Aus einer Urne, die zwei Kugeln enthält, wird eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt. Die gezogene Kugel ist weiß. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?
Dieses Zufallsexperiment wird mehrmals wiederholt, wobei jedes Mal eine weiße Kugel gezogen wird.
Aus einer Urne, die zwei Kugeln enthält, wird eine Kugel gezogen und
wieder zurückgelegt. Die gezogene Kugel ist weiß. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?
Meinst Du das ernst oder willst Du die Leute auf den Arm nehmen? Und die Lösung findest Du nicht, obwohl das in jedem Lehrbuch zur Wahrscheinlichkeitsrechnung stehen dürfte?
Man kann dem Problem ganz praktisch entgegentreten. Bevor die gezogene Kugel zurückgelegt wird, nimmt man die zweite Kugel aus der Urne, um zu sehen welche Farbe sie hat. Dafür genügen schon zwei Handgriffe!
Von 9 gleichgroßen Goldkugeln ist eine gefälscht und wiegt weniger als die übrigen 8 Kugeln. Um herauszufinden, um welche Kugel es sich hierbei handelt, steht eine Waage mit zwei Waagschalen zur Verfügung. Wie kann die gefälschte Kugel durch nur zweimaliges Wiegen ohne Zuhilfenahme von Gewichten herausgefunden werden?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?
Wenn bei 4 Ziehungen immer alle Kugeln weiß gewesen sind, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit 80%, dass alle Kugeln weiß sind, denn bei der fünften Ziehung könnte ja doch noch die schwarze Kugel dabei sein!
Bei 99 weißen Ziehungen beträgt die Wahrscheinlichkeit nur noch 1 Prozent, dass bei der 100. Ziehung doch noch die schwarze Kugel dabei ist!
Georg M. schrieb im Beitrag #8022223:>Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?
Ad hoc: Wenn eine schwarze dabei ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit n Mal weiße Kugeln zu ziehen 1:2^n. Also bspw. nach 10 Ziehungen ca. 0,1%; bzw. 99,9% Sicherheit dass beide weiß sind.
Und jetzt bitte noch ein Streichholz-Umlege-Rätsel.🥱
Wäre schöner, oben mal den Ereignisraum vernünftig aufzuzeichnen. Ist zwar nicht immer leicht, erleichtert aber die Wahrscheinlichkeitsrechnung ungemein.
Das Prinzip ist - genaugenommen ähnlich dem Münzwurf oder dem Roulette.
Bei einem Roulette-Spiel kann es ja auch sein, das 30 mal hintereinander die gleiche Farbe (Schwarz/Weiß) kommt. So ist also die Grundwahrscheinlichkeit erstmal ein halb bzw 50%. Das sagt dann aber 1. nicht über das tatsächliche Ergebnis und 2. kann man bei bestimmten Situationen auch Grundwahrscheinlichkeiten bestimmen, die dann in weiteren Rechnereien genutzt wird.
Wenn man von 3 Kugeln ausgeht, ist man schon beim Ziegenproblem, wo dann aber eher der Wechsel interessant ist.
Sind die eingesetzten Mengen im Ereignisraum unterschiedlich, kann man die Wahrscheinlichkeiten des Zugriffs danach bestimmen, da könnte man an Pferderennen, Formel 1 Rennen oder Wettervorhersagen denken.
Grundsätzlich werden die Wahrscheinlichkeitsrechnungen auch anders angegangen. Man zählt zuerst die Anzahl der möglichen Grundereignisse und schaut hinterher, welche Zusammenhänge man haben bzw. errechnen möchte.
Darüberhinaus sollte man sich auch mal über Erwartungswerte informieren.
Von 9 gleichgroßen Goldkugeln ist eine gefälscht und wiegt weniger als
die übrigen 8 Kugeln. Um herauszufinden, um welche Kugel es sich hierbei
handelt, steht eine Waage mit zwei Waagschalen zur Verfügung. Wie kann
die gefälschte Kugel durch nur zweimaliges Wiegen ohne Zuhilfenahme von
Gewichten herausgefunden werden?
