Matheaufgabe

> Wo kommt das m (Meter) in der Lösung her?

Ich sehe dort zwar keine Lösung, aber die Berechnung ist trivial. Und 
die Einheit kommt aus der Einheit der X-Achse ("Breite" des modellierten 
Kraters).

HTH

>Mir ist die Einheitenrechnung dazu unklar. Wo kommt das m (Meter) in der
>Lösung her?

Es wurde statt der Originalaufgabe

1

[...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800m breit und 200m tief ist.

eine andere Aufgabe gelöst, nämlich

1

[...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800 breit und 200 tief ist.

Dann wurde als Lösung 35 ausgerechnet und dieses Ergebnis auf die 
Originalaufgabe rücktransformiert: 35 --> 35 m. Die hinzuzufügende 
Einheit muss eine Längeneinheit sein, weil nach dem Durchmesser gefragt 
wurde, und es muss die Längeneinheit Meter sein, weil nur diese im Text 
der Originalaufgabe vorkommt.

LostInMusic schrieb:
>> Mir ist die Einheitenrechnung dazu unklar. Wo kommt das m
> (Meter) in der
>> Lösung her?
>
> Es wurde statt der Originalaufgabe
> [...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800m breit und
> 200m tief ist.
>
> eine andere Aufgabe gelöst, nämlich
> [...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800 breit und
> 200 tief ist.
>
> Dann wurde als Lösung 35 ausgerechnet und dieses Ergebnis auf die
> Originalaufgabe rücktransformiert: 35 --> 35 m.

Das ganze wird unter Experten der Mathematik auch wheatston'sche 
Faltungsintegraltransformation genannt. Die Rücktransformation bedarf 
allerhöchste Achtsamkeit. Es drohen ansonsten langfristige 
UN-Sanktionen.

Heute schon geschissen? schrieb:
>> Es wurde statt der Originalaufgabe
>> [...] auf den Grund eines Kraters abgesetzt werden, der 800m breit und
>> 200m tief ist.
.....
> Das ganze wird unter Experten der Mathematik auch wheatston'sche
> Faltungsintegraltransformation genannt. ...

Die Aufgabe wurde gegendert.
a) "der Meter", muss zu "die Meter" werden,
b) "m" durch "m/w/d" ersetzt werden
c) die 800 (m/w/d) breit,
d) Oh Schreck, "die 800 breit", das beleidigt (w/d),
e) also muss "w/d" wieder weg,
f) "m" alleine darf nicht mehr sein, wegen gendern!
Deshalb finale Lösung:
h) "der 800 breit"
(Notgedrungen wegen der Physik wird dann am Ende noch das "m" 
geschrieben, aber wehe öfters.)

LostInMusic schrieb:
> Dann wurde als Lösung 35 ausgerechnet und dieses Ergebnis auf die
> Originalaufgabe rücktransformiert: 35 --> 35 m.

Ja das war mir auch klar ;)
Aber kann jemand möglicherweise anhand der Gleichung die 
Einheitenrechnung
durchführen und somit zeigen, warum x die Einheit Meter haben muss?

f ' (x) = tan(5°) = 0,0875

(1/400) * x  = 0,0875

              x = 35

a) Eine naheliegende Modellierung:
\begin{equation}
f\left(-400\right)=0 ~~~ (B1)
\end{equation}

\begin{equation}
f\left(400\right)=0 ~~~~ (B2)
\end{equation}
\begin{equation}
f(0)=-200 ~~~ (B3)
\end{equation}

Aus (B1) und (B2):

\begin{equation}
f\left(x\right)=A\cdot\left(x+400\right)\left(x-400\right)
\end{equation}
\begin{equation}
=A\cdot x^{2}-A\cdot160.000
\end{equation}

Aus (B3):

\begin{equation}
f\left(0\right)=-A\cdot160.000=-200
\end{equation}
\begin{equation}
A=\frac{1}{800}
\end{equation}

