Hai!
Vorweg: Analysis war mein Hass-Fach, meine Ausführungen
erfolgen unter Ausschluss jeglicher Gewähr für Korrektheit,
Verständlichkeit oder Tauglichkeit für einen bestimmten
Zweck. :-)
Martin schrieb:
> ich will eine Regressionsgerade ermitteln. [...]
> Vorgehensweise 1)
> dSQ/dm = 0
> dSQ/db = 0
> Lösung dieses Gleichungssystems => m,b
Hmm... sieht sinnvoll aus. Anschauliches Bild: Wir stellen
uns ein m-b-SQ-Diagramm vor, in dem irgendwo ein nach oben
geöffnetes (einschaliges) Rotationsparaboloid schwebt. Jedem
Punkt (m,b) ist damit eine Quadratsumme SQ zugeordnet; das
Minimum (d.h. die gesuchte Lösung) liegt logischerweise in
der "runden Spitze" dieses Paraboloids.
Deine Gleichungen oben sind zwei erste Ableitungen - eine
für jede Koordinate. Die Ableitungen sind in unserem Bild
(Paraboloid) Geraden bzw. Ebenen; die Nullstelle gibt die
jeweilige Koordinate der Lösung an.
> Vorgehensweise 2)
> dSQ^2/dm/db = 0
> Lösung dieser Gleichung => m,b
>
> Wieso ist Vorgehensweise 2 falsch?
> Nach einmal ableiten nach m bekomme ich einen p-parametriesierten
> Ausdruck, der die Änderungsrate von SQ über m darstellt.
Ja.
In unserem Bild von oben (Paraboloid) müsste das eine Ebene sein.
> Diese abgeleitet nach b und zu Null gleichgesetzt,
Hier steckt, glaube ich, das Problem: Wir betrachten ja nicht
mehr das Paraboloid SQ(m,b), sondern die Ebene dSQ/dm, und
von dieser bestimmen wir die Ableitung in b-Richtung.
> findet Abhängigkeit von m und b sodass, bei denen
> Änderungsraten 0 sind => min oder max.
Nein, nicht Änderungsraten - es ist nur eine Rate! Die
Gleichung dSQ^2/dm/db = 0 fragt: "An welchen Stellen hat
die Änderungsrate dSQ/dm lokale Extrema in b-Richtung?"
Da ist überhaupt keine Rede davon, dass dSQ/dm selbst
gleich Null sein müsste - nur deren Ableitung in b-Richtung
muss gleich Null sein! Das ist etwas ganz anderes.
> Mal anderes Beispiel:
> f(x1,x2)=p(x1)+q(x2) mit p,q:R->R und f:RxR->R
> Bei Vorgehensweise 1 erkennt man, dass beide Summenteile
> für sich optimiert werden. Aus p wird min/max auf x1 Achse
> bestimmt, aus q min/max auf x2 Achse.
Ja, logisch, zwei Bestimmungsgleichungen und zwei gesuchte
Koordinaten.
> Bei Vorgehensweise 2 erkennt man, dass df^2/dx1/dx2 immer 0
> ist.
Ja, sollte nach obigem auch logisch sein: Wenn df/dx1 nicht
von x2 abhaengt, dann kommt überall 0 raus. Das sagt ja nur
aus: "df/dx1 ändert sich nicht, wenn sich x2 ändert" Es sagt
aber nix darüber, wie groß df/dx1 ist - sondern nur, dass
es konstant (in x2-Richtung) ist.
> Mir fehlt ein klares Bild was bedeuten (x1,x2) grapisch, die
> aus beiden Methoden sich ergeben.
>
> Kann jemand dazu was sagen?
Ich hab was gesagt.
Hat es geholfen?
Grusz,
Rainer
