Ähnlichkeitsmaß, Skalarprodukt bei DFT

Peter Gast 30.04.2012 14:07 #2657737

Hi ...

Ich versuche gerade Vektorraummodelle bzgl. der Ähnlichkeit von 
Signalabschnitten genauer zu Betrachten ... dabei bin ich naütrlihc 
wieder darauf zurückgekommen das die DFT nichts anders als das 
Skalarprodukt des zu analysierenden/zu transformiertes Signal mit einer 
komplexen Exp-funktion ist. d.h man versucht ja eine gewissen 
Ähnlichkeit zu einem Sinus/CosinusSignal festzustellen ... warum ist 
dann eigentlich das Skalarprodukt das beste Maß dafür ? -> wenn ich mir 
die Kurve gleicher Skalarprodukte anschaue -> 
http://information-retrieval.de/irb/Abbildung_33.html ist das 
Skalarprodukt für "Signal die weit weg vom Referenzsignal sind, im 
Vektorraum" gleich !
Der Differenzvektor bzw. dessen Betrag wäre dann eher noch sinnvoller 
... wo liegt mein Denkfehler ?

Dankeschön
lg Peter

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Strubi Gast 07.05.2012 08:19 #2666006

Moin,

der Gag am Skalarprodukt ist ja, dass es für Vektoren, die dazu 
orthogonal (in der Geometrie 'rechtwinklig') stehen, Null ist. Du 
kannst, von der Annahme ausgehend (also Fourier), dass Du eine Funktion 
als Summe von  Sinus/Cosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenz 
schreiben kannst, ergo einen Funktionen-Vektor aus einer orthogonalen 
Basis konstruierst, deine Funktion dem entsprechenden Skalarprodukt 
füttern und damit darauf testen, ob sie eine gewisse Frequenzkomponente 
(bzw. den Basisvektor) enthält (SP = nicht null) oder nicht enthält (SP 
= null).
Dieses Mass kann Dir eine einfache Subtraktion ja nicht liefern, da Du 
die Amplitude und den Offset der Sin/Cos-Komponenten a priori nicht 
kennst..

Schreib Dir doch mal eine Summe aus verschiedenen sin und cos hin und 
lass die Funktionenprodukte mit der "Probe-Frequenz" plotten, dann 
fällt's Dir sofort ins Auge.

Das Verwirrende an der Sache ist ev. die Abstraktion des  geometrischen 
SP in die Welt der Funktionen. Insofern ist Deine obige Web-Quelle 
vielleicht nicht ganz optimal.

Grüsse,

- Strubi

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Ähnlichkeitsmaß, Skalarprodukt bei DFT

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