Spektrum so erzeugen, dass Sinus rauskommt

Black Saint schrieb:

> Wir sollen eine Spektrumsfolge so erzeugen, dass mit der IDFT ein (rein
> reeller) Sinus von gegebener Frequenz rauskommt.

Ein Sinus hat keine Spektrumsfolge, somdern nur eine einzige
diskrete Frequenz.
Gruss
Harald

Marek N. schrieb:
>

das mag auf die kontinuierliche fouriertransformation zutreffen, aber 
nicht auf die diskrete.

@t: ein bisschen selber rechnen darfst du schon ;) werde dennoch ein 
beispiel machen, auf die gefahr hin dass es (mit evtl. fehlern) hirnlos 
abgeschrieben wird.

d.h.: nyquist beachten, beliebigen sinus df transformieren
die dft-länge muss ein vielfaches der periodendauer sein, sonst bekommst 
du den leck-effekt mit rein.

hier ein beispiel für 10*f_0 = f_s, länge DFT = 10 (10 abtastpunkte für 
1 periode)

$$f(k)=\sin\left(\omega_{0}T_{s}\cdot k\right)=\sin\left(\frac{\omega_{0}}{\omega_{s}}\cdot2\pi k\right)=\sin\left(\frac{2\pi k}{10}\right)$$

$$F(i)=\sum_{k=0}^{9}f(k)\cdot e^{-2\pi j\cdot\frac{i\cdot k}{10}}=\sum_{k=0}^{9}\sin\left(\frac{2\pi k}{10}\right)\cdot e^{-2\pi j\cdot\frac{i\cdot k}{10}}=\sum_{k=0}^{9}\frac{1}{2j}\left(e^{j\frac{2\pi k}{10}}-e^{-j\frac{2\pi k}{10}}\right)\cdot e^{-2\pi j\cdot\frac{i\cdot k}{10}}$$

$$=\frac{1}{2j}\left[\sum_{k=0}^{9}e^{-2\pi jk(\frac{-1+i}{10})}-\sum_{k=0}^{9}e^{-2\pi jk(\frac{1+i}{10})}\right]=\frac{1}{2j}\left[\sum_{k=0}^{9}\left(e^{-2\pi j(\frac{-1+i}{10})}\right)^{k}-\sum_{k=0}^{9}\left(e^{-2\pi jk(\frac{1+i}{10})}\right)^{k}\right]$$

im letzten schritt darf man nicht mit der endlichen geometrischen reihe 
verinfachen. in die falle bin ich erst getappt.

das spektrum ist dann:

$$\left\{ 0,-5j,0,0,0,0,0,0,0,5j\right\}$$

interessant hier ist die analogie zum kontinuierlichen sinus mit seinen 
imaginären diracs, der zusammenhang war mir bis jetzt auch nich bewusst. 
kann man sicher irgendwie überführen.

man beachte hier auch die symmetrie, die sich daraus ergibt, dass es ein 
reelles zeitsignal ist:

$$\left\{ F(0),F(1),F(2),F(3),F(4),F(3)^{*},F(2)^{*},F(1)^{*}\right\}$$

mehr dazu:

http://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Fourier-Transformation#Sonderfall:_DFT_f.C3.BCr_einen_reellen_Vektor

bei der rücktrafo nicht wundern dass was komplexes rauskommt, das ist 
normal.

der vollständigkeit halber: der realteil der rücktransformierten folge.

keine ahnung ist so

Von der rellen, in T = 2·π÷ω periodischen Zeitfunktion f(t) werden (in 
gleichem Zeitabstand) N Abtastwerte f[n] (n: hier Zeit-Index) gemessen.
Die DFT ergibt die N komplexen Fourier -Koeffizienten c[k] (k: hier 
Frequenz-Index).
Die IDFT rekonstruiert daraus die N rellen Abtastwerte f[n].

Mit den Koeffizienten c[k] und der Substitution ω·t =  n·2·π÷N kann auch 
ein interpolierendes trigonometrisches Polynom (in t) angegeben werden, 
welches die N Abtastwerte ebenfalls exakt reproduziert.

Für gerade N existiert der (reelle) Koeffizient c[½·N], welcher der 
halben Abtastfrequenz (Nyquist -Frequenz) entspricht.
Falls c[½·N] ≠ 0, enthält der (trig. Polynom -) Term 
c[½·N]⋅exp(j·½·N·ω·t) tatsächlich, wie Frank Meier erwähnte, einen 
Imaginärteil, welcher jeweils genau zu den Abtastzeitpunkten 
verschwindet.
  Jedoch, wie gesagt: dieser imaginäre Anteil erscheint nur in der 
interpolierenden Zeitfunktion, abseits der Abtast -Zeitpunkte.