Hallo,
ich hab eine Frage zu Aliasing. Wenn ich ein Spektrum eines diskreten
Signals habe, dann ist dieses ja periodisch. fs ist meine
Abtastfrequenz, fmax meine höchste, im Signal vorkommende Frequenz. Wenn
ich nun mit fs>2fmax abtaste ist eh alles gut. Wenn ich das jetzt aber
nicht erfülle tritt ja aliasing auf. Meine Frage ist nun, wie das genau
ausschaut bzw. wie das bei der Rekonstruktion vor sich geht. Wenn ich
hier mal auf folgendes Bild verweisen dar:
http://image.clickoslo.com/upload/6/dc/6dcb246ffcf37c96af2debb0186728aa_thumb.gif
Welches Dreieck wird nun zur Rekonstruktion des Signals verwendet bzw.
bis wohin? Falls nämlich bis fs, dann wäre das Ursprungssignal ja eh
enthalten (inklusive der unerwünschten alias Frequenzen).
Also welchen welchen Bereich nimmt man nun vernünftig zur Erklärung des
Effekts her?
Das Aliasing geht "kurz nach" der dritten Zeile los. Die zweite ist noch
problemlos, die dritte ist der Grenzfall. Das Problem ist, dass man
nicht mehr entscheiden kann, ob der Frequenzanteil <fs/2 in der
Rekonstruktion echt ist oder durchs Aliasing reingekommen ist. Wenn man
vorher alles von 0 bis fs/2 und ab fs bis unendlich ausfiltern kann, ist
es auch wieder klar (wird auch oft so benutzt), aber mit diesem Wissen
ist schon wieder mehr Information vorhanden, als im eigentlichen
abgetasteten Signal vorkommt.
Soweit so klar, aber wenn ich jetzt z.B. ein ein Sinussignal mit
Frequenzkomponenten von 4kHz und 17kHz habe und mit 20kHz abtaste. Dann
bekomme ich Komponenten bei 4kHz, bei 3kHz, aber auch, da es dann ja ab
fs/2 gespiegelt ist das Spektrum, bei 16kHz und bei 17kHz usw. usw. Das
verwirrt mich gerade etwas. Ebenso gibts dann im Spektrum ja auch Anteil
bei z.B. 196kHz (da das Spektrum ja eben periodisch ist).
alias_ing schrieb:> Dann> bekomme ich Komponenten bei 4kHz, bei 3kHz, aber auch, da es dann ja ab> fs/2 gespiegelt ist das Spektrum, bei 16kHz und bei 17kHz usw. usw. Das> verwirrt mich gerade etwas. Ebenso gibts dann im Spektrum ja auch Anteil> bei z.B. 196kHz (da das Spektrum ja eben periodisch ist).
Ja, das kommt daher, weil dein Abtastimpuls (Dirac-Kamm) zumindest
theoretisch alle fs (n*fs) einen Peak im Spektrum hat. Jeder dieser
Peaks erzeugt ein Abbild des Eingangssignals zentriert um n*fs (wie ein
AM-Mischer), das sich mit allen anderen Abbildern überlagert.
In der Praxis gibt es keinen Dirac-Impuls, der hat immer eine gewisse
Dauer. Damit sinkt die Amplitude der Peaks mit steigender Frequenz und
damit auch die Amplituden der Spiegelbilder.
Ausfiltern müsste man diese Spiegelbilder >fs/2 für eine ideale
Rekonstruktion aber eigentlich immer, selbst wenn es kein Aliasing gibt.
alias_ing schrieb:> Soweit so klar, aber wenn ich jetzt z.B. ein ein Sinussignal mit> Frequenzkomponenten von 4kHz und 17kHz habe und mit 20kHz abtaste. Dann> bekomme ich Komponenten bei 4kHz, bei 3kHz, aber auch, da es dann ja ab> fs/2 gespiegelt ist das Spektrum, bei 16kHz und bei 17kHz usw. usw. Das> verwirrt mich gerade etwas.
Naja, das ist ein bisschen Auffassungssache. Ich formuliere es mal so:
egal welches 10 kHz-Band du auswählst, sei es von 0 bis 10 kHz, oder von
2 bis 12, oder von 40 bis 50, ist darin alle Information vom Signal
enthalten. Welches davon für die Rekonstruktion das richtige ist, hängt
von der Zusatzinformation ab, in welchem Frequenzband dein Signal
Anteile hat. Wenn dieses Band breiter ist als 10 kHz, kannst du nichts
rekonstruieren.
alias_ing schrieb:> Soweit so klar, aber wenn ich jetzt z.B. ein ein Sinussignal mit> Frequenzkomponenten von 4kHz und 17kHz habe und mit 20kHz abtaste. Dann> bekomme ich Komponenten bei 4kHz, bei 3kHz, aber auch, da es dann ja ab> fs/2 gespiegelt ist das Spektrum, bei 16kHz und bei 17kHz usw. usw. Das> verwirrt mich gerade etwas.
Deshalb gibt es ja die Forderung, dass die BB des abgetasteten Signals <
fs/2 sein muss.
Die Abtastung ist eine Multiplikation des Nutzsignals idealerweise mit
Diracstößen der Frequenz fs. Dadurch wiederholt sich das Basisband
periodisch um fs - idealerweise bis ins Unendliche. Sind die Bänder
breiter, gibt es Überlappungen, die zu falschen Frequenzen in der
Rekonstruktion führen.
Auch bei korrekten Verhältnissen erhältst du symmetrisch um fa und deren
Vielfachen diese Bänder wieder.
Das kann man sich sogar zu Nutze machen: ein Band zwischen 20kHz und
30kHz mit 20kHz abgetastet kannst du dann je nach Wunsch auch zwischen 0
und 10kHz oder 20kHz und 10kHz oder auch zwischen 40kHz und 50kHz
wiederherstellen. Notwendig ist nur ein geeignetes Bandpassfilter, das
dir den gewünschten Bereich ausfiltert.
So könntest du das Audioband mit z.B. 500kHz abtasten. Bei der
Rekonstruktion aber ein Bandpassfilter verwenden, das zwischen 980kHz
und 1020kHz durchlässt und erhältst ein amplitudenmoduliertes Signal um
1MHz.
