Z-Transformation Konvergenzbereich unklarheit in der Summe

Es geht um folgendes Signal:

$$x[n]=\sin\left( \frac{\pi n}{4} \right ) \left( \delta[n-1]+\delta[n-2] + \delta[n-3] \right )$$

Wenn ich dieses Signal in die Z-Transformation einsetze um den 
Konvergenzbereich von z zu bestimmen, dann bin ich der Meinung, dass für 
alle Werte von z die Summe konvergiert, denn die Diracs sorgen stets 
dafür, egal was passiert, außer bei 0:

$$X[z]= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sin\left( \frac{\pi n}{4} \right ) \delta[n-1]z^{-n}+ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sin\left( \frac{\pi n}{4} \right ) \delta[n-2]z^{-n} + \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sin\left( \frac{\pi n}{4} \right ) \delta[n-3]z^{-n}$$

Denn wenn ich 0 einsetze, dann steht 0 im Nenner und die Summe wird zu 
Unendlich und somit nicht konvergent. Jedoch geht die Lösung davon aus, 
dass NUR für alle z > 0 die Summe konvergiert. Jedoch frage ich mich 
wieso?

Könnte mir jemand einen Denkanstoß geben?