Ich habe ein paar grundlegende Verständnisprobleme zur
Übertragungsfunktion:
Bei Wikipedia steht:
"Die Ausgangsgröße y(t) eines dynamischen Übertragungssystems mit
konzentrierten oder verteilten Energiespeichern ist abhängig von den
Systemeigenschaften und von der gegebenen Eingangsgröße u(t)."
Was ist denn ein dynamisches Übertragungsystem? Mein Problem mit dem
Satz: Wenn ich z.B. einen Tiefpassfilter habe, dann ist die
Ausgangsspannung nicht nur abhängig von der aktuellen Eingangsspannung,
sondern auch von der Vergangenheit, also den vorhergegangenen
Eingangsspannungen.
Nun arbeitet man aus irgendwelchen Gründen (mathematische Eleganz,
bessere Sichtbarkeit der Eigenschaften?) gerne mit der
Übertragungsfunktion eines Systems. Dabei arbeitet man nicht im
Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich. Die Übertragungsfunktion ist
definiert als G(s)=Y(s)/U(s) mit
s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme
ich an)
U(s) = Laplacetransformierte der Eingangsgröße
Y(s) = Laplacetransformierte der Ausgangsgröße
Das System ist nun definiert durch die komplexe Funktion G(s). Man
steckt eine komplexe Funktion U(s) rein und bekommt eine komplexe
Funktion Y(s) heraus. Was muss ich mir darunter vorstellen? Welche
Information steckt in diesem U(s)?
Was mich irritiert: Der "Ausgangswert" Y(s) hängt nur vom Eingangswert
U(s) ab, aber nicht von den vorhergegangenen U(s). Wie kann das gehen?
Beschreibt das U(s), wenn man es rücktransformiert, einen vollständigen
Signalverlauf?
Thomas schrieb:> Was ist denn ein dynamisches Übertragungsystem?
Zitat von Wikipedia:
"Unter einem (deterministischen) dynamischen System versteht man das
mathematische Modell eines zeitabhängigen Prozesses, der homogen
bezüglich der Zeit ist, also dessen Verlauf zwar vom Anfangszustand,
aber nicht vom Anfangszeitpunkt abhängt"
Thomas schrieb:> Nun arbeitet man aus irgendwelchen Gründen (mathematische Eleganz,> bessere Sichtbarkeit der Eigenschaften?) gerne mit der> Übertragungsfunktion eines Systems
Dadurch lassen sich Systeme recht einfach beschreiben undauch berechnen
Thomas schrieb:> s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme> ich an)
Nein,, das soll nur heißen, das s eine Kompleze zahl sein kann, das hat
nichts mit Frequenz und Phase zu tun. Guck dir mal an, wie man Komplexe
darstellt, dann sollte es klarer werden.
Thomas schrieb:> Das System ist nun definiert durch die komplexe Funktion G(s). Man> steckt eine komplexe Funktion U(s) rein und bekommt eine komplexe> Funktion Y(s) heraus. Was muss ich mir darunter vorstellen? Welche> Information steckt in diesem U(s)?
Es gilt ganz allgemein: Y(s)=G(s)*U(s) (im Zeitbereich entspräche dies
einer Faltung, was das ganze viel komplizierter macht). G(s) ist
anschaulich die Impulsantwort des Systems (Laplacetransformierte vom
Dirac-Impuls ist 1)
Die Systemeigenschaften eines dynamischen Systems können durch die
Übertragungsfunktion beschreiben werden. (Beim Tiefpass durch R und C
sowie deren konkrete Verschaltung.) Die Systemeigenschaften, also R und
C und wie R und C verschaltet sind hängen nicht vom Eingang und vom
Ausgang ab. So wie ein Auto ein Auto ein Auto bleibt ob es gefahren wird
oder nicht, ob es in DE steht oder in RU. Die Systemeigenschaft ist
Auto.