Zusammen:

\begin{equation}
f\left(x\right)=\frac{1}{800}x^{2}-200
\end{equation}

b)
Berechnung des Tangentenwinkels am Kraterrand:

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{400}x
\end{equation}

\begin{equation}
\tan\alpha=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}|_{x=\pm400}=\pm1
\end{equation}

\begin{equation}
\arctan\left(\pm1\right)=\pm45°
\end{equation}

45° > 30°. Das Fahrzeug erklimmt den Kraterrand nicht.

c)
Berechnung, wo der Tangentenwinkel 5° beträgt:

\begin{equation}
\tan\left(5°\right)=\frac{1}{400}x
\end{equation}

\begin{equation}
x=400\cdot\tan\left(5°\right)\approx35
\end{equation}

Das ist aber nur der Radius (des Rotationskörpers um die y-Achse), also
\begin{equation}
D\approx70
\end{equation}

Der Modellierung ist die Einheit egal, aus dem Kontext ergibt sich das 
Meter.

Heinz schrieb:
> Aber kann jemand möglicherweise anhand der Gleichung die
> Einheitenrechnung
> durchführen und somit zeigen, warum x die Einheit Meter haben muss?

Da gibt es keine Rechnung. Es ist aufgrund der Aufgabenstellung eine 
Festlegung, dass sowohl x als auch f(x) die Einheit Meter haben. So 
sollen die Achsen dieser Parabel eben beschriftet sein.

Die viel spannendere Frage ist, woher sich rechnerisch (nicht 
anschaulich - das ist klar) die Einheit von f'(x) ergibt. Dazu muss man 
sich an die Definition der Ableitung erinnern, die man heute 
praktischerweise nicht mehr in der Schule lernt, weil Grenzwerte zu 
anstrengend für die Millenials und spätere Generationen sind.

Für alle anderen:

In Einheiten also (Meter - Meter)/(Meter - Meter), also 1. Das passt 
anschaulich mit der ebenfalls dimensionslosen Steigung zusammen. 
Allgemein hat die Ableitung die Einheit der Hauptfunktion geteilt durch 
die Einheit der Variable.

Die Tatsache, dass x und y die Einheit m haben und beide Seiten der 
Gleichung y = a x^2 dimensionsgleich sein müssen, zwingt dem Faktor a 
die Einheit 1/m auf:

a = 1/(800 m)

Die Steigung f'(x) = 2 a x ist dimensionslos:

f'(x) = 1/(400 m) x

Die vorletzte Gleichung lautet damit:

1/(400 m) x = 0.0875

Daraus folgt

x = 35 m

Ganz banal:

a)
Allgemeine Formel: y = f(x) = ax² + b

Aus Aufgabe: b = -200m; x = 800m / 2 = 400m

Da der Kraterrand auf 0m Höhe ist, gilt: f(400m) = a * (400m)² - 200m = 
0m

=> 200m / (400m)² = a = 1,25*10^-3 * 1/m

Also: f(x) = 1,25*10^-3 * 1/m * x² - 200m

b)
f'(x) = 2,5*10^-3 * 1/m *  x

Da am Kraterrand die Steigung am steilsten ist, muss nur die Position 
des Kraterrandes eingesetzt werden:

f'(400m) = 2,5*10^-3 * 1/m * 400m = 1

Steigung in Grad am Kraterrand ist somit: arctan(1) = 45°

Ergo, der Kraterrand kann nicht erreicht werden.

c)
Da die Steigung zum Rand hin größer wird, muss nur der Abstand vom 
Kratermittelpunkt gefunden werden an dem die Steigung 5° beträgt, alles 
innerhalb dieser Entfernung vom Mittelpunkt aus ist demnach flacher als 
5°.

Aus Aufgabe: Steigung max 5°

tan(5°) = f'(x) = 2,5*10^-3 * 1/m * x
=> x = tan(5°) / (2,5*10^-3 * 1/m) = tan(5°)  400  m = 35m

Da die 35m vom Kratermittelpunkt aus gezählt werden und nur den Radius 
darstellen, müssen diese noch auf 70m verdoppelt werden, da nach dem 
Durchmesser gefragt wurde.

