Numerisch differenzieren bei rauschfreiem Signal

Mirko W. Gast #4540320
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Hallo,
ich hab mich jetzt durch verschiedene Beiträge zum numerischen 
Differenzieren von gesampleten Werten gelesen, sowohl hier im Forum als 
auch auf der englischen Wikipedia und in Fachbüchern.

Der Standardfall scheint zu sein, dass man eine hohe Messauflösung und 
hohes Rauschen hat, da bietet sich dann z. B. der Savitzky-Golay an.

Mein Fall ist jetzt aber gerade umgekehrt:
Mein Sensor liefert ein (nahezu) rauschfreies Signal bei relativ 
geringer Auflösung. Gibt es dafür einen sinnvollen Ansatz?

Beispiel: Rauschfreier Sensor, aber nur 2 bit Auflösung von 0 bis 5V

Damit wird der Wertebereich in vier Stufen eingeteilt:

 0    bis 1,25V (Anzeige: 0V)
>1,25 bis 2,5 V (Anzeige: 1,25V)
>2,5  bis 3,75V (Anzeige: 2,5V)
>3,75 bis 5 V   (Anzeige: 3,75V)

Wenn man bei diesem Signal den (Vorwärts)Differenzenquotienten zwischen 
zwei Werten bildet, gibt es ein ganzes Spektrum an möglichen wahren 
Werten. Nehmen wir an, der Messwert zweier aufeinanderfolgender Samples 
ist identisch, dann ist der Differenzenquotient (rechnerisch) null, der 
wahre Wert könnte dann aber irgendwo zwischen -1,25V und +1,25V liegen.

Ich habe also zwei Fragen:
1. Allgemein gefragt: wie geht man damit um?
2. Wie kann man die verschiedenen Werte algorithmisch berechnen und 
welchen sollte man dann annehmen / für weitere Berechnungen 
berücksichtigen?
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Kai S. #4540486
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Hallo,

wenn du die Werte nicht direkt brauchst (also erst aufnimmst und dann 
auswerten kannst) kannst du Splines verwenden (sind Polynome, die durch 
die entsprechende Anzahl der Messpunkte gelegt werden). Diese lassen 
sich je nach Grad dann differenzieren.

Gruß Kai
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Dergute W. #4540532
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Moin,

Irgendwie faellt mir schwer, das als rauschfrei abzukaufen. Der geheime 
Sensor hat 2bit Aufloesung, da wuerd' ich einfach mal mutmassen, dass 
der irgendwas analoges sensorisiert. Und schon hab' ich mal so uebern 
Daumen gepeilt nur noch 12dB Signal/Rauschabstand, einfach durch die 
Quantisierung. Bei nicht ganz Vollaussteuerung vielleicht noch weniger 
S/N.
Ohne das Signal und dessen evtl. Eigenheiten zu kennen, wuerd' ich mal 
von weissem Rauschen ausgehen. Wenn das mal keinen Aerger beim 
differenzieren macht...

Gruss
WK
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Mirko W. Gast #4540661
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@Weka: natürlich ist das mit den zwei Bit nur eine Überspitzung. Mir 
geht es dabei um die theoretische Seite, allerdings mit praktischem 
Hintergrund.
Der wahre Wert ist eben prinzipbedingt nicht der gemessene Wert. Die 
niedrige Auflösung sollte nochmal verdeutlichen, dass der wahre Wert 
durchaus aus einem größeren Bereich stammen kann.

Mir geht es wie in der Ausgangsfrage erwähnt darum, wie man so ein 
Signal dann numerisch differenziert. Denn wenn zwei aufeinanderfolgende 
Samples den gleichen Wert haben, ist der Differenzenquotient null.

Aber ich glaube, ich habe jetzt verstanden (auch wenn es zu lange 
gedauert hat):
Der Differenzenquotient ist 0 ± 1 LSB bzw. allgemeiner x ± 1 LSB. Das 
war mir vorher nicht so bewusst.
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