Hurwitz Kriterium

Jan R. Gast #3753794
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Hallo,

für BIBO Stabilität eines LZI Systemes, ist ja immer nur der Nenner 
wichtig. Weil man zur Stabilitätsuntersuchung, ja die Polstellen 
benötigt, darf man nenner und Zähler der übertragungsfunktion des 
geschlossenen Kreises ja nicht durcheinander bringen.

Das heißt doch dann auch, dass ich die Doppelbrüche die Durch einsetzen 
von G0 in die Führungübertragungsfunktion entstehen, nicht einfach 
"wegumformen" darf, da das den Nenner ja verändert.

Also muss ich 1+G0 herausnehmen und Null setzen.

1+G0=0

Jetzt kann ich die Brüche doch aber erstmal auf beiden Seiten mit dem 
Hauptnenner Multiplizieren, dann die Nullstellen bestimmen oder das 
Hurwitz Kriterium anwenden. Ist das so Richtig? Darf man die Gebrochen 
Rationale Gleichung 1+G0=0 mit dem Hauptnenner Multiplizierne um das 
Hurwitz Kriterium anwenden zu können? Denn an der Information über die 
Nullstellen ändere ich so ja nichts.

bsp für Rückgekoppelten Integrierer.

G0/(1+G0) = Gw(s)


1+G0=0

1+1/s=0

1+s=0

s=-1

Also BIBO-Stabil was ja auch klar war.

Ist das soweit Richtig oder fehlt noch was ?

Danke
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Stefan H. #3753858
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Hallo Jan,

du musst die Gleichungen in eine gebrochen rationale Funktion bringen 
(also Hauptnennerform). Dabei gibt es zu beachten, dass Du instabile 
Pole/Nullstellen nicht kürzen darfst, also beispielweise darfst du 
(s-2)/(s-2) nicht raushauen.

Dann nochwas zu Zähler und Nenner:
Der Nenner ist die linke Seite deiner homogenen DGL, die Nullstellen 
enstprechend die Lösungen der homogenen DGL. Der Zähler ist die rechte 
Seite der Differentialgleichung (also die Anregung).

Zum Satz von Hurwitz:
Wenn die Realteile der Nullstellen < 0 sind, so ist sichergestellt, dass 
für t->inf alle Lösungen der homogenen DGL zu 0 werden -> Das System ist 
stabil. Um das herauszufinden, kannst Du die Nullstellen berechnen und 
prüfen. Ab einem Polynom vom Grad 5 geht das aber nicht mehr analytisch. 
Deswegen gibt es das Hurwitzkriterium, welches zwar nichts über die 
Lösung an sich aussagt, wohl aber, ob die Realteile auf der rechten oder 
linken Halbebene liegen.

Also, du musst die Gleichung in die Form an*s^n ... / bn*s^n bringen.

Grüße,

Stefan
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Jan R. Gast #3753892
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Der Nenner ist doch aber immer 1+G0 egal ob Führung oder 
Störungsfunktion, Wenn ich die Doppelbrüche ausmultipliziere, werden die 
Nenner unterschiedlich.

Habe da nen paar Screenshots.

Wie ihr seht, ist der nenner in der Ünertragungsfunktion der Führung 
grad 3 und in der Störfunktion von Grad 2.

Also darf man die Doppelbrüch in Zähler und nenner nicht 
ausmultiplizieren, da sich der Nenner verändert.

Oder was meinetet ihr?


Habe nach Google das Gefunden.

http://www.f07.fh-koeln.de/imperia/md/content/personen/krah_jens/rt.pdf

lest mal auf Seite 72. Wo explizit über die Eqvivalemz der Nenner von 
Führungs und Störfunktion gesprochen word und gesagt wird, dass man sagt

1+G0 = 0 Dass kann man jetzt im die Form a*x^n+b*x^n-1 usw. bringen. Wer 
hat noch was einzuwenden?
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