astroscout schrieb:>> Das System ist nun definiert durch die komplexe Funktion G(s). Man>> steckt eine komplexe Funktion U(s) rein und bekommt eine komplexe>> Funktion Y(s) heraus. Was muss ich mir darunter vorstellen? Welche>> Information steckt in diesem U(s)?> Es gilt ganz allgemein: Y(s)=G(s)*U(s) (im Zeitbereich entspräche dies> einer Faltung, was das ganze viel komplizierter macht). G(s) ist> anschaulich die Impulsantwort des Systems (Laplacetransformierte vom> Dirac-Impuls ist 1)
Also ist es so, dass in dem U(s) ein gesamter Signalverlauf steckt? Wenn
ich wissen will, was mein System aus einem bestimmten Signalverlauf
macht, dann Laplace-transformiere ich diesen Signalverlauf und
multipliziere ihn mit G(s)?
> Also ist es so, dass in dem U(s) ein gesamter Signalverlauf steckt?
ja, dein U(s) die Laplacetransformierte des Eingangssignals und enthält
alle sozusagen das Gesamte Eingangssignal (sonst könntest du es ja nicht
zurück in den Zeitbereich tranfomieren)
Thomas schrieb:> Wenn> ich wissen will, was mein System aus einem bestimmten Signalverlauf> macht, dann Laplace-transformiere ich diesen Signalverlauf und> multipliziere ihn mit G(s)?
korrekt, dann hast du die Laplacetransformierte des Ausgangssignals, die
du dann wieder in den Zeitbereich zurücktransfomieren kannst und du hast
wieder dein Ausgangssignal, das sind zwar mehr rechenschritte als das
ganze direkt durch eine Faltung im Zeitbereich zu machen, ist aber viel
einfacher
astroscout schrieb:> ja, dein U(s) die Laplacetransformierte des Eingangssignals und enthält> alle sozusagen das Gesamte Eingangssignal (sonst könntest du es ja nicht> zurück in den Zeitbereich tranfomieren)
OK danke. Das ist wohl selbstverständlich, aber irgendwie hatte ich da
die ganze Zeit eine falsche Vorstellung im Kopf.
Wenn ich nun mit z.B. SIMULINK was simuliere, dann sind die Filter
beschriftet mit den Übertragungsfunktionen. Wird damit dann auch
tatsächlich intern gerechnet? Oder geschieht die Simulation im
Zeitbereich?
Ich nehme an im Zeitbereich, denn wenn ich z.B. eine Rückkopplung
einbaue, dann kenne ich das vollständige Eingangssignal ja nicht mehr im
vorraus.
Thomas schrieb:> Dabei arbeitet man nicht im> Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich. Die Übertragungsfunktion ist> definiert als G(s)=Y(s)/U(s) mit> s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme> ich an)
Falsch. s ist zu verstehen als "Komplexe Frequenz".
> U(s) = Laplacetransformierte der Eingangsgröße> Y(s) = Laplacetransformierte der Ausgangsgröße
Kann man so sagen. Eine sauberere Definition wäre aber G(s) = Z(s)/N(s).
Dies besagt bloss das die Übertragungsfunktion aus einem Zählerpolynom
Z(s) und einem Nennerpolynom N(s) besteht. DAs mit U und Y ergiebt sich
aus einer Regel der Laplacetrasformierten (kommt später).
Die Ausgangsfunktion Y(s) ergiebt sich dann bei gegebener
Eingagsfunktions U(s) zu
Y(s) = G(s) * U(s)
Dies ist eine der Grundlegenden Eigenschaften (und mit eine der
wichtigsten) der Laplacetransformierten. Anstelle einer Faltung im
zeitbereich kann man einfach im Bildbereich multipilizieren.
Thomas schrieb:> Was muss ich mir darunter vorstellen?
