Ein Mathematiker sagte mir einmal, das die Differenz zwischen zwei
aufeinander folgenden Primzahlen beliebig gross sein könne. Jedoch den
Beweis blieb er mir schuldig, ich mag es auch nicht recht glauben. Ich
habe durch manuelles suchen in einer Tabelle der Primzahlen bis 100000
zufaellig zwei aufeinander folgende gefunden bei denen die Differenz
z.B. 22 ist. Wie würde man z.B. zwei suchen mit einer Distanz von 1000?
Das angehängte Bild zeigt wie mir ein Licht aufgeht... ;-)
Peter Z. schrieb:> Wie würde man z.B. zwei suchen mit einer Distanz von 1000?
Wenn Du im Papier suchen willst: die letzten 3 Stellen sind gleich und
die 4. verschieden. Beachte Spaltenumbrüche.
Also die Primzahlen werden immer seltener je größer die Zahl. Also in
der Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 1000 sind sagen wir n
Primzahlen, in der Menge der natürlich Zahlen von 1001 bis 2000 sind m
Primzahlen wobei m<n.
Da es unendlich viele Primzahlen gibt, wird die "Primzahlendichte"
(könnte man verstehen als Anzahl der Primzahlen je zusammenhängenden
1000 natürlichen Zahlen) auch unendlich klein, nicht Null aber eben
fast. Damit wird der Abstand zwischen zwei benachbarten Primzahlen immer
größer und irgendwann auch sehr groß. Auch größer als 1000 oder 1000000.
Ich habe aber noch eine andere Frage:
Wenn man verschlüsselt, werden ja zwei große Primzahlen verwendet. Da
gibt es aber gar nicht so viele (ich weiß nicht wie viele). Kann es
sein, dass viele Schlüssel gleich sind weil die selben Primzahlen
verwendet werden? Oder sind große Primzahlen doch noch so häufig, dass
wir alle unterschiedliche Schlüssel haben?
Das kann ich dir sofort wiederlegen: Der Abstand kann vielleicht groß
sein, aber definitiv nicht beliebig, denn abgesehen von ein paar wenigen
Ausnahmen bei den ganz kleinen Primzahlen, muss der Abstand immer
geradzahlig sein. Das liegt daran, dass alle Primzahlen (außer 2)
ungerade sind (sonst wären sie durch 2 teilbar) und die Summe aus zwei
ungeraden Zahlen ergibt immer eine gerade.
Stephan W. schrieb:> Das kann ich dir sofort wiederlegen: Der Abstand kann vielleicht groß> sein, aber definitiv nicht beliebig,
Doch der Abstand kann beliebig groß werden:
Betrachte die auf n! folgenden Zahlen ab n! + 2
n! + 2 ist ebenso wie n! durch 2 teilbar, also keine Primzahl
n! + 3 ist ebenso wie n! durch 3 teilbar, also keine Primzahl
n! + 4 ist ebenso wie n! durch 4 teilbar, also keine Primzahl
...
n! + n ist ebenso wie n! durch n teilbar, also keine Primzahl
Weil zudem n!+k (k=2..n) durch k teilbar ist, aber mit n! eine kleinere
natürliche Zahl ebenso durch k teilbar ist, ist n!+k selbst keine
Primzahl.
Weil n beliebig groß gewählt werden kann gilt dies auch für k, das
lückenlos alle Zahlen von 2 bis n durchläuft.
Johann L. schrieb:> Doch der Abstand kann beliebig groß werden:
Ich meine, dass hier ein Missverständnis vorliegt. "Beliebig groß"
bedeutet für mich, ich kann eine beliebige Zahl wählen und werde dafür
zwei aufeinanderfolgende Primzahlen finden, die genau diesen Abstand
haben. Das habe ich aber oben wiederlegt. Es gibt keine zwei Primzahlen
im Abstand 1001 weil alle Primzahlen größer 2 ungerade sind und die
Summe zweier ungeraden Zahlen eine gerade ergibt.
Was du meinst sind Primzahlen mit einem Abstand, der größer ist als eine
beliebige Zahl.
@Stephan W.:
Mit beliebig groß meinte ich, dass wenn du mir eine beliebige Zahl
nennst, ich dir zwei Primzahlen mit einem größeren Abstand als diese
Zahl nennen kann.
(kann ich selbst natürlich nicht, aber ist theoretisch möglich)
Das glaube ich natürlich sofort. Johann hat auch schon den Beweis dafür
erbracht. Jetzt muss Peter nur noch mal klarstellen, welche Variante er
genau meinte ;)
Gustl B. schrieb:> Mit beliebig groß meinte ich, dass wenn du mir eine beliebige Zahl> nennst, ich dir zwei Primzahlen mit einem größeren Abstand als diese> Zahl nennen kann.
