Sprungantwort h(t) aus Impulsantwort eines LTI-Systems

Ohne Gewähr.
Gegeben ist die Impulsantwort im Zeitbereich.

$$h(t) \ = a \cdot \delta (t) +b \cdot x(t)$$

Für die Lösung gibt es zwei Wege.
1. Berechnung der Sprungantwort mittels Faltung.

$$g(t) \ = \ \epsilon(t) \ * h(t)$$

$$g(t) \ = \ a \ \cdot \delta(t) *\epsilon(t) \ +b \ \cdot x(t) * \epsilon(t)$$

$$g(t) \ = \ a \cdot \int_{0}^{t} \delta(u) \cdot \epsilon(t-u) \ \mathrm{d} u \ +b \cdot \int_{0}^{t} x(u) \cdot \epsilon(t-u)\ \mathrm{d} u$$

$$g(t) \ = \ a \cdot \underbrace{\int_{0}^{t} \delta(u) \ \mathrm{d} u}_{1} \ +b \cdot \int_{0}^{t} x(u) \ \mathrm{d} u$$

$$g(t) \ = \ a +b \cdot \int_{0}^{t} x(u) \ \mathrm{d} u$$

2. Berechnung der Sprungantwort im Bildbereich.
Transformation der gegebenen Impulsantwort in den Bildbereich:
h(t) ⊶ H(s)

$$H(s) \ = \ a \ +b \cdot X(s)$$

Sprungfunktion: ε(t) ⊶ 1÷s.

$$G(s) \ = \ \frac{1}{s} \cdot H(s)$$

$$G(s) \ = \ \frac{a}{s} \ + \frac{X(s)}{s}$$

Rücktransformation der Sprungantwort in den Zeitbereich.
⊷

$$g(t) \ = \ a \ +b \cdot \int_{0}^{t} x(u) \ \mathrm{d} u$$

Huch, ich hab die gegebene Impolsantwort falsch abgeschrieben, überall 
müsste es "- b" anstelle "+ b" heissen.
° Und bei "G(s) = a/s +X(s)/s" fehlt im 2. Term noch der Faktor "-b".
° Ausserdem hab ich in der Eile noch G und H vertauscht.