Hallo,
ich habe hier gerade eine Physikaufgabe liegen und weis absolut nicht
weiter. Es ist keine Hausaufgabe oder Ähnliches! Es wäre sehr nett von
euch wenn ihr mir einen kleinen Lösungsansatz dazu geben könnt. Es geht
um 3 Körper, die mit konstanter Geschwindigkeit die gleiche Strecke
zurücklegen. Der 2. ist 15km/h schneller als der 1. und der 3. 60km/h
schneller als der 2. Außerdem benötigt der 2. 150 Minuten länger als der
3. und der 1. 100 Minuten länger als der 2. Ich versuche jetzt schon
seit etwa einer Stunde auf eine der 3 Geschwindigkeiten zu kommen, um
dann die Strecke usw. ausrechnen zu können, jedoch bleiben in meinen
Gleichungen immer 2 Variablen übrig.
Gruß Max
Guten Tag
(ohne Gewähr; entscheidend war es, die richtige Reihenfolge des
Einsetzens rauszufinden)
° Das Gleichungssystem mit vier Gleichungen und ebensovielen Unbekannten
ist wie folgt.
(1) v₂ = v₁ + Δv₂₁ (Δv₂₁ = 15 km·h⁻¹)
(2) v₃ = v₂ + Δv₃₂ (Δv₃₂ = 60 km·h⁻¹)
(3) s÷v₂ = s÷v₃ + Δt₂₃ (Δt₂₃ = 5÷2 h)
(4) s÷v₁ = s÷v₂ + Δt₁₂ (Δt₁₂ = 5÷3 h)
° (1) und (2) in (3) und (4) einsetzen ergibt die beiden Gleichungen
(3) s÷(v₁ +Δv₂₁) = s÷(v₁ +Δv₂₁+ Δv₃₂) +Δt₂₃,
(4) s÷v₁ = s÷(v₁ +Δv₂₁) +Δt₁₂.
° Umstellen von (4) nach s ergibt s = v₁·v₂·Δt₁₂ ÷ (v₂-v₁) =
v₁·v₂·Δt₁₂÷Δv₂₁.
° Einsetzen dieses Ausdruckes für s in (3) und Umstellen nach v₁ ergibt
v₁ = Δv₂₁·(Δv₂₁+Δv₃₂)·Δt₂₃ ÷(Δv₃₂·Δt₁₂ -Δv₂₁·Δt₂₃) = 45 km·h⁻¹.
° Einsetzen von v₁ in den zuvor erhaltenen Ausdruck für s ergibt s = ...
= 300 km.
° Mit (1) und (2) folgen v₂ = 60 km·h⁻¹, v₃ = 120 km·h⁻¹.
Den Rechenweg habe ich verstanden, aber ich habe mir jetzt nochmal deine
Umstellerei angesehen und versucht selbst nachzuvollziehen, jedoch komme
ich überhaupt nicht klar.
Das Vorgehen war wie folgt. Es ist kein lineares Gleichungssystem.
Die Methode heisst "Lösung eines Gleichungssystems mittels Elimiation
und Rückwärtseinsetzen."
Ich habs mit nem Taschenrechner symbolisch nachvollzogen und
verifiziert.
° Die Ausdrücke für v₂ und v₃ aus (1) und (2) bei (3) und (4) eingesetzt
und so die beiden Unbekannten v₂ und v₃ eliminiert.
° Die Gleichung (4) nach Strecke s aufgelöst und den erhaltenen Ausdruck
für s bei Gleichung (3) eingesetzt.
° Die Gleichung (3) nach v₁ aufgelöst, damit eine geschlossene Form für
v₁ erhalten und den Wert dieser Geschwindigkeit (45 km/h) berechnet.
° Das v₁ in den zuvor erhaltenen Ausdruck für s eingesetzt und damit
eine geschlossene Form für s (ein recht umfangreicher Bruch) erhalten
und den Wert (300 km) für die Strecke s berechnet.
° Das v₁ bei Gleichung (1) eingesetzt und damit v₂ (60 km/h) erhalten
und berechnet.
° Das v₂ bei GLeichung (2) eingesetzt und damit v₃ (120 km/h) berechnet.
