Impulsinvariante Transformation

Hallo!

Über Wikipediaformeln zu reden ist so eine Sache.

Um zu G(z) von einem System G(s) zu gelangen , wird bei der
impulsinvarianten Transformation davon ausgegangen, dass das
zeitkont. System G(s) eingangsseitig mit einem D/C-Converter
beschalten ist und ausgangsseitig mit einem C/D-Converter:

               x(t)        y(t)
x[n] ---> D/C  --->  G(s)  ---> C/D --->  y[n]

Um die Impulsantwort zu erhalten setzt man für x[n] das Kronecker-Delta
an. Die Laplacetransformierte von x(t) wird damit zu X(s)= 
(1-exp(-sT))/s.
X(s) regt das System G(s) an, das zeitkont. Signal y(t) wird dann
wieder mit der Frequenz 1/T abgetastet. y[n] fasst man dann in
Form einer z-Transformierten zusammen (geschlossene Formel für die
Zahlenreihe). Dadurch gelangt T in die Formeln.
Für diesen Schritt verwendet man typischerweise Korrespondenztabellen 
(gleich wie bei allen anderen Transformationen - das macht man einmal 
und dann verwendet man Tabellen bzw. den Computer).

Wenn G(s) mehrere Pole besitzt wendet man die Partialbruchzerlegung an. 
Dann kann man jeden Systemteil einzeln betrachten und am Ende zählt man 
wieder zusammen. Komplexe Pole kann man gleich behandel wie einfache 
reelle Pole. Für Mehrfachpole muss man die entsprechende 
Reihenentwicklung
durchführen (bzw. die richtige Korrespondenz verwenden).

In dem Buch

http://portal.tugraz.at/portal/page/portal/Files/i4430/Dateien/Buecher_Software/DigiReg.pdf

findet man ein paar Beispiele für die z-Transformierte von 
Mehrfachpolen.

Hoffe das hilft.

 Cheers

Hallo!

Ja, MATLABs c2d(Hs,T, 'zoh') ist genau die obige Formel. Sie liefert
die zeidiskrete Impulsantwort des Systems  D/C - H(s) - C/D für
die Abtastperiode T.

Die Option 'impulse' in c2d kannte ich bis jetzt gar nicht. Die Option 
macht aber nichts anderes, als die kont. Impulsantwort abzutasten.
Tabelle 3.2 im PDF gibt dazu ein paar Korrespondenzen.
D.h. diese Transformation liefert

  H(z) = Z( L^{-1}(H(s)) )  für ein bestimmtes T

Das ist somit eigentlich schon nicht mehr direkt vergleichbar,
denn hier tastet man einfach eine kont. Impulsantwort ab.

Mit der Option 'zoh' berechnet man die Impulsantwort des Systems
x[k] --> D/C - H(s) - C/D --> y[k]. Das kont. System wird dabei
durch X(s) = (1-exp(-sT))/s (Rechteckimpuls mit Dauer T) angeregt.
Man erhält damit eine zeitdiskrete Approximation des Frequenzganges
von H(s).

Sind also zwei verschiedene Dinge. Bei der Abtastung der kont. 
Impulsantwort ('impulse') gibt es keine Freiheitsgrade. Bei der 
Approximation des Frequenzganges hat man aber noch Freiheitsgrade. Z.B. 
kann man  eine andere Approximation verwenden, wie z.B. first order hold 
('foh').

Die Unterschiede kann man sich leicht anschauen:

s = tf('s');

a = -1;
Gs = 1/(s-a);

Ts = 0.01;

Gz1 = c2d(Gs,Ts,'zoh')
Gz2 = c2d(Gs,Ts,'foh')

step(Gs,Gz1,Gz2)


Gewiss ist eine höhere Approximation genauer, aber es ist dann immer
auch eine Frage des Aufwandes/Nutzen.


Cheers