Integration von einer komplexen Funktion

Joschua C. Gast 18.05.2014 12:54 #3659693

Moin

Ich probiere jetzt schon eine Weile die Funktion f(x)=sin(x)^2 zu 
Integrieren:

∫sin(x)^2dx=∫0.5-0.5cos(2x)dx=0.5x-0.25sin(2x)+c

Soweit so gut, aber wenn ich es komplex versuche:

∫e^(j2x)dx=0.5e^(j2x-90°)+c=0.5*(cos(2x-90°)+jsin(2x-90°))
=0.5*(sin(2x)+jsin(2x-90°))

Kommt totaler Rotz raus. Ich weiß bei einem bestimmten Integral, wenn 
ich dann die Grenzen eingesetzt habe, nicht wo ich dann mein Ergebnis 
als Zahlenwert widerfinde, oder ob da ein Rechenfehler drin ist, oder ob 
man das überhaupt so darf.

Es geht darum den Effektivwert von einer Sinusspannung zu finden. Wenn 
ich den Sinus so lasse, wie er ist, klappt das mit den ganz normalen 
trigonometrischen Sätzen. Aber das muss komplex doch auch gehen...

Ich würde jetzt ganz gerne wissen, ob der Ansatz so stimmt und wie man 
nach dem Integrieren von der komplexen Zahl auf ein reelles Ergebnis 
kommt.

Danke im Vorraus
Pinguin

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A. F. (elagil) 18.05.2014 13:46 #3659763

Du hast den Sinus nicht ganz richtig ins komplexe übertragen. Versuch es 
doch mal so:

$\sin(x) = \frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}$


Andererseits ist die quadrierte Version davon nicht besonders hübsch. 
Deswegen würde ich am ehesten noch diesen Ansatz nehmen:

$\sin^2(x) = \frac{1}{2} \left( 1-\cos(2x) \right) = \frac{1}{2} \left( 1-\frac{e^{j2x}+e^{-j2x}}{2} \right)$


Da kommt dann raus:

$\int \frac{1}{2} \left( 1-\frac{e^{j2x}+e^{-j2x}}{2} \right) dx = \frac{x}{2} - \frac{e^{j2x}}{8j} + \frac{e^{-j2x}}{8j} + c = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \underbrace{\left( \frac{e^{j2x} - e^{-j2x}}{2j} \right)}_{=\sin(2x)} + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + c$


Eine Realteilbildung ist nicht mehr nötig. Trotzdem macht der Rechenweg 
wenig Sinn, er macht das ganze nicht gerade einfacher.

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Joschua C. Gast 18.05.2014 19:26 #3660055

Danke sehr, ich habs gebraucht um eine andere Aufgabe zu lösen, wollte 
mir die Lösung aber nicht vorsagen lassen sondern brauchte mal nen 
kleinen Tritt in die richtige Richtung =D

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