Bis auf das einsetzen in 3 konnte ich alles nachvollziehen, habe auch
die 4 händisch nach s umgestellt. Beim Versuch die 4 nach v1 umzustellen
scheitere ich aber. Ich habe gerade 3 Blätter vollgeschrieben und komme
auf kein brauchbares Ergebnis. Auch mein CAS-Rechner kommt mit der
Gleichung nicht klar und bringt mir 0.
(4) wurde bereits verwendet, das daraus erhaltene s soll bei der letzten
noch unverwendeten Gleichung (3) {nicht (4)} eingesetzt werden.
[Wenn das CAS beim Einsetzen von s in (4) mit 0 antwortet, ist dies eine
Bestätigung, dass das s richtig war.]
Ja ich meine doch ich bin beim einsetzen von s in 3 gescheitert. Also
ich habe die 4 umgestellt nach s, so wie du es geschrieben hast und dann
in 3 eingesetzt und versucht umzustellen. Dabei antwortet mir der CAS
mit 0 und wenn ich es versuche umzustellen, scheitere ich irgendwo weil
ich die ganzen v's und t's nichtmehr überblicke :D.
Vielleicht findet Dein CAS etwas (v₁?), was zuvor bereits richtig
berechnet wurde (aber mittlerweile wieder hätte gelöscht werden sollen),
sodass aus der Gleichung (3) "0 = 0" und damit "0" wird.
Es war möglicherweise etwas übertrieben von mir, zwecks Allgemeinheit
die vier Δ einzuführen. Es wird vermutlich etwas einfacher &
übersichtlicher, gleich die gegebenen numerischen Werte für die
Geschwindigkeits -bzw. Zeitdifferenzen einzusetzen und beim Einsetzen
und Umformen der Gleichungen jeweils zu rechnen.
Hätte ich auch gesagt.
Ich fang solche Dinge einfach mal so an:
Aha. v1, v2, v3 ... ist mir wurscht.
Der erste fährt mit einer Geschwindigkeit x
der zweite fährt mit einer Geschwindigkeit x + 15
und der dritte fährt mit einer Geschwindigkeit x + 75 (weil 60 mehr
als der 2.te)
So, so. Die legen also alle den Weg s zurück.
(Ja, ich weiß, das ich folgenden geschwindigkeiten in km/h und Zeiten in
Minuten durcheinander schmeisse. Für den TO soll ja auch noch was
bleiben)
der dritte braucht dazu y Zeiteinheiten.
(Geschwindigkeit = Weg/Zeit) x + 75 = s / y
der zweite braucht für denselbe Weg y + 150 zeiteinheiten.
Also x + 15 = s / (y + 150)
und der erste braucht für das zurücklegen von s genau y + 250
Zeiteinheiten
Also muss für ihn gelten x = s / ( y + 250 )
Damit sind da 3 Gleichungen
x + 75 = s / y
x + 15 = s / ( y + 150 )
x = s / ( y + 250 )
und das ollte sich ja wohl lösen lassen.
zb sieht man da schon, dass man aus der 3.ten Gleichung einen Ersatz für
x kriegt, den man in die anderen beiden einsetzen kann.
Das ganze läuft eigentlich eh immer gleich.
Mutter und Tochter sind zusammen 60 Jahre alt. Die Mutter ist 36 Jahre
älter als ihre Tochter. Wie alt sind beide?
Egal was die Angabe sagt: die Mutter ist erst mal x Jahr alt.
In der Angabe steht, dass die Mutter 36 Jahre älter ist als die Tochter.
Wie alt ist daher die Tochter. Na, einfach x - 36
Und beide zusammen sind 60. Also
1
x [so alt ist die Mutter] + ( x - 36 ) [so alt ist die Tochter ] = 60
ein bischen umformen und man hats.
Also:
Einfach mal irgendeine der Angaben als x festnageln. Dann die anderen
Angaben in Bezug zu diesem x ausdrücken. Wie dieser Bezug aussieht steht
in der Angabe.
Wie dem oben verlinkten Wiki-Artikel zu entnehmen ist, eignet sich das
Gaußsche (Eliminations-) Verfahren zur Lösung linearer
Gleichungssysteme.
Es wurde zuvor erwähnt, dass dies hier auftretende Gleichungssystem
nicht linear ist (weil die gesuchten Geschwindigkeiten auch in Nennern
auftreten).
