Die Frage kann man mit den gegebenen Informationen nicht beantworten:
Es ist eine Funktion f(x) zu approximieren, wozu Stützstellen f_i (in
einer Nachguck-Tabelle abgelegt) verwendet werden sollen. Werden die
f_i mit N Bits Nachkommastellen dargestellt, dann lässt sich der dadurch
entstehende Fehler Δf nach oben abschätzen durch
unter der Annahme, dass die Werte f_i an den Stellen x_i mit einer
hinreichend großen Genauigkeit vorberechnet wurden und zur nächsten
darstellbaren Festkommazahl gerundet sind.
Zur Berechnung von f(x) wird das nächste x_i aufgesucht und das
zugehörige f_i statt f(x) verwendet. Bei äquidistanten Stützstellen
kann man immer erreichen, dass |x - x_i| <= Δx/2 ist wenn Δx der Abstand
der Stützstellen ist. Damit ergibt sich als Abschätzung für den Fehler
Die erste Abschätzung folgt aus der Dreiecksungleichung; die zweite wenn
man f um x_i in eine Taylorreihe entwickelt und die Entwicklung nach dem
0. Glied abbricht und eine Restgliedabschätzung nach Schlömlich vornimmt
(unter der Annahme, dass f differenzierbar ist). Die dritte Abschätzung
schätzt den Betrag der Ableitung gegen das Supremum der Ableitung im
tabellierten Intervall ab.
In den Fehler geht also nicht nur die Darstellung der Festkommazahlen
ein, sondern — oh Wunder — auch der Abstand der Stützstellen und
Eigenschaften der zu tabellierenden Funktion.
In deinem Falle willst du erreichen, dass
Falls die so erhaltenen fehlerbehafteten Werte in Rechnungen eingehen,
dann ist natürlich noch deren Konditionierung zu berücksichtigen und der
o.g. Fehler so zu gestalten, dass nach der Berechnung der Fehler
kleiner als 0.1 ist.
Ein sinnvolles Layout einer Nachguck-Tabelle ist so beschaffen, dass
Wenn Δf winzig klein gemacht wird durch sehr viele Nachkommastellen,
aber zu wenig Stützstellen vorhanden sind, ist das offenbar
Verschwendung. Ditto wenn die Stützstellen sehr dicht sind und dadurch
immer ein Haufen aufeinander folgende Tabelleneinträge den selben Wert
haben weil mit zu geriner Genauigkeit gespeichert.
Am einfachsten ist natürlich wenn f eine konstante Funktion ist: dann
ist sup|f'| = 0. Ebenfalls einfach sind Sinus, Cosinus und
Arcus(co)tangens wegen sup|sin'| = 1.
Wenn du also z.B. sin in [0,pi/2] (d.h. 0° bis 90°) tabellieren willst,
sollten die Stützstellen nicht weiter als 0.1 (bzw. ca 5.7°) voneinander
entfernt sein und die Tabelleneinträge mindestens 4 Nachkommastellen
haben. Für die Tabelle genügen 17 Einträge; jeweils in Abständen von
pi/32 bzw. 90°/16.
Dabei bin ich davon ausgegangen, dass eine 2-er Potenz für die
Einteilung einfacher ist als z.B. eine Einteilung in 12 Intervalle, die
bei 4 Bits ebenfalls ausreichend ist. Das hat aber nur rechentechnische
Gründe beim Auffinden des Stützpunktes, evtl. sind auch 12 Stützstellen
günstiger da 90°/12 = 7.5° ein halbwegs runder Wert ist.
Zu beachten ist, dass die obige Abschätzung i.d.R nicht scharf ist, d.h.
auch mit weniger Bits bzw. größeren Abständen bleibt man u.U. unter dem
gewünschten Fehler.