Nehmen wir als Beispiel dafür deinen Tiefpass. Wenn du diesen mit einem
Dirac-impuls (Nadelförmiger Impuls mit theoretisch unendlicher Höhe und
unendlicher kurzer Dauer) anregst erhältst du einen Sprung der dann
exponentiell abfält, im foglenden als g(t) bezeichnet. Du kannst nun
jede beliebige zeitliche Funktion am Eignang als aneinanderreihung
solcher Dirac-impulse mit bestimmter Höhe darstellen (aufteilung in
Einzelstücke). Am Ausgang überlagern sich dann die vielen E-förmigern
Ausgangsfunktionen g(t), g(t-t1), g(t-t2), etc. zu deiner
Gesamtfunktion. Soweit klar?
Diese Aneinanderreihung einzelner Funktionen kann man auch as Faltung
verstehen (für genauere Erklärugn der Faltung bitte selber informieren
oder nochmal nachfragen)
Dein G(s) ist nun nichts weiteres als eine andere Beschreibung dieser
abfallenden E-Funktion (nicht im Zeitbereich, sondern eben im
Bildbereich der Laplacetransformation). dadurch ergeben sich einige
vereinfachungen beim Rechnen.
Thomas schrieb:> Welche> Information steckt in diesem U(s)?
U(s) ist die Laplacetransformierte deines Eingangssignales u(t). Dieses
nimmt man in der Regel als endliches Signal das nicht periodisch ist an.
Du beschreibst also deinen gesamten zeitlichen Verlauf auf andere Weise.
Thomas schrieb:> Wie kann das gehen?
Dies ist eine Vereinfachung die man immer trifft damit man es von Hand
rechnen kann. Man nimmt an dass das System "Gedächtnis"-frei ist. Dies
bedeutet dass das Verhalten des Systems (in unserem Falle seine
Übertragungsfunktion) nicht von vergangenen Ereignissen abhängig ist.
Thomas schrieb:> Beschreibt das U(s), wenn man es rücktransformiert, einen vollständigen> Signalverlauf?
Ja, es beschreibt deinen kompletten Signalverlauf in einer anderen Form.
Wie intern gerechnet wird, kann ich dir leider nicht sagen
Thomas schrieb:> Ich nehme an im Zeitbereich, denn wenn ich z.B. eine Rückkopplung> einbaue, dann kenne ich das vollständige Eingangssignal ja nicht mehr im> vorraus.
Für eine Rückkopllung kannst du aber auch eine Übetragungsfunktion
definieren, guck mal hier, bei Störverhalten eines Regelkreises, da
sollte es denke ich deutlich werden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Regelkreis
astroscout schrieb:>> s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme>> ich an)> Nein,, das soll nur heißen, das s eine Kompleze zahl sein kann, das hat> nichts mit Frequenz und Phase zu tun. Guck dir mal an, wie man Komplexe> darstellt, dann sollte es klarer werden.Albert ... schrieb:>> s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme>> ich an)> Falsch. s ist zu verstehen als "Komplexe Frequenz".
D.h. der Betrag von s ist die Frequenz?
Danke Albert für die schöne Erklärung. Ich denke ich habs jetzt intuitiv
begriffen.
Es würde mich trotzdem noch interessieren ob SIMULINK im Zeitbereich
rechnet oder nicht.
Thomas schrieb:> D.h. der Betrag von s ist die Frequenz?
Das stimmt auch nicht. S ist ein Mathematisches Konstrukt das zum einen
die Schwingfrequenz an sich und die Hüllkurve einer Schwingung
beschreibt.
Nehmen wir als Beispiel eine abklingende E-Funktion innerhalb dieser
eine Sinusschwingung liegt (die Amplitude dieser Sinusschwingung nimmt
also Exponentiell ab).
So beschreibt
Eine Uebertragungsfunktion basiert auf verschiedenen Voraussetzungen.
Das System ist linear. Das bedeutet :
Sei Out:=U(In); dann ist a*Out:=U(a*In); mit a aus R
Das System ist invariant und ohne Vorgeschichte.
Die einfachste Interpretation ist, dass die Uebertragungsfunktion der
Graph des Spektumanalyzer auf einen Sweep-Eingang ist.
