Oszillator + Inverter

Peter schrieb:
> Zu deiner Antwort: Gibt es da eine Schaltung und Berechnungen mit der
> ich das verstehen kann?

Es gibt viel Literatur zum Thema Oszillatoren. Ohne Deinen Hintergrund 
(und Dein mathematisches Verständnis) zu kennen, ist es schwer, Dir da 
was konkretes zu empfehlen. Für den Anfang ist der Wikipedia-Artikel 
http://de.wikipedia.org/wiki/Oszillatorschaltung vielleicht gar nicht 
schlecht.

> Ich habe versucht Aus-/Eingang des Inverters mit einer Induktivitaet zu
> verbinden und Ein-/Ausgang jeweils einen Kondensator nach GND.
>
> Ich glaube das ist auch richtig weil ich das schon wo gesehen habe.

Schau doch lieber mal gezielt nach Oszillatorschaltungen und 
Informationen, die Du verstehen kannst, als Dich an der Sache mit dem 
Inverter aufzuhängen. Man kann LC-Oszillatoren auch mit OpAmps 
realisieren, die verhalten sich im Gegensatz zu einem CMOS-Inverter 
deutlich "idealer" (im Sinne von "linearer") und damit sind vielleicht 
am Anfang eher dazu geeignet, die gelesene Theorie (Mathematik) zu 
verinnerlichen und mit der Praxis in Einklang zu bringen. Eine 
SPICE-Simulation kann da auch Wunder wirken, da kann man nämlich sehr 
schön "messen", was in der Schaltung im einzelnen passiert, was in der 
Praxis nicht immer so einfach möglich ist.

> Aber ich versteh nicht:
> a) Wie man auf das kommen kann
> b) Wie es funktioniert

Verstehst Du jetzt grundsärtlich das das Prinzip eines Oszillators nicht 
oder geht es Dir speziell um die Sache mit dem Inverter?

> c) Wieso die Schwingfrequenz (angeblich) 1/sqrt(LC) ist (auch wenns
> naheliegend ist)

Wenns naheliegend ist, dann könnte man die Frage auch umformulieren: 
Warum sollte es gerade nicht so sein? :-)

> d) Wieso ich sozusagen den Ausgang negativ an den Eingang rueckkoppeln
> muss
> e) Wie ich das mit Kirchhoff und/oder s-domain "sehen" kann.
>
> Am liebsten waere mir das im Rahmen von Feedback zu "verstehen" (d.h. zu
> sehen dass der Loopgain des Kreises genau |T(s)|=1 ist oder so).

Ich geh mal davon aus, dass Du eher Anfänger bist, daher:

Einen klassischen, einfachen Oszillator im Rahmen von Feedback zu 
verstehen ist nicht so schwer. Eine weniger elektronische, sondern eher 
physikalische Erklärung/Hinführung hangelt sich in Analogie zum oben 
schon erwähnten Federpendel (Masse an einer Feder) z.B. an folgenden 
Tatsachen entlang:

1. Masse an Feder wird ausgelenkt: die Masse führt daraufhin eine 
gedämpfte Schwingung aus, da kontinuierlich potenzielle Energie in 
kinetische umgewandelt wird und andersherum; die Dämpfung der Schwingung 
ergibt sich aus den Energieverlusten im System -> Schwingungsamplitude 
nimmt mit der Zeit ab, d.h. nach einer Weile kommt die Masse wieder in 
der Ausgangslage zur Ruhe.

2. Um eine kontinuierliche harmonische Schwingung konstanter Amplitude 
zu erreichen muss man die Dämpfung kompensieren in dem man Energie 
zuführt und zwar a) die richtige Menge Energie und b) im richtigen 
Moment.

Die Punkte 2a und 2b korrespondieren dabei mit dem Feedback im 
Oszillator und führen in letzter Konsequenz zur Amplituden- und 
Phasenbedingung (|A| = 1, \phi = 360° x n) für die Aufrechterhaltung 
einer Schwingung konstanter Amplitude und Frequenz. (Wenn man gewillt 
ist, sich das mathematisch anzuschauen, dann ergibt sich das alles im 
Grunde genommen mehr oder weniger sofort, wenn man die 
Differentialgleichungen für das Federpendel mit Dämpfungsterm und 
hinschreibt und den inhomogenen Fall löst.)

Benutzt man nun die Maschenregel (oder von mir aus auch Kirchhoff) und 
vergisst dabei nicht, dass die Spule und der Kondensator selbst und die 
elektrischen Verbindungsleitungen zwischen den beiden Bauelementen eine 
Dämpfung in Form ohmscher Verluste bewirken, so landet man für den 
LC-Schwingkreis beim selben Typus von Differentialgleichung. Federpendel 
und LC-Schwingkreis verhalten sich physikalisch gesehen also identisch, 
d.h. in beiden Systemen führt eine initiale Auslenkung zu einer 
gedämften Schwingung.

