Spektrum (Aufgabe)

Der stumpfe Weg ist einfach indem du die Rücktransformation berechnest. 
Dabei musst du das Integral in zwei Teile aufteilen:
- einmal von 0 bis f0
- das zweite von f0 bis 2 f0
Das Dreieck lässt sich in den beiden Integrationsbereichen durch 
einfache Geraden nachbilden. Fertig

Wenn du etwas intelligenter und pfiffiger bist schaust du eine Tabelle 
in der die Fourierspektren von bestimmten zeitsignalen drinnen sind und 
suchst dortg nach dem Dreieckimpuls. Solch eine Tabelle habt ihr 
bestimmt ausgehändigt bekommen. Dann kannst du nämlich einfach durch 
Vergleich mit dem Signal aus der tabelle dein zeitsignal herleiten.
Für die Abtastrate einfach mal an das zweite Nyquistkriterium denken.

Danke erstmal für deine Antwort.

Nein so eine Tabelle haben wir noch nicht bekommen. Ich habe im Internet 
eine Fouriertransformationstabelle gefunden. Meinst du hiermit könnte 
ich den Rücktransformation durchführen?

Ich kriege es irgendwie nicht hin.

Kannst du mir bitte die Lösung für die Aufgabe Schritt für Schritt 
aufschreiben, damit ich ein Beispiel habe. Ich habe hier jede Menge 
andere Aufgaben der gleichen Art. Dann könnte ich die anderen Aufgaben 
mit Hilfe deiner Lösung berechnen.

Ja, du musst nur die Regel zur Verschiebung im Frequenzbereich und die 
der Linearität kennen. Dann kannst du je das nach links und nach rechts 
verschobene Dreieck transformieren und die Ergebnisse addieren.

ich finde nciht mal richtige Beispiele dazu. Ich kriege es nicht hin

Und hier die Lösung per Sätze:
1. Nach dem Superpositionsgesetz gilt(mit Pfeil statt fouriersymbol da 
ich den latex Befehl dazu net kenne)

$$x(t)=a\cdot s(t)+b\cdot s(t) \rightarrow x(f)=a \cdot r(f) + r \cdot s(f)$$

Dabei ist s(t) die inverse Fouriertransformierte eines Dreiecksignales 
aus dem Frequenzbereich in den Zeitbereich.

2.Die Supperposition besteht aus einem Dreieckteil im negativen 
Frequenzbereich und im positiven. Das heißt unser ursprüngliches 
Spektrum wurde eifnach verschoben. Mit dem gesetz der Zeitverschiebung 
gilt

$$x(t)= a \cdot s(t) \cdot e^{-j2\pi f_0 t} + b \cdot s(t)\cdot e^{j2 \pi f_0t}$$

3. Die Amplituden beider Frequenzteile sind 1 und durch ausklammern 
erhalten wir

$$x(t) = s(t) \cdot \left( e^{j2\pi f_0t} + e^{-j2\pi f_0t} \right)$$

4. Mit dem Eulergesetz erhalten wir

$$x(t)= 2s(t) \cdot cos(2\pi f_0t)$$

5. Mit dem Teil der Tabelle erhalten wir somit

$$x(t) = 2 \cdot si^2(\pi ft) \cdot cos(2\pi f_0 t)$$

Wie du siehst ganz eifnach. ich übernehme aber keine garantie auf 
richtigkeit. War eifnach schnell hingeschludert.

Ich bedanke mich an euch allen. Also mit dem Verschiebungssatz bin ich 
gar nicht zurecht gekommen. Und mit der normalen Rücktransformation kam 
ich zu irgendwelchen komischen Ergebnisse.
Das sieht hier gar nicht schwer aus. Ich werde Anhand dieser Aufgabe 
versuchen die anderen Aufgaben zu lösen.

Tut mir leid, dass ich nochmal störe. Die Rücktransformation eines 
Dreiecksignals ist s(t) ? Ehmm.. in welcher Tabelle steht das denn?

Huseyin Sas schrieb:
> Tut mir leid, dass ich nochmal störe. Die Rücktransformation eines
> Dreiecksignals ist s(t) ? Ehmm.. in welcher Tabelle steht das denn?
Das war einfach nur eine von mir willkürlich gewählte Bezeichnung. Nicht 
zu verwechseln mit Sprungfunktion (vl. dachtest du wegen dem s daran).

