Hallo, könnt ihr mir helfen?
Für ein Integral einer reellen Funktion, kann man sich ja anschaulich
vorstellen, dass das Integral eine Fläche berechnet, also dass
einfach die durch f(t) gegebene Fläche M im Bereich t=[2,5] berechnet.
Und dass dies über eine Summation der Werte in infinitesimal kleinen
Schritten in diesem Bereich erfolgt.
Nun suche ich eine solche anschauliche Vorstellung auch für ein Integral
einer komplexen Funktion, bei der ich mir nicht wirklich vorstellen
kann, was da passiert. Als Beispiel würde ich das Fourier-Integral
nehmen:
Setzt man f(t) als reell voraus, hat man hier einfach eine komplexe Zahl
mit Betrag und negativem Winkel, z.B. darstellbar in der gaußschen
Ebene. Aber eine Summation in unendlich kleinen Schritten kann ich mir
nun irgendwie nicht anschaulich vorstellen. Gibt es eine gute
Veranschaulichung für diesen Fall?
Der Vergleich der beiden Integrale hinkt meiner Meinung nach etwas.
schließlich ist beim ersten Integral die Funktion fix, wohingegen beim
zweiten Beispiel die Funktion noch eine Abhängigkeit von
aufweißt.
Man kann das ganze Integral aber natürlich für ein fixes
betracheten, wodurch es wieder eine Flächenbetrachtung wird, halt mit
anderen Grenzen und einer anderen Funktion als im ersten Beispiel. Ob da
jetzt komplexe Zahlen vorkommen ist, bestimmt halt nur, ob dann zum
schluss eine "komplexe Fläche" rauskommt. Man kann das ganze natürlich
in zwei Integrale aufteilen und Realteil und Imaginärteil getrennt
betrachten, wenn f(t) reell ist.
Dann hätte man halt zwei getrennte Flächenbetrachtungen, wenn man bei
einer Frequenz hinschaut.
Ganz einfach: Man teilt das komplexe Integral in ein Integral über den
Realteil und ein Integral über den Imaginärteil auf. Beim
Fourierintegral ergeben sich verschiedene Skalarprodukte, die man
wiederum sich anschaulich klarmachen kann.
Wir zerlegen das Integral in seine Bestandteile.
1. e hoch j omega ist ein rotierender Zeiger in der komplexen Ebene. Er
hat den Betrag 1
2. e hoch j omega t hat als dritte Dimension die Zeit, d.h. der Zeiger
rotiert in der komplexen Ebene und bewegt sich dabei gleichzeitig auf
der Zeitachse.
3. f(t) ändert den Betrag der e-Funktion mit der Zeit.
4. f(t) mal e hoch j omega t ist also ein rotierender Zeiger in der
komplexen Ebene der zu jeder Zeit seinen Betrag ändert.
5. Das Forierintegral summiert nun diese Funktion auf.
Ich weiß nicht, ob die Frage überhaupt Sinn ergibt. In der Mathematik
gibt es nunmal sehr viele Dinge, die man sich einfach nicht vorstellen
kann, weil das nichts ist, wofür das Gehirn "gebaut" ist.
Was für einen Erkenntnisgewinn gibt es, wenn man sich die Integrale für
den Imaginär- und den Realteil getrennt als Fläche vorstellt? Was hat
diese Aussage für einen Einfluß auf das Gesamtergebnis oder auf die
Lösung von Aufgaben?
Das ist wie das Rechnen mit Unendlichkeiten. Mathematisch abstrahiert
kein Problem. Aber kann sich jemand wirklich einen unendlichen Raum, ein
unendliches Universum, vorstellen? Irgendwie fragt sich doch jeder, was
ist drumherum. Das entspricht einfach nicht unserer Alltagserfahrung.
In diesem Fall müsste man sich meiner Meinung nach das Ergebnis als
aneinandergereihte Flächensumme mehrerer unterschiedlich gedrehter
Flächenelemente vorstellen, weil die REAL/IMAG-Spaltung vergleichbar
ist, der SIN/COS-Spaltung. Neben dem skalaren Produkt (bei der FFT
werden z.. die COS mit den R und die SIN mit den IMAG verknüpft, um die
partiellen Frequenzanzeile zu erhalten) exisitert ja auch noch das
vektorielle Produkt, das mit Kreuzverknüpungen arbeitet. Dies wären dann
die in einem nichtkonservativen Feld wirksamen Drehmomente (übers
Kreuzprodukt), die sich aus einer Verkettung gekrümmt angeordneter
Teilmomente ergibt.
Durch die komplexe Rechnung kann ich quasi beide Aspekte in einem
berücksichtigen - je nachdem, wie die Vektoren zueinander stehen.
Ein Mathematiker von uns hat mir mal ein Verfahren gezeigt, das nicht
mit planaren Vektoren arbeitet, sondern mit über die Frequenz linear
drehenden Vektoren. Damit kann man dann die bei Bewegungen sich
kontinuierlich verändernd abbildenden Momente / Skalare berechnen, z.B.
wenn sich die Energien von Farben in einem Punkt addieren, der von
gekrümmten Linsen bestrahlt wird. Die Längsrefelxionen wären dabei die
COS-Anteile, die Querreflexionen die SIN-Anteile.
... schrieb:> Ich weiß nicht, ob die Frage überhaupt Sinn ergibt. In der> Mathematik> gibt es nunmal sehr viele Dinge, die man sich einfach nicht vorstellen> kann, weil das nichts ist, wofür das Gehirn "gebaut" ist.>> Was für einen Erkenntnisgewinn gibt es, wenn man sich die Integrale für> den Imaginär- und den Realteil getrennt als Fläche vorstellt? Was hat> diese Aussage für einen Einfluß auf das Gesamtergebnis oder auf die> Lösung von Aufgaben?>> Das ist wie das Rechnen mit Unendlichkeiten. Mathematisch abstrahiert> kein Problem. Aber kann sich jemand wirklich einen unendlichen Raum, ein> unendliches Universum, vorstellen? Irgendwie fragt sich doch jeder, was> ist drumherum. Das entspricht einfach nicht unserer Alltagserfahrung.
Fourier hatte damals ja auch ganz handfeste und anschauliche Probleme
zur Lösung derer er sich dann mathematisch etwas hat einfallen lassen.
Und eben so etwas hatte ich gesucht für den Fall der obigen Integration.
Ein gutes Beispiel für anschauliche Darstellungen ist so etwas:
http://www.sprut.de/electronic/pic/16bit/dsp/fft/fft.htm
Ich zitiere mal von der Seite:
> Die Grundschwingung ist bekanntlich die Sinusschwingung.
Axiom
> Sie gilt als> reine Schwingung, da sie nur eine einzelne Frequenz enthält.
Falsch, interpretierbar
> Andere Signale mögen zwar die gleiche Tonfrequenz haben,> klingen aber trotzdem ganz anders.
Aua
> Mann könnte das zwar alles in Hardware realisieren
"Frau" könnte das auch in Software realisieren. Zumindest würde den
Frauen diese Logik gefallen:
> Die FFT ist aber nur Software. So hat sie zwar kein Gewicht, verschlingt aber
einiges an Rechenpower.
Die masselose FFT, aha. Die "Gewichtungsfaktoren" sind wahrscheinlich
deshalb enthalten, um sie schwerer zu machen.
Man fragt sich, ersthaft ob wirklich einjeder publizieren dürfen
sollte ...