Folglich muss man zur Aufrechterhaltung einer Schwingung konstanter 
Frequenz und Amplitude im LC-Schwingkreis analog zu 2a) und 2b) oben 
eben auch immer wieder die richtige Menge Energie im richtigen Zeitpunk 
zuführen, sonst klingt die Schwingung mit der Zeit ab oder wächst über 
alle Maßen (womöglich bis zur Zerstörung des Oszillators) oder die 
Schwingung ist keine harmonische Schwingung mehr. Um das elektronisch zu 
realisieren, reichen passive Bauelemente nicht aus, man benötigt 
mindestens ein aktives Bauteil. Das kann z.B. ein passend beschalteter 
Transistor oder eben ein passend beschalteter Inverter sein.

Es gibt noch andere, eher elektronisch bzw. systemtheoretisch geprägte 
Ansätze, wie man auf die Schwingbedingungen (Amplituden- und 
Phasenbedingung) für Oszillatoren kommt. Das Ergebnis ist immer das 
selbe.

In der (meist linearen) Theorie ist der hergeleitete Oszillator relativ 
simpel zu verstehen, im Endeffekt reicht da wirklich das oben 
geschriebene. In der Praxis ist die Sache dann aber schon ganz anders, 
reale Oszillatoren werden eher durch die nichtlinearen Eigenschaften der 
verwendeten Bauteile am Leben erhalten als durch deren lineare 
Eigenschaften (Stichwort z.B. Amplitudenstabilisierung).

Dein CMOS-Inverter ist da ein schönes Beispiel: In gewissen Bereichen 
arbeitet der als linearer(!) invertierender Verstärker mit |A| >> 1. Aus 
dem Bereich ist man aber bei größeren Amplituden schnell raus, was dazu 
führt, dass die effektive Verstärkung abnimmt. Ein LC-Oszillator mit 
CMOS-Inverter reguliert sich daher quasi selber auf die Bedingung |A| = 
1 ein, in dem die Amplitude der Schwingung so lange wächst, bis die 
effektive Verstärkung der Rückkopplung über den Inverter auf 1 gesunken 
ist. Um das zu verstehen darf man den CMOS-Inverter aber nicht als 
digitales Bauteil betrachten, sondern muss ihn als als (analogen) 
Verstärker betrachten.

Keine Ahnung ob Dir mit Deinem mir unbekannten Kenntnisstand das jetzt 
geholfen hat oder nicht... falls nein: vielleicht freut sich ja ein 
anderer Laie drüber :-)

Guten Rutsch,

Stephan

Peter schrieb:
> Wieso die Schwingfrequenz (angeblich) 1/sqrt(LC) ist (auch wenns
> naheliegend ist)

Die Frage ist, wo Du diese Formel her hast.

Eigentlich lautet sie ja:

Gruß

Jobst

Peter schrieb:
> Ich bin damit auch auf die Erklaerung im Tietze Schenk gestossen (s.
> 904):
>
> http://snag.gy/jFQVn.jpg
>
> Ich verstehe nun, wie der Verstaerker den Widerstand kompensiert
> (s^2+k=0, d.h. Koeffizient bei s soll 0 sein).

Was für einen Widerstand meinst Du?

> Das, was diese Schaltung funktionierend macht ist die Tatsache, dass
> (1-A)/(2RC) gilt und A so gewaehlt werden kann dass das 0 ergibt. (*)

Stimmt. (Nebenfrage: wie würde man das, was Du hier als Wahlfreiheit von 
A bezeichnest, in der Praxis realisieren?)

(Für alle: \gamma = (1-A)/(2RC) ist in dem Beispiel aus dem 
Tietze/Schenk die Dämpfung, die dann für das vorliegende System zweiter 
Ordnung die Fallunterscheidung \gamma kleiner, gleich oder größer Null 
ermöglicht und damit die Evolution des Systems beschreibt - abklingende, 
stabile oder ansteigende Amplitude der Schwingung.)

> Ich habe versucht dieses Konzept fuer einen inverterienden Verstaerker
> zu verwenden. Klarerweise erhalte ich dann aber keine Subtraktion, und
> im Falle eines idealen CMOS Verstaerkers einfach "2*Vo". Ich habe
> versucht die Schaltung entsprechend zu modifizieren.
>
> Hast du einen Tipp welche Beschaltung die Subtraktion auch mit einem
> invertierendem Verstaerker schafft?