Hier die Lösung:
Man legt auf jede Waagschale jeweils 3 Kugeln. Ist das Gewicht in beiden Waagschalen identisch, muss eine der 3 übrigen Kugeln gefälscht sein. Sind die Waagschalen nicht gleich schwer, so befindet sich die gefälschte unter den 3 Kugeln, die leichter waren. Nun geht man mit den 3 Kugeln, unter denen sich die Fälschung befindet, so weiter vor: Man wiegt 2 der 3 Kugeln gegeneinander ab. Ergibt sich kein Gleichgewicht, so ist die leichtere Kugel die gefälschte. Ergibt sich ein Gleichgewicht, so ist die dritte Kugel die gefälschte.
Vielleicht können wir jetzt kurz einmal darüber nachdenken, was
passiert, wenn beide Kugeln weiß sind.
Wenn beide Kugeln wirklich weiß sind, dann verhält es sich trotzdem ganz genauso, denn du kannst ja immer nur eine Kugel mit den Augen sehen, die andere Kugel bleibt im Verborgenen! Du müsstest also bis in die Unendlichkeit und noch viel weiter ständig Ziehungen vornehmen und selbst dann würde die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind, asymptotisch gegen 100% laufen.
Leider geht aus dem Aufgabentext nicht hervor, wie die beiden Kugeln in
die Urne kamen, weswegen hier mehrere Interpretationsmöglichkeiten und
damit verschiedene Lösungen möglich sind.
Leider geht aus dem Aufgabentext nicht hervor, wie die beiden Kugeln in
die Urne kamen, weswegen hier mehrere Interpretationsmöglichkeiten und
damit verschiedene Lösungen möglich sind.
Wer die Kugeln in die Urne reingelegt hat, ist für die Lösung der Aufgabe komplett uninteressant! Derjenige der die Kugeln in die Urne reingelegt hat, wird demjenigen der sie rausnimmt mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht verraten was für Kugeln er in die Urne reingelegt hat!
Leider geht aus dem Aufgabentext nicht hervor, wie die beiden Kugeln in
die Urne kamen, weswegen hier mehrere Interpretationsmöglichkeiten und
damit verschiedene Lösungen möglich sind.
Wer die Kugeln in die Urne reingelegt hat, ist für die Lösung der
Aufgabe komplett uninteressant!
Ich schrieb ja auch nicht "wer", sondern "wie".
Hier sind zwei naheliegende von unendlich vielen Möglichkeiten, wie die
beiden in die Urne zu legenden Kugeln ausgewählt worden sein könnten:
Es wurde zweimal nacheinander eine Münze geworfen. Bei Kopf wurde
eine schwarze, bei Zahl eine weiße Kugel in die Urne gelegt.
Auf 3 Karten wurden die Zahlen 0, 1 und 2 geschrieben. Die Karten
wurden gemischt und dann eine davon gezogen. Gemäß der Zahl n auf der
Karte wurden n weiße und 2-n schwarze Kugeln in die Urne gelegt.
Die beiden Vorgehensweisen führen zu verschiedenen Lösungen der Aufgabe.
Wahrscheinlichkeiten beziehen sich immer auf Ereignisse, und Ereignisse
sind Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Ist dieses Zufallsexperiment
nicht klar definiert, lassen sich auch keine Wahrscheinlichkeiten
berechnen.
So wird bspw. im Bertrand-Paradoxon nach der Wahrscheinlichkeit für eine
Eigenschaft einer zufälligen Kreissehne gefragt, ohne anzugeben, mit
welchem Verfahren die Sehne generiert wird, was für viel Verwirrung
sorgt:
Bei einem Roulette-Spiel kann es ja auch sein, das 30 mal hintereinander
die gleiche Farbe (Schwarz/Weiß) kommt. So ist also die
Grundwahrscheinlichkeit erstmal ein halb bzw 50%.
Nur um der Verbreitung falscher Fakten vorzubeugen:
Weiß ist beim Roulette höchstens die Kugel, eigentlich nicht mal diese. Und die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt natürlich nicht 50%, denn die Bank gewinnt immer. Schuld daran sind die Grünen. War ja klar... Diese grünen Nullen!
probability_problem.png
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