Beweis, dass die 3. Wurzel aus 3 irrational ist

Alexander F. OP #2850026
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Ich würde gerne wissen, ob mein Beweis richtig ist.
Der Ansatz ist ein indirekter Beweis.
unter der Voraussetzung, dass p und q teilerfremde natürliche Zahlen 
sind.
Aus der Voraussetzung, dass beide Variablen teilerfremd sind folgt 
hiermit, dass beide ungerade sind.
Da p^3 ebenso wie p durch 3 teilbar ist, kann man p durch 3r ersetzen.
Daraus folgt:
Man erkennt daraus sofort, dass auch q durch 3 teilbar sein muss, was 
aber der Voraussetzung widerspricht, dass beide teilerfremd sind. Die 
Aussage ist somit widerlegt, die 3. Wurzel aus 3 somit irrational.

Ist dieser Beweis mathematisch zulässig bzw. gibt es andere oder 
einfachere Möglichkeiten?

  





  

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      Karl H.
      

    



    

    
    #2850322
  




  

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Alexander F. schrieb:

> Daraus folgt:
>
> Man erkennt daraus sofort, dass auch q durch 3 teilbar sein muss

Woran erkennst du das?

Der Schritt scheint mir nicht recht zulässig zu sein.


> Da p^3 ebenso wie p durch 3 teilbar ist
Hmm. Stimmt das?
Wenn p^3 durch 3 teilbar ist, dann ist auch p durch 3 teilbar?

(Mag sein, dass das stimmt. Der Beweisschritt ist mir aber persönlich 
etwas zu groß)

  





  

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      Unbekannt U.

    

      Gast


    

    
    #2850501
  




  

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Karl Heinz Buchegger schrieb:
> Alexander F. schrieb:
>
>> Daraus folgt:
>>
>> Man erkennt daraus sofort, dass auch q durch 3 teilbar sein muss
>
> Woran erkennst du das?

Dividiere durch 3, dann steht da noch:



> Hmm. Stimmt das?
> Wenn p^3 durch 3 teilbar ist, dann ist auch p durch 3 teilbar?

Ja. Schau mal: Jede natürliche Zahl ist ein Produkt aus Primzahlen. 
Nehmen wir mal eine Zahl x aus zwei Prim-Faktoren p1 und p2.

Was gibt nun x^3? Ganz einfach:

Da aber jedes unserer x ein Produkt aus p1 und p2 ist, wird das effektiv 
zu:

Es ändern sich beim potenzieren "nur" die Anzahl der einzelnen 
Prim-Faktoren entsprechend, aber es kommen keine neuen dazu noch 
verschwinden welche.

Wenn also eine Zahl x^3 durch 3 teilbar ist, und x eine natürlich Zahl 
ist, ist x auch durch 3 teilbar, da in x^3 mindestens 3, 6, 9, bzw. n*3 
mal der Prim-Faktor 3 drin sein muss.

Von hier ist es nicht mehr schwer, die Beweiskette zu verstehen.

  





  

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