zeitdiskrete Fourierreihe berechnen eines periodischen Rechtecks

Ich habe das bsp schon fertiggerechnet und erhalte:

$$c_k=\frac{1}{10}\sum_{n=-2}^{2} e^{-j \frac{2\pi}{10} k n} =...=\frac{1}{10}e^{j\frac{2}{5}\pi k}\frac{1-e^{-j\pi k}}{1-e^{-\frac{1}{5}\pi k}}$$

Ich habe zuerst die Grenzen verändert und dann die geometrische Reihe 
berechnet.

Leider liefert aber die Lösung folgendes:

$$\frac{1}{8}\frac{\sin(5\pi k /8)}{\sin(\pi k/8)}$$

Irgendetwas passt da vollkommen nicht zusammen. Nach anwenden der 
Euleridentität komme ich auch nicht ganz darauf. Habe ich etwa einen 
Rechenfehler? Wenn ja, dann wüsste ich nicht wo. Die Rechnung ist so 
einfach und in 2 Zeilen erledigt.

Was sagt ihr dazu?