Frage zu Integralsubstitution:

[Bert S. (kautschuck)]

Hallo,
ich habe folgendes Integral, für das ich die Substitution nicht 
herleiten kann:

$$\int{\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}dx}$$

Die Substitution sollte x = 2 * Sin(u) sein, jedoch wie kommt man drauf?

Ich sehe nur das

$$\int{\frac{\sqrt{4-x^2}}{1}dx}$$

etwas mit

$$\frac{1}{arcsin(x)}$$

 abgeleitet zu tun hat.

[U. B. (Gast)]

> ... wie kommt man drauf?

Ist doch egal, oft durch raten.

Wenn die Subst. funktioniert (?), und man den Def.-Bereich beachtet, ist 
doch alles gut ???

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

bei Berechnungen, die zu Ausdrücken der Form

$$1-x^2$$

führen ist es oftmals sinnvoll die Gleichung

$$cos^2(x)+sin^2(x)=1$$

 bzw.

$$1-sin^2(x)=cos^2(x)$$

im Hinterkopf zu behalten.


Dagegen ist bei Ausdrücken der Form

$$1+x^2$$

die Gleichung

$$cosh^2(x)-sinh^2(x) = 1$$

 bzw.

$$1+sinh^2(x)=cosh^2(x)$$

oftmals zielführender.


In dem von Dir erwähnten Beispiel steht unter der Wurzel "4-x^2". Im 
ersten Schritt ist es daher sinnvoll die "4" auszuklammern.

$$\int{\frac{\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4})}}{x^2}}dx = 2\cdot\int{\frac{\sqrt{(1-(\frac{x}{2})^2)}}{x^2}}dx$$

Anschließend drängt sich die Substitution

$$\frac{x}{2}=\sin(u)$$

bzw.

$$x=2\cdot\sin(u)$$

förmlich auf.


Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Matthias L. (Gast)]

>Die Substitution sollte x = 2 * Sin(u) sein, jedoch wie kommt man drauf?

Da es, im Gegenteil zur Ableitung, bei sowas keine klaren Vorschriften 
gibt, ist das finden geeigneter Substitutionen oftmals ein Raten.

Mein Mathe-Prof sagte mal dazu, dass sowas durchaus das Lebenswerk eines 
Mathematikers sein kann...