Huseyin Sas schrieb:
> Und mit der normalen Rücktransformation kam
> ich zu irgendwelchen komischen Ergebnisse.

Die normale Rücktransformation ist sehr aufwendig und hier nicht zu 
empfehlen. Die Anwendung der Fourierregeln und der bekannten 
Transformationen ist um längen effizienter.

achso ok... ja ich habe es mit dem Sprungfunktion verwechselt. Das hat 
mich ein wenig irritiert.

Danke jetzt habe ich es verstanden!

Für die Abtastrate sollte man wissen dass es 2*fmax ist.
N.Müller, wie bist du eigentlich auf 4*fc gekommen? hm..

Huseyin Sas schrieb:
> achso ok... ja ich habe es mit dem Sprungfunktion verwechselt. Das hat
> mich ein wenig irritiert.
>
> Danke jetzt habe ich es verstanden!
>
> Für die Abtastrate sollte man wissen dass es 2*fmax ist.
> N.Müller, wie bist du eigentlich auf 4*fc gekommen? hm..
Ich denke es ist ok wenn ich dafür antworte.

Ich glaube er meinte 4*f0 da die höchste auftretende Frequenz in deinem 
Spektrum 2*f0 ist.

hab ich mir gedacht.. danke schön :)

Das Dreieck im Frequenzbereich ist nicht gerade in jeder 
Fourier-Korrespondenzentabelle enthalten, und die Erfahrung, selbst mal 
ein solches Integral ausgewertet zu haben, kann auch nicht schädlich 
sein.

Hier wird die Rücktransformation eines zur Ordinatenachse symmetrischen 
Dreiecks der Höhe 1 und Breite 2·f0 betrachtet, woraus anschliessend die 
beiden in der Aufgabe gegebenen Dreiecke durch Verschiebung um ±f0 
gebildet werden können.
Die beiden Seiten des Dreiecks können durch die beiden Geraden

$$G_1(f) \ = \ \frac{1}{f_0}\cdot(f+f_0), \ \ \ G_2(f) \ = \ -\frac{1}{f_0}\cdot(f-f_0)$$

beschrieben werden.
Das Integral soll nur da ausgewertet werden, wo die zu transformierende 
Funktion nicht 0 ist.
Die Rücktransformierte wird durch stückweise Integration berechnet.

$$g(t) \ = \ \int_{-f_0}^{0} \overbrace{\frac{1}{f_0}\cdot(f+f_0)}^{G_1(f)} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot 2\cdot\pi\cdot f\cdot t} \cdot \mathrm{d} f \ +\int_{0}^{f_0} \overbrace{-\frac{1}{f_0}\cdot(f-f_0)}^{G_2(f)} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot 2\cdot\pi\cdot f\cdot t} \cdot\mathrm{d} f$$

Auswerten der bestimmten Integrale und Umformungen ergeben die folgende 
Zeitfunktion.

$$g(t) \ = \ f_0 \cdot \frac{\sin^2(\pi\cdot f_0\cdot t)}{(\pi\cdot f_0\cdot t)^2}$$

Mit der Definition für den Sinus Cardinalis

$$\mathrm{sinc}(a\cdot t) \ = \ \frac{\sin(a\cdot t)}{a \cdot t}$$

folgt die in dem von Huseyin Sas geposteten Tabellenteil erwähnte 
Korrespondenz.

$$g(t) \ = \ f_0 \cdot \mathrm{sinc}^2(\pi\cdot f_0\cdot t)$$

(Dies ist übrigens die {Rück-} Transformierte der Faltung zweier 
Rechtecke mit sich selbst.)

