Korrespondenz bei Fourier-Transformation ermitteln?

Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Fourier-Transformation und
bin nun bei der Korrespondez zwischen der Original und der
Bildfunktion angelangt.
Nun besteht ja folgender Zusammenhang zwischen

$$f(t)$$

und

$$F(\omega)$$

==>

$$\textstyle F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t)* e^{-j \omega t} d{\omega}$$

Wenn ich jetzt z.B

$$f(t) = e^{-|t|}$$

habe folgt daraus die Korrespondenz:

$$F(\omega) = \frac{2}{1 + \omega^2}$$

Das wäre doch:

$$\textstyle[\frac{e^{-t(1+j\omega)}}{1 + j\omega}]_{-\infty}^\infty$$

Was nicht definiert ist oder?

Gruss Bert