 Stunden).

Integration und Differentiation sind natürlich die Schlüsselelemente in 
einem Schwingkreis. Und die damit verbundenen 90° Phasenverschiebungen. 
In der Natur gibt es nun einfach Energieformen, die a priori so 
zueinander passen, dass sie schwingen. Und das gibt dann die 
"klassischen" Schwingkreise.

Aber mit technischen Mitteln kann man natürlich alles machen. 
"Schwingkreise", die in Sägezahnmanier schwingen. Oder wiederholt "Hello 
World!" morsen.

... oder eben - sich wie ein "klassischer" Schwingkreis verhalten.

Sept Oschi schrieb:
>.... Laenge die Frequenz,
> und das Gewicht bestimmt die Guete.

Die Güte wäre doch wohl eher in der Lagerreibung zu suchen.

guude
ts