Zwei im Frequenzbereich um ±f0 verschobene Versionen dieses Dreiecks (im 
Frequenzbereich) können mit dem von zuvor von Albert ... erwähnten 
Satz für die Frequenzverschiebung

$$G(f\mp f_0) \ \bullet-\circ \ \mathrm{e}^{\pm\mathrm{j}\cdot 2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot t} \ \cdot g(t)$$

ermittelt und überlagert werden, was den von Albert ... angegebenen 
zusätzlichen Faktor

$$\mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot 2 \cdot \pi \cdot f_0} +\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot 2 \cdot \pi \cdot f_0} \ = \ 2\cdot\cos(2\cdot\pi\cdot f_0 \cdot t)$$

bewirkt. Damit ist die Rücktransformierte der in der Aufgabe gegebenen 
Frequenz-Funktion die folgende Zeitfunktion.

$$f(t) \ = \ 2 \cdot f_0 \cdot \mathrm{sinc}^2(\pi\cdot f_0\cdot t) \cdot \cos(2\cdot\pi\cdot f_0 \cdot t)$$

Das heißt also, dass der erste Weg nicht richtig ist?

@ Huseyin Sas Was genau bedeutet für Dich der "erste Weg"?

Xeraniad X. schrieb:
> @ Huseyin Sas Was genau bedeutet für Dich der "erste Weg"?

Tut mir leid ich habe mich schlecht ausgedrückt. Ich meinte der 
Lösungsweg von Albert ...

Albert ...s Hinweise waren wertvoll. Morgen evtl. guck.

Huseyin Sas schrieb:
> Xeraniad X. schrieb:
>> @ Huseyin Sas Was genau bedeutet für Dich der "erste Weg"?
>
> Tut mir leid ich habe mich schlecht ausgedrückt. Ich meinte der
> Lösungsweg von Albert ...


Die Hinweise waren wichtig

Xeraniad X. schrieb:
> *Alert" ...s Hinweise waren wertvoll.

Sie waren wertvoll aber das Endergebnis stimmt also nicht ganz richtig. 
Weil wir am Ende zwei verschiedene Ergebnisse haben.

Gemäss Nachrechnen und auch nach Vergleich mit der Korrespondenz aus dem 
von Huseyin Sas geposteten Tabellen-Ausschnitt muss dieser Vorfaktor 
f0 richtig sein.

Huch, da fehlte noch das "t" im Argument der Exponentialfunktion. Zuvor 
sollte ich

$$\mathrm{e}^{ \mathrm{j}\cdot 2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot 2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot t} \ = \ 2 \cdot \cos (2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot t)$$

geschrieben haben.

Ich bin irgendwie total verwirrt

Mach Dir keine Sorgen, da bist Du nicht alleine. Wenn Du Fragen hast, 
nur zu.

Nun melde ich mich nochmal zu Wort. ich möchte dich darauf Hinweisen das 
deine gesamt Lösung schon aufgrund der Einheiten nicht korrekt sein 
kann. Sehen wir uns dazu einmal das gegebene Spektrum an: Dieses ist 
bezüglich der y-Achse Einheitenlos und ohne Normierung. Das heißt das 
auch die Rücktransformierte Einheitenlos sein muss. Deine Lösung 
hingegen hat die Einheit Hz. Dies kann nicht sein, denn eine 
Physikalische Einheit verschwindet nicht durch Hin- und 
Rücktransformieren. Daher kann dein Ergebnis nicht richtig sein.

Xeraniad X. schrieb:
> Das Integral soll nur da ausgewertet werden, wo die zu transformierende
> Funktion nicht 0 ist.
> Die Rücktransformierte wird durch stückweise Integration berechnet.

$$g(t) \ = \ \int_{-f_0}^{0} \overbrace{\frac{1}{f_0}\cdot(f+f_0)}^{G_1(f)} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot 2\cdot\pi\cdot f\cdot t} \cdot \mathrm{d} f \ +\int_{0}^{f_0} \overbrace{-\frac{1}{f_0}\cdot(f-f_0)}^{G_2(f)} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot 2\cdot\pi\cdot f\cdot t} \cdot\mathrm{d} f$$

> Auswerten der bestimmten Integrale und Umformungen ergeben die folgende
> Zeitfunktion.

$$g(t) \ = \ f_0 \cdot \frac{\sin^2(\pi\cdot f_0\cdot t)}{(\pi\cdot f_0\cdot t)^2}$$

Ich denke der Fehler liegt in der Lösung dieses Integrals. Wenn du 
deinen Rechenweg genauer ausführen könntest würde man die Lösung 
bestimmt schnell finden.