DAS wiederum ist nicht so einfach. Der von mir skizzierte Beweis (und
ähnliche) zeigen lediglich, dass es keine obere Grenze für Intervalle
natürlicher Zahlen gibt, die keine Primzahlen enthalten.
Um zu zeigen, dass die Lücke zwischen Primzahlen beliebig groß werden
kann, genügt dies aber nicht! Erst wenn man hinzunimmt, dass es
unendlich viele Primzahlen gibt — was bereits in der Antike bewiesen
wurde — folgt, dass Primzahllücken nicht nach oben beschränkt sind.
Allerdomgs folgt aus dem Beweis kein Rezept, wie denn zwei solche
Primzahlen genau auszusehen haben oder wie sie zu konstruieren wären.
Um die Primzahlen zu "nennen", wie du es nennst, gibt es nur einen Weg:
Suchen
Gesucht wird z.B. von n!+1 abwärts und von n!+n+1 aufwärts (für eine
Lücke von mindestens n-1), indem für Zahlen, die einen
Pseudoprimzahl-Test bestehen, bewiesen wird, dass sie tatsächlich
Primzahl sind (z.B. per Goldwasser-Kilian-Atkin oder Pocklington).
https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve_primality
Ansgar K. schrieb:> Ey gibt doch wahrscheinlich auch unendlich viele Primzahlpaare dann kann> der Abstand ja nicht unendlich groß werden irgendwann ist er doch wieder> 2
Wenn ich es richtig verstanden habe, wächst der maximale Abstand
zwischen zwei Primzahlen. Das sagt aber nichts über den minimalen
Abstand aus.
Stephan W. schrieb:> Ich meine, dass hier ein Missverständnis vorliegt. "Beliebig groß"> bedeutet für mich, ich kann eine beliebige Zahl wählen und werde dafür> zwei aufeinanderfolgende Primzahlen finden, die genau diesen Abstand> haben.
Dann liegt der Fehler bei dir. Im mathematischen Kontext bedeutet
beliebig groß nämlich etwas anderes. Korrekt formuliert würde es
heißen "es existiert keine untere Schranke für die Differenz zweier
aufeinander folgender Primzahlen".
Das was du in die Formulierung "beliebig groß" hinein interpretierst,
würde mathematisch ungefähr so formuliert werden: "für jede natürliche
Zahl n existiert ein Paar aufeinander folgender Primzahlen, deren
Differenz gleich n ist". Aus offensichtlichen Gründen wäre diese
Behauptung falsch - denn es existiert nur ein einziges Primzahlpaar,
dessen Differenz ungerade ist.
Axel S. schrieb:> "es existiert keine untere Schranke für die Differenz zweier> aufeinander folgender Primzahlen".
Du meinst wohl "obere Schranke". Die unter Schranke ist 1.
Uhu U. schrieb:> Axel S. schrieb:>> "es existiert keine untere Schranke für die Differenz zweier>> aufeinander folgender Primzahlen".>> Du meinst wohl "obere Schranke". Die unter Schranke ist 1.
Ja, er meint natürlich "obere Schranke", also: Für jede vorgegebene
(natürliche) Zahl n existieren zwei aufeinander folgende Primzahlen,
deren Differenz mindestens n ist.
Übrigens gibt es nicht die untere Schranke. 0 und -1 und -1.7 sind
auch untere Schranken für Primnachbar-Abstände. Allerdings gibt es eine
größte untere Schranke — genannt "Infimum" — und dieses ist dann
tatsächlich eindeutig (und ist im vorliegenden Falle 1).
https://de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum
Die Definition von "Infimum" und "Supremum" ist etwas technisch;
anschaulich übernehmen Supremum und Infimum bei unendlichen, geordneten
Mengen die Rolle, welche Maximum und Minimum bei endlichen, geordneten
Mengen haben. So hat die Menge aller 1/n für n in N kein Minimum
sondern lediglich ein Infimum: 0.
Johann L. schrieb:> Übrigens gibt es nicht die untere Schranke. 0 und -1 und -1.7 sind> auch untere Schranken für Primnachbar-Abstände.
Teilbarkeit macht für natürliche Zahlen Sinn, höchstens für ganze
Zahlen, aber diese Erweiterung bringt keine neue Erkenntnis, die Sache
ist symmetrisch und die -1.7 ist da nicht dabei.
Nenn es größte untere Schranke, dann paßt es.
Der Begriff des Infimums auf N angewandt ist identisch mit der größten
unteren Schranke - die Verkomplizierung/Verallgemeinerung des Begriffes
bringt hier nichts.
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