EDIT: Statt 1,25*10^-3 kann man natürlich auch 1/800 schreiben.

EDIT2: Gerade gesehen das auf der verlinkten Seite ja auch ein, wenn 
auch mieser, Lösungsweg vorhanden war.

Wer das clever lösen will, betrachtet einen formgleichen Krater mit 
Radius 1 und Tiefe 1/2. Da man weiß, wie die Normalparabel im Intervall 
[-1...1] aussieht, kann man dessen Profilfunktion sofort hinschreiben:

f(r) = 1/2 r^2 - 1/2

woraus die Steigung zu

f'(r) = r

resultiert.

Die Steigung am Kraterrand folgt zu f'(1) = 1 entsprechend 45° - damit 
ist das Fahrzeug überfordert. Die Aufgabenteile (b) und (c) sind mit der 
Berechnung der Tangense der Winkel erledigt:

tan(30°) = 0.57735
tan(5°) = 0.08749

Das Fahrzeug hat also einen Aktionsradius von 0.57735 · 400 m = 230.94 m 
und einen Landeradius von 0.08749 · 400 m = 35 m. Die "Umrechnungslänge" 
400 m ist richtig, weil das der Radius des realen Kraters ist.

Heiner schrieb:
> Dazu muss man
> sich an die Definition der Ableitung erinnern, die man heute
> praktischerweise nicht mehr in der Schule lernt, weil Grenzwerte zu
> anstrengend für die Millenials und spätere Generationen sind.

Zur Ehrenrettung der heutigen Generation (und meiner Tochter): In NDS 
Stoff der 11. Klasse, KW 37 wenn ich mich recht erinnere.

Michael M. schrieb:
> Elton und Stefan

Da ist schon der erste Fehler. Nicht gegendert, die Quote nicht 
eingehalten, daher ist der Rest nicht mehr zu lesen.  :o))

Markus schrieb:
> Zur Ehrenrettung der heutigen Generation (und meiner Tochter): In NDS
> Stoff der 11. Klasse, KW 37 wenn ich mich recht erinnere.

Ja hier in B das gleiche :)
Meine Tochter kam selbst drauf, aber ich konnte ihr (und mir) nicht auf 
Anhieb
erklären, wo die Einheit m her kommt. Nun dank der Erklärungen hier ist 
es wieder klar. Danke an alle.

> Elton und Stefan müssen mit jeweils einem Zwergbagger ein Loch graben.
> Elton hat nach 30 Sekunden ein Fünftel der geforderten Tiefe erreicht.
> Stefan hat in derselben Zeit ein Viertel der Tiefe erreicht und ist
> somit bereits sechs Zentimeter Tiefer als Elton.

Unmöglich!
4 ist immer noch viel, VIEL weniger als 5.
- Und das ist alles ausgerechnet!    ;-)

Michael M. schrieb:
> Elektrofan schrieb:
>> 4 ist immer noch viel, VIEL weniger als 5.
>
> Deutlich mehr als 5 cm!
>
> Tilo R. schrieb:
>> Es ist gar nicht so einfach, mit einem Minibagger ein Loch von mehr als
>> einem Meter Tiefe auszuheben.
>
> Schon nahe dran. Es sind mehr als einen Meter! Aber wieviel genau?
>
> Georg M. schrieb:
>> Wo ist der Haken?
>
> Es gibt keinen Haken. Die geforderte Tiefe lässt sich aus diesen Angaben
> real ausrechnen.

War das mit der Frage echt ernstgemeint? Hatte es eher als rethorische 
Frage verstanden, aber ansonsten 1,2m natürlich.

Rechenweg: y/4 - y/5 = 6cm => (1/4 - 1/5)y = 6cm => y = 6cm * 20 = 120cm