Also das Integal habe ich einpaar mal versucht zu berechnen und ich kam 
auf ein anderes Ergebnis. Mir war es irgendwie peinlich das zu sagen 
weil normalerweise sollte das Lösen eines Integrals kein Problem mehr 
sein. Was ich aber nicht verstehe ist , im Intervall [-fo  0]  haben wir 
eine Gerade -1/fo *f und im Intervall [0 fo] 1/fo * f . Warum sind die 
Geraden bei dir anders?

Huseyin Sas schrieb:
> Also das Integal habe ich einpaar mal versucht zu berechnen und ich kam
> auf ein anderes Ergebnis. Mir war es irgendwie peinlich das zu sagen
> weil normalerweise sollte das Lösen eines Integrals kein Problem mehr
> sein. Was ich aber nicht verstehe ist , im Intervall [-fo  0]  haben wir
> eine Gerade -1/fo *f und im Intervall [0 fo] 1/fo * f . Warum sind die
> Geraden bei dir anders?
Er ging in seiner Rechnung von einem nicht verschobenen Dreieck aus und 
hat ihn später in der Frequenz verschoben.

P.S. Vergesst meine Kritik, ich habe mich in meiner 
Transformationstabelle verguckt. Die Lösung

$$x(t) = 2 \cdot f_0 \cdot si^2(\pi f_0 t) \cdot cos(2 \pi f_0 t)$$

ist richtig.

Achso ok hm..

Guten Tag

Hier noch 3 Anmerkungen.
° Zu den beiden Geradengleichungen. Die Gerade links (im Intervall 
-f0..0) hat positive Steigung 1/f0; die rechts (im positiven Intervall 
0..f0) hat negative Steigung -1/f0.

° Zur Integral-Auswertung. Nachdem die beiden bestimmten Integrale 
ausgewertet sind, können sich aufhebende Terme gestrichen werden. Danach 
ist aus den verbleibenden Termen das Quadrat eines Sinus gemäss

$$\sin(\varphi) \ = \ \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot\varphi} -\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot\varphi}}{2 \cdot \mathrm{j}}$$

zu erkennen.

° Zu den Dimensionen. Wie evtl. inzwischen bereits oben angedeutetet 
wurde, fügt Rücktransformation eine Dimension Hz (die der 
Integratonsvariablen) hinzu, d. h. die Rücktransformierte einer 
dimensionslosen (Frequenz-)Funktion (wie das betrachtete Dreieck) erhält 
die Dimension Hz.

Kannst du mir bitte die Auswerung des Integrals hier aufschreiben. ich 
komme immer zu einer anderen Lösung

Vorausschickend gesagt: Für gerade Funktionen y(x) = y(-x) ergäbe sich 
eine vereinfachte Form {mit cos(.)} für das transformierende Integral, 
und ohnehin sind, wie zuvor aufgeführt wurde, bessere /effizientere 
Vorgehen durch Verwendung von Sätzen (wie z. B. des Vertauschungs 
-Satzes oder des Verschiebungs -Satzes etc.) und Korrespondenzen 
möglich.

Jedoch, wie zuvor erwähnt: es ist bestimmt eine gute Erfahrung, einmal 
ein solches Integral ausgewertet zu haben. Das Besondere dabei ist, dass 
die Rücktransformation mittels Integral (zumindest für dies Beispiel 
hier, im Gegensatz z. B. zur inversen Laplace -Transformation) mit 
elementaren Mitteln durchgeführt werden kann.

Daher folgt hier der Versuch einer etwas detaillierteren Demonstration 
für die Rücktransformation dies gleichschenkligen Dreiecks mit Spitze 
auf der Ordinatenachse  anhand der Definitionsgleichung.

Gegeben sind (wie oben geTeXtet) die beiden folgenden Geraden jeweils 
für die Bereiche [-f0, 0 Hz] und [0 Hz, f0]

$$G_1(f) \ = \ \frac{f+f_0}{f_0}, \ G_2(f) \ = \ -\frac{f-f_0}{f_0}.$$

Diese beiden (Frequenz -) Funktionen werden jeweils in die 
Definitionsgleichung (für die Fourier -Rücktransformation)

$$s(t) \ = \ \int_{-\infty \ \mathrm{Hz}}^{\infty \ \mathrm {Hz}} \underline S (f) \cdot \mathrm{e}^{\ \mathrm{j}\cdot 2 \cdot \pi \cdot t \cdot f} \cdot \mathrm{d} f$$

