Summenformel 1+1/3-1/5+-+

Franz123 Gast 20.02.2018 09:20 #5322699

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Hallo


Ein Rechtecksignal mit gleichem Impuls Pausenverhältnis kann mit
U = 1 * sin (t) + 1/3 * sin (3 * t) – 1/5 * sin (5*t) +-+
beschrieben werden.
 Meine Frage ist:
Der höchste Zahlenwert von U tritt auf falls jeder Sinus den Wert 1 
erzeugt.
U ist dann
U =  1 + 1/3 – 1/5 + 1/7 - …
Gibt es  eine Methode zur Berechnung dieser Summe?
(Numerisch habe ich 1,214 ermittelt)

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Beitrag #5322729 wurde von einem Moderator gelöscht.

Jan B. (do9jhb) 20.02.2018 10:18 #5322754

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Hi,

wenn es mich nicht ganz täuscht ist die Reihe die du suchst

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}$

. Diese Reihe konvergiert nach dem Leipnizkriterium, daher sie hat einen 
echten Wert als Ergebnis.

Diese Reihe ist auch unter den Namen Leipnizreihe bekannt 
(https://de.m.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe) und konvergiert gegen 
π/4 =0.785...
Das du einen anderen wert ermittelt hast, liegt vermutlich an der 
geringen Konvergenzgeschwindigkeit (oder ich habe deine Reihe falsch 
interpretiert...)

Hoffe dass hilft dir.
Gruß
Jan B.

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Wilhelm M. (wimalopaan) 20.02.2018 10:20 #5322760

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Jan B. schrieb:
> Hi,
>
> wenn es mich nicht ganz täuscht ist die Reihe die du suchst
>

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}$

. Diese Reihe
> konvergiert nach dem Leipnizkriterium, daher sie hat einen echten Wert
> als Ergebnis.

Leibniz heißt er ;-)

>
> Diese Reihe ist auch unter den Namen Leipnizreihe bekannt
> (https://de.m.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe) und konvergiert gegen
> π/4 =0.785...
> Das du einen anderen wert ermittelt hast, liegt vermutlich an der
> geringen Konvergenzgeschwindigkeit (oder ich habe deine Reihe falsch
> interpretiert...)

Er hat die Vorzeichen der Summanden falsch.

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Jan B. (do9jhb) 20.02.2018 10:25 #5322768

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Wilhelm M. schrieb:
> Er hat die Vorzeichen der Summanden falsch.

Hab ich jetzt auch gemerkt xD



Mann kann aber ein Minus aus der Reihe herausziehen: und dann erhält man 
das negative der Leibniz-Reihe... Und damit als gesuchten Wert -π/4.

Gruß
Jan B.

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Jan B. (do9jhb) 20.02.2018 10:33 #5322777

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Nochmal eine letzte Korrektur:

Die Lösung ist 2-π/4 (da man da die erste 1 negativ ist)... Das stimmt 
auch mit den vom TE berechnet 1,214... Überein

So jetzt sollte es wohl richtig sein. (Kommt davon wenn man Mathe macht 
wenn man noch im Bett liegt xD)

Gruß
Jan B.

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AW Gast 20.02.2018 11:07 #5322805

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Franz123 schrieb:
> Ein Rechtecksignal mit gleichem Impuls Pausenverhältnis kann mit
> U = 1 * sin (t) + 1/3 * sin (3 * t) – 1/5 * sin (5*t) +-+
> beschrieben werden.
>  Meine Frage ist:
> Der höchste Zahlenwert von U tritt auf falls jeder Sinus den Wert 1
> erzeugt.

Dir ist aber schon klar, dass bei dieser Reihe nie alle Sinusfunktionen 
gleichzeitig 1 sein können?

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jz23 Gast 20.02.2018 11:19 #5322822

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AW schrieb:
> Franz123 schrieb:
>> Ein Rechtecksignal mit gleichem Impuls Pausenverhältnis kann mit
>> U = 1 * sin (t) + 1/3 * sin (3 * t) – 1/5 * sin (5*t) +-+
>> beschrieben werden.
>>  Meine Frage ist:
>> Der höchste Zahlenwert von U tritt auf falls jeder Sinus den Wert 1
>> erzeugt.
>
> Dir ist aber schon klar, dass bei dieser Reihe nie alle Sinusfunktionen
> gleichzeitig 1 sein können?

Ihm ging es wohl in dem Fall um die Frage, ob die Reihe konvergiert 
(M-Test). Würde ich zumindest vermuten.