Es ist schwer, Dir zu folgen, unter anderem weil Du ein bissl arg mit 
aus dem Zusammenhang gerissenen Formeln um Dich schmeisst. Aber egal.

Lass uns mal den Oszillator aus dem Tietze/Schenk etwas genauer 
anschauen, ich denke dann wird klar, was man für den Fall eines 
invertierenden Verstärkers machen muss.

Ich hab den Oszillator nochmal hingemalt (bitte Bauteilewerte 
ignorieren.) Den Kasten kann man sich nun als Blackbox vorstellen, wobei 
diese Box links einen Eingang mit zwei Anschlüssen und rechts einen 
Ausgang mit zwei Anschlüssen hat. (Würde man noch einen Kasten um den 
OpAmp und seine Rückkoppelwiderstände ziehen, dann hätte man das 
klassische Blockschaltbild eines Oszillators.)

Im Resonanzfall verhält sich die Blackbox wie ein Spannungsteiler ohne 
Blindanteil, d.h. die Übertragungsfunktion der Resonatorblackbox ist 
reell (warum?). Das bedeutet unmittelbar, dass die Phasenverschiebung 
der Blackbox im Resonanzfall vom Eingang zum Ausgang Null wird.

Der OpAmp mit der gezeigten Beschaltung liefert ebenfalls eine 
Phasenverschiebung von Null. Die Phasenverschiebung des Gesamtsystems 
ist daher ebenfalls Null und damit ist die Phasenbedingung erfüllt.

Wenn Du nun einen invertierenden Verstärker benutzen möchtest, dann 
liefert dieser einen Beitrag von 180° zur Phasenverschiebung des 
rückgekoppelten Systems. Mit dem LC-Schwingkreis wie im Tietze/Schenk 
lässt sich die Phasenbedingung nun nicht mehr erfüllen. Man benötigt als 
Blackbox nun also eine Resonatorschaltung, die bei der 
Oszillationsfrequenz die fehlenden 180° Phasenverschiebung beisteuert.

Insofern bist Du schon sehr nahe dran, wenn Du schreibst...

> Noch eine simple Rueckfrage dazu: Sehe ich es richtig dass das Konzept
> "einfach" ist, eine Transferfunktion von Input -> Output zu finden,
> sodass bei einer Frequenz f0 (Frequenz des Oszillators) die Verstaerkung
> 1 ist und Phase 0 hat?
>
> Alternativ kann man es doch so formulieren, einen Bandpass zu finden,
> der diese Kriterien erfuellt?

... aber Vorsicht: Die Schwingbedingung (Amplituden- und 
Phasenbedingung) müssen für das Gesamtsystem gelten, nicht nur für den 
Resonator alleine. In Bezug auf die Phasenverschiebung heisst das z.B. 
dass Du auch einen Resonator mit 2° Phasenverschiebung benuzen könntest, 
so lange der Verstärker die fehlenden 358° hinzusteuert oder 
andersherum.

Die Schaltung, die Du da mit Trial & Error gefunden hast (CMOS-Inverter 
+ LC-Pi-Glied aus dem Link http://snag.gy/Oskri.jpg) wäre jetzt auch das 
gewesen, was ich Dir als Ansatz vorgeschlagen hätte. Eine andere 
Alternative ist hier beschrieben: 
Beitrag "VLO mit Invertern"

Allerdings frage ich mich immernoch, warum Du Dich so an der Sache mit 
dem CMOS-Inverter aufhängst, vor allem in Kombination mit einem 
LC-Resonator. Vielleicht kannst Du das ja mal kurz erläutern :-)

> Wie kann man nun eine Schaltung mehr methodisch finden und nicht Trial &
> Error?

Zählt Intuition auch als Methode? ;-) Meist wird aber eh das kopiert, 
was schon bekannt ist.

In Deinem Fall hättest Du ja nur systematisch nach einer 
Resonatortopologie suchen müssen, die die fehlenden 180° 
Phasenverschiebung beisteuert.

> (*) Und nochmal grundlegend: Ich wuerde keinen Verstaerker benotigen
> wenn L und C ideal waeren, d.h. keine Verluste besaessen. Verstehe ich
> die Schaltung richtig, dass sie auch die Phasen- und Amplitudenbedingung
> behalten wuerde wenn L und C parasitaere R hat?

Klar, bei geeigneter Wahl der Werte für die Bauteile würde das alles in 
gewissen Grenzen sehr schön funktionieren, auch mit verlustbehafteten Ls 
und Cs. Dann sieht dann halt der Dämpfungsterm \gamma anders aus, so 
dass man für die benötigte Verstärkung auf einen anderen Wert für A 
kommt. Auch die Resonanzfrequenz verschiebt sich möglicherweise.

LG Stephan