eingesetzt und stückweise, für die beiden stetigen Abschnitte
    [-f0, 0 Hz] und [0 Hz, f0], wo das Dreieck != 0 ist,
    bestimmt integriert

$$g(t) \ = \ \underbrace{\int_{-f_0}^{0 \ \mathrm {Hz}} \overbrace{ \frac{f+f_0}{f_0}}^{G_1(f)} \cdot \mathrm{e}^{ \ \mathrm{j}\cdot 2 \cdot \pi \cdot t \cdot f} \cdot \mathrm{d} f}_{{\underline I}_1(t)} \ + \ \underbrace{\int_{0 \ \mathrm {Hz}}^{f_0} \overbrace{-\frac{f-f_0}{f_0}}^{G_2(f)} \cdot \mathrm{e}^{ \ \mathrm{j}\cdot 2 \cdot \pi \cdot t \cdot f} \cdot \mathrm{d} f}_{{\underline I}_2(t)}.$$

Mit Hilfe der den beiden Basis -Stammfunktionen der Art

$$\int \mathrm{e}^{\alpha \cdot x} \cdot \mathrm{d} x \ = \ \frac{1}{\alpha} \cdot \mathrm{e}^{\alpha \cdot x} \ + \mathrm{const.}$$

und (bei Bedarf hieraus mittels partieller Integration herleitbar)

$$\int x \cdot \mathrm{e}^{\alpha \cdot x} \cdot \mathrm{d} x \ = \ (\frac{x}{\alpha} -\frac{1}{\alpha^2}) \cdot \mathrm{e}^{\alpha \cdot x} \ + \mathrm{const.}$$

können die beiden bestimmten Integrale

$${\underline I}_1(t) \ = \overbrace{\ f_0 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(\pi \cdot f_0 \cdot t)}{(\pi \cdot f_0 \cdot t)^2}}^{\mathrm{Re}[{\underline I}_1(t)]} \ + \mathrm{j}\cdot \mathrm{Im}[{\underline I}_1(t)]$$

und

$${\underline I}_2(t) \ = \ \overline{{\underline I}}_1(t) \ = \ \mathrm{Re}[{\underline I}_1(t)] \ - \mathrm{j}\cdot \mathrm{Im}[{\underline I}_1(t)]$$

ausgewertet werden, wobei für die Umformungen, deren vollständige 
Darstellung hier zu weit führen würde, Identitäten der Art

$$\sin^2(\varphi) \ = \ (\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot\varphi} - \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot\varphi}}{2 \cdot \mathrm{j}})^2$$

verwendet wurden.

Es folgt die gewünschte Zeitfunktion g(t) = I1(t) +I2(t).

Wegen gerader Funktion G(f) = G(-f) gilt Re[I1(t)] = Re[I2(t)] {was 
hier der Vollständigkeit halber noch zu beweisen wäre}, die 
Imaginärteile heben sich auf und es bleibt der zweifache Realteil g(t) = 
2*Re[I1(t)+I2(t)].

Danke schön!

Georg Buschke schrieb:
> Erstaunlich, welche Mühe sich manche machen.
>
> @Huseyin
>>Ich bin irgendwie total verwirrt
> Bist Du sicher, dass Du das richtige studierst?



Ich bin den sehr dankbar dafür. Es gibt zum Glück Menschen, die einen 
helfen, wenn man Hilfe braucht. Und nicht solche Dummen Kommentare von 
sich gibt wie du. Ja, ich bin mir sicher, dass ich das richtige 
studiere. Also mit Signal und Systemtheorie werden wir uns nächsten 
Semester befassen. Ich wollte im voraus schon mal paar Aufgaben rechnen. 
Verschwende du deine Zeit nicht und halte dich von dem Thread entfernt.

Nach den ganzen Tipps hatte ich mich an den anderen Aufgaben gewagt. Und 
habe sie lösen können. Heute habe ich nochmal versucht die Aufgabe zu 
berechnen und beim Berechnen des Integrals kam ich auf das Ergebnis:

Das hier ist meine Berechnung hm..

Ok, weiß ich bescheid. Beim nächsten mal achte drauf.